浅谈数学课堂如何以“探”促学

浅谈数学课堂如何以“探”促学——以“圆的周长”的教学设计为例上海民办南模中学赵倩倩摘要：新课标中强调数学课程要培养学生的核心素养，其中就包含了培养学生会用数学的眼光观察现实世界。如何教会学生用数学的眼光观察现实世界？如何教会学生用数学的方法自主探究解决生活中的实际问题？这就需要教师在课堂中创设机会让学生体验“引入问题—提出猜想—验证猜想”这一层层递进的探究过程，从而培养学生的数学素养。在本文中笔者以沪教版教材六年级上学期第四章第一节《圆的周长》为例，介绍了如何以“引入问题—提出猜想—验证猜想”的探究过程促进学生对圆的周长问题的学习。关键词：初中数学数学教学圆的周长新课教学中的“动手实践”越来越受到老师们的关注，将探究融入课堂强调的是让学生作为课堂的主体，课堂中不仅有教师的“教”，也有学生的“主动学”。传统教学方式中，老师单一地将知识教授给学生，课堂上学生参与度较少，这一教学方式只能锻炼学生的记忆力，非常不利于学生探究能力的发展和数学素养的培养。对于学生探究能力的培养，教师应该充分发挥学生的主体作用，从始到终让学生全方位参与，从发现问题到提出猜想，再到验证猜想，最后得出结论。那么如何才能做到让学生真正参与到“提出猜想-验证猜想-得出结论”的探究全过程中呢？笔者以沪教版教材六年级上学期第四章第一节《圆的周长》为例，浅谈如何以“引入问题—提出猜想—验证猜想”的探究过程促进学生对圆的周长问题的学习。1、引入问题教学片段1：情景引入激发学生求知欲师：今年寒假同学们有没有走进电影院去看电影呀？能不能给老师介绍一下生1：我去看了《独行月球》生2：我也去看了！感觉宇宙世界好神奇！师：老师在假期中也去看了《独行月球》，大家对哪个桥段印象最深刻呀？生3：独孤月和袋鼠的桥段生4：独孤月为了取得宇宙之锤原型机并返回月盾基地，驾驶太阳能月球车一路向西追赶太阳的桥段师：这个桥段的确非常紧张刺激，想要知道独孤月能不能追上太阳，我们就要知道独孤月绕月球一周需要的时间，在已知车速的情况下，要解决这个问题我们还必须获得什么信息呢？生5：我们必须知道绕月球一周行驶的距离师：如果我们把独孤月的行驶轨迹近似成一个圆，那我们要求的就是？生6：圆的周长师：那么本节课我们就一起来帮帮独孤月，一起来探究一下圆的周长该如何求解评析：抓住六年级学生的兴趣特征，从他们感兴趣的电影出发，引发他们对“圆的周长”的求知欲，从而引入本节课对“圆的周长”的学习。2、提出猜想教学片段2：化曲为直动手测量圆的周长师：请各位同学拿出圆规，在笔记本上画一个圆。（学生作图）师：同学们在画圆的过程中其实我们一起复习了一下圆的定义，即以固定长度绕固定点旋转一周所形成的图形。那请同学们继续思考一下，你觉得圆的周长指的是什么？生1：圆外面这一圈的长度生2：圆规铅笔这一端画出的长度师：老师在课前给到每组同学不同币值的硬币，动脑想一想如何测量这些硬币的周长呢？生1：可以让硬币沿着直尺滚一圈，看硬币滚过的距离。师：这位同学为大家介绍了“滚动法”，实际操作中同学们可以在硬币上做一个记号，固定直尺将记号与0刻度重合，然后让硬币沿着直尺滚一圈，注意硬币始终紧贴直尺，当记号再次与直尺重合时，读取记号所在刻度即可。（动画展示测量过程）还有没有其他方法？生2：我的尺可以弯折，可以把尺绕硬币一圈，读取与零刻度重合的刻度。师：很好，但也要注意直尺的厚度，如果太厚就会产生误差了。还有其他方法吗？生3：为了减少误差，我们可以用细线绕硬币一圈，然后展开细线，测量细线的长度。师：这位同学为我们介绍了“绕线法”，用一根细线绕硬币一圈，分别在头尾做好标记，然后将细线在直尺上展开，测量两个标记点之间的距离，即为圆的周长。为了减少误差，我们在绕线时也应该注意让细线紧贴硬币（动画展示测量过程）师：那大家是怎么想到这些方法的呢？生1：因为生活中我们能够很容易地测得直线的长度，那么在测圆的时候就要想办法把圆变成直线。师：这位同学提到了一个很重要的数学思想——转化，我们通过“滚动”“绕线”将要测的圆的周长转换为我们能测得直线的长度，做到了“化曲为直”。师：那如何测量圆的直径呢？生4：让直尺过圆心，然后测量硬币与直尺两交点间距离师：这位同学和我们强调了要过圆心，但大家想想，实际生活中硬币的圆心我们能一眼看到吗？生3：不能，我们可以利用两块三角板将圆固定在直尺上师：你上来示范给大家看一下生3操作如图师：介绍完测量方法之后，请同学们一起动手来测量一下硬币的周长。（给到充分的时间让学生们动手合作测量硬币的周长）评析：动手测量生活中的圆的周长是本节课中一个非常重要的环节，从方法介绍到让学生动手操作，这一过程笔者给到了学生10分钟左右的时间，看似非常“奢侈”，但笔者认为是很有必要的。在介绍方法时，笔者在学生回答的基础上明确了操作步骤并附上测量动画，以此帮助学生在经历“亲手实践”之后能够获得准确的数据，从而有利于后续探究的发展，提高学生的探究兴趣。新课标中提到“学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式。”，所以作为课堂主导者的教师应该要舍得花时间让学生动手实践，让学生能够真正体会到探索生活中圆的周长的全过程，只有在实践中学生们才会总结出滚动法的可操作性低于绕线法，因为滚动法的操作过程中很难保证硬币始终紧贴直尺，而绕线法的可操作性就会高很多。亲手测量周长这一探究过程也能够帮助学生更直观地理解“化曲为直”，培养学生的转化思想。教学片段3：分析数据“探”周长直径两者关系师：老师在黑板上记录下大家动手测量的宝贵数据，现在请各位同学来观察一下，你能发现周长与直径什么关系？生1：首先我们可以很容易的看出，直径越大，周长越大师：这是一个规律，还有没有其他发现？生2：五角硬币的周长是直径的3倍师：你对数据进行进一步加工，将周长与半径相除得到了五角硬币的周长是直径的3倍，那其他的数据是不是也是3倍关系呢？请所有同学一起来动笔算一算。生3：虽然不是整数3倍，但是都接近3倍。师：由此大家有什么猜想？生4：圆的周长与直径的比值接近3师：通过分析我们亲手测量的数据，我们提出了猜想，圆的周长与直径的比值是一个定值且接近3评析：在分析数据提出猜想的过程中，笔者反复肯定学生所测量的数据的重要性，并告诉同学们数据是我们提出猜想解决问题的根本。因此探索圆的周长的测量方式是非常必要的，动手实践阶段的明确操作步骤也能尽可能缩小实验数据的误差值，从而帮助学生发现圆的周长与直径之间的倍数关系。这里在计算圆的周长与直径之比时，一定会出现各组数据不一致的情况，但正是因为这个“不一致”才能够让学生感知到圆的周长与直径的比值并不是一个整数，而且一个“全新的数”，可为π是无限不循环小数进行铺垫。分析数据这一探究过程可以培养学生对信息的处理能力，实验数据中圆的周长与直径之比的不一致性也为培养学生的思辨能力提供了很好的机会。3、验证猜想教学片段4：引数学史借“割圆术”论证猜想师：在古代，数学家们和你们提出了一样的猜想，让我们来看看他们是如何论证自己的猜想的。我国古代数学家对这个比值进行了长期研究。3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆的周长与直径的比值建立了严密的理论和完善的算法。（老师几何画板展示并讲解割圆术）师：到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的基础上继续努力，终于将这个比值精确到了小数点后七位。在西方这个成就是在1593年取得的，比祖冲之晚了一千一百多年。后来人们发现这个比值是个无限不循环小数，近似等于3.14，从而论证了同学们的猜想。评析：利用数学史解决“验证猜想”这一难题，但这里的数学史并不是简单地告知，而是通过几何画板让学生更为直观地体会“割圆术”，体会当n越来越大时，圆的内接正n变形的周长会无限逼近圆的周长，从而理解计算圆的周长与直径比值的方法，在介绍这个方法的过程中，繁琐的数据也能让学生体会到古人的毅力与坚持，从而激发他们的民族自豪感。这里考虑到六年级学生的学情，所以以“看”的形式让学生探究如何证明自己的猜想，培养学生的求真意识。4、引入概念教学片段5：识圆周率解计算圆的周长之惑师：我们站在古人的肩膀上验证了自己的猜想，从而得到圆的周长与直径的比值是一个定值，我们将这个定值叫作圆周率，用π表示。并且我们知道π是一个数，是一个无限不循环小数。有了π之后，现在大家能不能通过直径求解圆的周长了呢？生1：C=πd评析：本节课中带领学生认识圆周长、认识圆周率都是一种事实性知识的教授，很多同学在此之前已经了解π就是圆周率，但他们并不知道π就是圆的周长与直径的比值，通过“引入问题—提出猜想—验证猜想”这一层层递进的探究过程，笔者相信一定能够帮助学生更好地理解圆周率，明白计算圆的周长的方法。5、习题巩固求下列各圆的周长，要求保留π例题目的:板书过程，规范答题格式例2、当圆的半径扩大为原来的三倍时，下列说法正确的是()A.圆的直径扩大为原来的6倍B.圆的周长扩大为原来的3倍C.圆的周长扩大为原来的6倍D.圆的周长扩大为原来的3π倍例题目的:得到结论:同圆的周长之比等于直径之比等于半径之比例3、一只闹钟的时针长为3cm，它的顶端在一昼夜里走过的路程是多少cm？（π取3.14）例4、现在有一根圆柱形的水泥柱，用皮尺量出水泥柱的周长是157cm，则这根水泥柱的半径是多少cm？（π取3.14）例题目的：对公式进行实际应用，做到知一求一，已知周长会求半径，已知半径会求周长。给出月球半径1737.10千米，回答引入问题。评析：“理解为先”理论认为当教师的教学旨在使学习者理解可迁移的概念和过程，给其提供更多机会将理解的内容应用到有意义(即真实情境)的情境时，才更可能获得长期的成就。学习者通过主动建构意义(即理解的过程)来学习和巩固所学的知识和技能，并将学习结果应用到新的情境中。因此例题设计中笔者设计了两道实际问题旨在训练学生对公式进行实际应用，并在最后利用本节课所学内容解答了最一开始提出的问题，让学生通过探究解决问题，体会圆的周长的实际意义，加强学生对圆的周长的理解。结束语：本节课立足于学生的亲身体验和自由表达，圆周长公式作为本节课的重点并没有直接给到学生，而是让学生动手测量圆的周长和直径，观察数据并探索圆周长和直径之间的关系，整个过程突出开放性和探索性，充分发挥学生的主体作用，从始到终让学生全方位参与。相比传统教学模式中将圆周率、圆的周长公式直接给到学生，在数学课堂中融入探究学习，让学生通过“引入问题—提出猜想—验证猜想”这一层层递进的探究过程，可以帮助学生主动发现圆的周长和直径之间的关系，从而真正理解圆周率，得出计算圆周长的公式。“理解为先”理论认为当我们把获取知识当作方法而不是最终目的，从长远的眼光看，学生才能学得更多并且更加积极主动地参与学习。笔者认为在数学课堂中，教师的教学不能仅局限于数学知识的传授，而应该教会学生学习数学知识的方法，这就需要教师在课堂中组织学生积极探索、通过探究活动发现数学的规律和方法。教师不应该只停留在课时知识的传授，更加应该做学生的引导者，而学生作为探究的实施者，不应该只停留在完成老师的指令，更加应该在课堂上体验“引入问题—提出猜想—验证猜想”这