【数学】一次函数与方程、不等式教学课件 2023-2024学年人教版八年级数学下册

一次函数与方程、不等式1．认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系．2．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.一次函数与一元一次方程问题

下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？(1)2x+1=3；(2)2x+1=0；(3)2x+1=-1．从函数值看：解这3个方程⟺一次函数y=2x+1，当y分别为3，0，-1时，求自变量x的值.yyy从函数图象看：在直线

y

=

2x

+

1上，取纵坐标分别为

3，0，-1

的点，看它们的横坐标分别为多少?(1)2x+1=3；(2)2x+1=0；(3)2x+1=-1．yyy32121-2Oxy-1-132x+1=3的解y=2x+12x+1=0的解2x+1=-1的解你能把得到的结论推广到一般情况吗？一般地，一元一次方程

ax

+

b

=

c

(a、b、c为常数，a

≠0)的解就是当函数__________的函数值为_____时的自变量_____的值.如：求4x+5=9的解

⟺求一次函数y=4x+5的函数值为9时，自变量的值.总结y

=

ax

+

bcxPPT模板：/moban/PPT素材：/sucai/PPT背景：/beijing/PPT图表：/tubiao/PPT下载：/xiazai/PPT教程：/powerpoint/资料下载：/ziliao/范文下载：/fanwen/试卷下载：/shiti/教案下载：/jiaoan/PPT论坛：PPT课件：/kejian/语文课件：/kejian/yuwen/数学课件：/kejian/shuxue/英语课件：/kejian/yingyu/美术课件：/kejian/meishu/科学课件：/kejian/kexue/物理课件：/kejian/wuli/化学课件：/kejian/huaxue/生物课件：/kejian/shengwu/地理课件：/kejian/dili/历史课件：/kejian/lishi/c求一元一次方程

kx+b=0的解

我们知道任何一元一次方程都可以转化

kx

+

b

=

0

的形式，你能用函数的观点解释这个方程吗?一次函数

y=

kx+b中，y=0时

x的值

从“函数值”看求一元一次方程

kx+b=0的解

求直线

y=

kx+b与x轴交点的横坐标

从“函数图象”看归纳总结(2.5,0)0x123-141-1-23-4-32-5-6y我们知道

,一次函数的图象是一条直线.作出一次函数y=2x

-5

的图象如右

,观察图象回答下列问题:(1)x

取哪些值时

,

y=0

?(2)x

取哪些值时

,

y>0

?x>2.5

时

,

y

>0;x

=2.5

时

,

y=0

;

(3)x

取哪些值时,y<0

?x

<2.5

时

,

y

<0

;(4)x

取哪些值时

,

y>3

?x>4

时

,

y

>3;能否将上述“关于函数值的问题”

改为“关于x

的不等式的问题”?

将“一次函数值的问题”改为“一次不等式的问题”作出一次函数y=2x-5的图象如右,观察图象回答下列问题:(1)x取哪些值时,y=0?(2)x取哪些值时,y>0?(3)x取哪些值时,y<0?(4)x取哪些值时,y>3?(2.5,0)y0x123-141-1-23-4-32-5-6因为y=2x–5,所以,将(1)～(4)中的y

换成2x-5,2x-52x-52x-52x-5则,原题“关于一次函数的值的问题”就变成了“关于一次不等式的问题”.

如果y=-2x-5

,那么当x取何值时,y>0?你解答此道题,可有几种方法?方法一:将函数问题转化为不等式问题.即解不等式-2x-5

>0;方法二:图象法.xy-1-2-3-4-51-1-2-3-4-5-6123由图易知,当x<-2.5时

y>0.用“函数图象法”及“解不等式法”解函数问题知识归纳任何关于x的一元一次不等式都可以化成ax+b>0或ax+b<0的形式.因此,解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求x的取值范围.或者在函数y=ax+b图象上找出纵坐标大于0或小于0的部分,看这些点的横坐标满足什么条件.利用函数图象解方程3x－2＝x＋4.分析：先将方程化为ax＋b＝0的形式，再在坐标系中画出函数y＝ax＋b的图象，然后观察出直线y＝ax＋b与x轴的交点坐标，从而取定所求x的值．解：由3x－2＝x＋4得2x－6＝0画函数y＝2x－6的图象，如图.由图可知，直线y＝2x－6与x轴的交点为(3，0)，所以x＝3.利用函数图象解一元一次方程时，一般需将方程变形为ax＋b＝0的形式，然后通过观察直线y＝ax＋b与x轴的交点坐标确定方程的解，此求解对作图的准确性要求较高．解：化简，得3x-6<0.画出直线y=3x-6，可以看出，当x<2时，这条直线上的点在x轴的下方，即这时y=3x-6<0，∴不等式的解集为x<2.用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10.yx-62Oy=3x-6特别提醒：利用图象法解一元一次不等式的一般步骤：1.将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)的形式；2.画出函数图象并确定函数图象与x轴的交点坐标；3.根据函数图象确定对应不等式的解集.问题

1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升．两个气球都上升了1h．(1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔y(m)与气球上升时间x(min)的函数关系．h1h2气球1海拔高度：y=x+5；气球2海拔高度：y=0.5x+15．一次函数与二元一次方程组思考：一次函数与二元一次方程有什么关系？一次函数二元一次方程一次函数

y=0.5x+15二元一次方程

y-

0.5x=15二元一次方程

y=0.5x+15用方程观点看用函数观点看从式子（数）角度看：在同一坐标内，(1)画出

y=0.5x+15的图象；(2)画出以方程

y-

0.5x=15的5个解为坐标的点.

你有什么发现？思考：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？方程

y-

0.5x=15的解：①

x=-2，y=14→(-2，4)②

x=0，y=15→(0，15)③

x=2，y=16→(2，16)④

x=4，y=17→(4，17)⑤

x=6，y=18→(6，18)以方程

y-

0.5x=15的解为坐标的点都在一次函数

y=0.5x+15的图象上，函数

y=0.5x+15图象上的点的坐标都是二元一次方程

y-

0.5x=15的解.一次函数y=x+5直线

y=x+5二元一次方程

y=x+5点的坐标满足函数解析式以满足函数解析式的数对为坐标画点用函数观点看用方程观点看从数的角度看：就是求自变量为何值时，两个一次函数y=x+5，

y=0.5x+15的函数值相等，并求出函数值．解方程组y=x+5

y=0.5x+15h1h2什么时刻，1号气球的高度赶上2号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.气球1海拔高度：y=x+5气球2海拔高度：y=0.5x+15二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．A(20，25)302520151051020y=x+5y=0.5x+15155Oxy从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？方程组的解

对应两条直线交点的坐标.

一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．总结归纳总结随堂训练1、一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是(

)A．x≥2B．x≤2C．x≥4D．x≤4B2、小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两条直线l1、l2

如图，他解的这个方程组是()D点拨：由图象知l1、l2

的x的系数都应为负数，排除A、C.又l1、l2的交点为(2,－2)，代入验证可知只有D符合．3、如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式－2＜kx＋b＜1的

解集__________．－1＜x＜221－2－14、当x

时，直线y=-x+2上的点在x轴的下方.xoy22

xoy21>2x<1y1=-x+my2=2x+n课堂小结一次函数与方程、不等式解一元一次方程对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标解一元一次不等式对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x的取值范围

解二元一次方程组求对应两条直线交点的坐标

课堂小测

1.直线y=x+3与y轴的交点是(

)

A.(0,3)

B.(0,1)

C.(3,0)

D.(1,0)A2.直线y=kx+b与两坐标轴的交点如图所示,当y<0时,x的取值范围是(

)

A.x>2

B.x<2C.x>-1

D.

x<-1B课堂小测3.对于y1=2x－1

,

y2=4x－2

,下列说法：①两直线平行;

②两直线交y轴于同一点;③两直线交于x轴于同一点;④方程2x－1=0与4x－2=0的解相同;⑤当x=1时

,y1=