初中数学动点问题解题思路三

动点问题解题方法探究

近几年来，运动型问题常常被列为各省市中考的压轴题之一。这类问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上设计一个或两个动点，并对这些点在运动变化过程中伴随着等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察。问题常常集几何、代数知识于一体、数形结合，有较强的综合性。第一页，共十五页。动点问题解题方法探究一、知识点梳理1、全等三角形的判定方法第二页，共十五页。

(1)

全等三角形的判定方法：简记为（

）、（

）、（

），（）。（直角三角形

）

⑵

相似三角形的判定方法：类似全等三角形简记为

（

）、（）、（

）（直角三角形）

相似三角形的性质：相似三角形的对应角（），

对应边的比

（）相似比；

（当相似比=

时，两个三角形全等）

等边三角形的判定方法（1）定义：三边相等的三角形。

(2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角等于°的等腰三角形是等边三角形。

等边三角形的性质：（1）三边

（）

(2)各角都是

（）°

(3)每边上都满足三线合一。

3、含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边是斜边的

（）。第三页，共十五页。二、问题引入

遵义市2012年中考第26题：26．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．第四页，共十五页。问题（1）问的解答（1）解法一：

①用含30°角的直角三角形的性质及代数思想进行解答（在Rt△QCP中）

∵△ABC是边长为6的等边三角形，

∴AC=BC=6，∠C=60°；又∵∠BQD=30°

∴△QCP是含有30°角的Rt△

∴PC=QC

∵P、Q同时同速出

∴AP=BQ

设AP=BQ=，则PC=6-，

QC=6+即6-x=（6+x）解得x=2

∴AP的长是2.第五页，共十五页。②用含30°角的直角三角形的性质及等边三角形性质进行解答（在Rt△QCP中）

∵△ABC是边长为6的等边三角形，

∴AC=BC=6，∠C=60°

又∵∠BQD=30°

∴△QCP是含有30°角的Rt△

∴CQ=2PC

∵P、Q同时同速出发，

∴AP=BQ

∵AP+PC+BC=2AC=12∴BQ+BC+PC=CQ+PC

=12

∴PC=4

∴AP=AC-PC=2第六页，共十五页。③用含30°角的直角三角形的性质及代数思想进行解答（在Rt△APD中）∵

△ABC是边长为6的等边三角形，∴AC=BC=AB=6,

∠A=∠ABC=60°；

∵

∠BQD=30°,∴∠QDB=∠ADP=30°

∴

BQ=BD，△APD是含30角的Rt△。

∵

P、Q同时同速出发，∴AP=BQ

设AP=x,则BQ=BD=x，AD=6-x（在Rt△APD中利用30°角所对的直角边是斜边的一半）∴6-x=2xx=2

∴

AP=2第七页，共十五页。解法二：用三角形全等知识进行解答

过P作PF∥QC

则△AFP是等边三角形∴

PF=AP∵

△ABC是边长为6的等边三角形，∴AC=BC=AB=6,

∠A=∠ABC=60°；又∵∠BQD=30°，∴∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°∵P、Q同时出发、速度相同，

即BQ=AP∴BQ=PF∴△DBQ≌△DFP,∴BD=DF∵∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°,∴BD=DF=FA=

AB=

=2,∴AP=2.第八页，共十五页。解法三：用相似三角形知识进行解答∵P、Q同时同速出发,∴AP=BQ设AP=BQ=

，则PC=6-,QC=6+在Rt△APE中，∠A=60°,∠AEP=90°∴∠APE=30°∴AE=

AP=∵∠CQP=30°，∠C=60°∴∠CPQ=∴∠CPQ=∠AEP=又∵∠A=∠C=60°∴△APE∽△CQE利用

即第九页，共十五页。问题(2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？

如果不变，求出线段的长；

如果发生改变，请说明理由．解法一：用等边三角形性质进行解答解：线段DE的长不变.由（1）的解法(二)知BD=DF而△APF是等边三角形，PE⊥AF,∴AE=EF∴BD+AE=FD+EF又(FD+EF)+(BD+AE)=AB

=6,即ED+ED=6

∴ED=3为定值，即ED的长不变第十页，共十五页。PPT内容概述动点问题解题方法探究。问题常常集几何、代数知识于一体、数形结合，有较强的综合性。(2）三个角都相等的三角形是等边三角形。∴AC=BC=6，∠C=60°。即6-x=（6+x）解得x=2。②用含30°角的直角三角形的性质及等边三角形性质进行解答（在Rt△QCP中）。∴AP=AC-PC=2。③用含30°角的直角三角形的性质及代数思想进行解答（在Rt△APD中）。设AP=x,则BQ=BD=x，AD=6-x。（在Rt△APD中利用30°角所对的直角边是斜边的一半）。即BQ=AP∴BQ=PF。即ED+ED=6。∴AE=BF，PE=QF。=FD+DE=6。设AP=BQ=。二：解决此类问题的基本思想方法：。三：中考动点问题可能出现的几何图形第十一页，共十五页。(2)解法二：构造三角形与△APE全等过点Q作QF⊥AB的延长线于点F先证△APE≌△BQF∴AE=BF，PE=QF又∵∠QDF=∠PDE再证△QDF≌△PDE∴FD=DE∵AB=AE+DE+BD=BF+BD+DE

=FD+DE=6∴DE=3为定值，

即 DE的长不变F第十二页，共十五页。(2)解法三：构造三角形与△ADP全等在AB的延长线上截取BF=BQ，再连结FQ设AP=BQ=先证△BQF是等边三角形∴BF=BQ=FQ=

∠BFQ=60°∵∠A=∠BFQ=60°,

∠QDF=∠PDA

再证△QDF≌△PDA则FD=AD=

（AB+BF）

=（6+

）=3+∵AE=

AP=∴DE=AD-AE=3+-=3F第十三页，共十五页。学以致用如图，A、B两点的坐标分别是（8，0），（0、6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜

）秒．解答如下问题：当t为何值时，PQ∥BO？第十四页，共十五页。四：小结与反思一：本课动点问题求解的知识基础：1、全等三角形判定