数学建模与数学实验及数学建模资源分配

数学建模与数学实验实验报告班级:数学师范153姓名：付爽学号：1502012060实验名称:数列极限与函数极限基础实验基础实验一数列极限与函数极限第一部分实验指导书解读一、实验目的从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。实验使用软件Mathematic5.0三．实验的基本理论即方法1割圆术中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。以表示单位圆的圆内接正多边形面积，则其极限为圆周率。用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况：m=2;n=15;k=10;For[i=2,i<=n,i++,l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k];(圆内接正多边形边长)s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k];(圆内接正多边形面积)r[i_]:=Pi-s[i];d[i_]:=s[i]-s[i-1];Print[i,"",r[i],"",l[i],"",s[i],"",d[i]]]t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}](数组)ListPlot[t](散点图)2裴波那奇数列和黄金分割由有著名的裴波那奇数列。如果令，由递推公式可得出，；。用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况：n=14,k=10;For[i=3,i<=n,i++,t1=(Sqrt[5]+1)/2;t2=(1-Sqrt[5])/2;f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k];(定义裴波那奇数列通项)rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];Print[i,"",rn,"",Rn,"",dn];]t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}]ListPlot[t]3收敛与发散的数列数列当时收敛，时发散；数列发散。4函数极限与数列极限的关系用Mathematica程序m=0;r=10^m;x0=0;f[x_]=x*Sin[1/x]Plot[f[x],{x,-r,r}]Limit[f[x],x->x0]观察的图象可以发现，函数在点处不连续，且函数值不存在，但在点处有极限。令，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况k=10;p=25;a[n_]=1/n;tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]ListPlot[tf]Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]分别取不同的数列(要求)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。对于，类似地考察在点处的极限。三、实验准备认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。四、实验思路提示3.1考察数列敛散性改变或增大，观察更多的项（量、形），例如，分别取50，100，200，…；扩展有效数字，观察随增大数列的变化趋势，例如，分别取20，30，50；或固定50；或随增大而适当增加。对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。3.2考察函数极限与数列极限的关系改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字，提高计算精度。要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。第二部分实验计划实验主要是从观察数列的敛散性，观察函数值的变化趋势来理解极限的概念，进一步体会实验的准则割圆术

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。

“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。

以nS表示单位圆的圆内接正123n多边形面积，则其极限为圆周率。用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{nS}的收敛情况：

m=2;n=15;k=10;

For[i=2,i<=n,i++,

l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k];

(圆内接正123n多边形边长)

s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k];

(圆内接正123n多边形面积)

r[i_]:=Pi-s[i];

d[i_]:=s[i]-s[i-1];

Print[i,"

",r[i],"

",l[i],"

",s[i],"

",d[i]]

]

t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}]

(数组)

ListPlot[t]

(散点图2裴波那奇数列和黄金分割由有著名的裴波那奇数列。如果令，由递推公式可得出，；。用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况：n=14,k=10;For[i=3,i<=n,i++,t1=(Sqrt[5]+1)/2;t2=(1-Sqrt[5])/2;f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k];(定义裴波那奇数列通项)rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];Print[i,"",rn,"",Rn,"",dn];]t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}]ListPlot[t]，；。3.收敛与发散的数列数列当时收敛，时发散；数列发散。4.函数极限与数列极限的关系用Mathematica程序m=0;r=10^m;x0=0;f[x_]=x*Sin[1/x]Plot[f[x],{x,-r,r}]Limit[f[x],x->x0]观察的图象可以发现，函数在点处不连续，且函数值不存在，但在点处有极限。令，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况k=10;p=25;a[n_]=1/n;tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]ListPlot[tf]Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]分别取不同的数列(要求)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。对于，类似地考察在点处的三实验过程与结果设{xn}为实数列，a为定数，若对任给的正数b,总存在正整数N，使得当n>N时，有|xn-a|<b,则称数列收敛与a定数a称为数列的极限，程序如下：程序结果运行如下:裴波那奇数列和黄金分割1.考察数列敛散性改变或增大，观察更多的项（量、形），例如，分别取50，100，200，…；扩展有效数字，观察随增大数列的变化趋势，例如，分别取20，30，50；或固定50；或随增大而适当增加。对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。2.考察函数极限与数列极限的关系改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字，提高计算精度。要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。例：用Mathematica程序m=0;r=10^m;x0=0;f[x_]=x*Sin[1/x]Plot[f[x],{x,-r,r}]Limit[f[x],x->x0]观察的图象可以发现，函数在点处不连续，且函数值不存在，但在点处有极限。令，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况k=10;p=25;a[n_]=1/n;tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]ListPlot[tf]Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]分别取不同的数列(要求)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。对于，类似地考察在点处的极限。四实验结论以表示单位圆的圆内接正多边形面积，则其极限为圆周率。用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况2.由有著名的裴波那奇数列。令，由递推公式可得3.数列当时收敛，时发散；数列发散。4.分别取不同的数列(要求)，重做过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。对于目录一、问题重述 2二、符号说明 2三、模型假设 3四、问题分析 3五、模型建立与求解 4六、模拟程序设计 6七、误差分析 7八、模型的应用 7九、模型评价 7十、小结 8十一、参考文献 10一、问题重述某储蓄所每天的营业时间是上午九点到下午五点，根据经验每天不同的时间段所需要的服务员数量如下：时间段（时）9-1010-1111-1212-11-22-33-44-5服务员数量43465688储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9;00到下午5:00，但中午12:00到下午2:00之间必须安排一小时的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元。问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？二、符号说明y1,y2,y3,y4,y5——————1:00至2:00为x2.半时服务员从9:00至1:00以小时为单位的人数；x1————————————12:00至1:00为为全时服务员人数；x2————————————1:00至2:00为为全时服务员人数；三、模型假设题中所给的数据是在微小的范围内变化的数据。所给的数据基本上有效。目标函数就是所求的资源分配方案。四、问题分析本问题是一个资源决策分配的最优化问题数学模型。主要是针对根据不同的报酬雇佣全时与半时服务员的如何分配问题,首先应定义了相关的决策变量，对不同的条件约束,列出对应的目标函数,利用相关的工具进行操作,最后对结果进行分析.问题的关键1. 定义相关的决策变量.列出目标函数。2.转化为定量说明。3.列出目标函数。分析问题，收集资料。需要搞清楚需要解决的问题，分析有可能的情况。建立模拟模型，编制模拟程序。按照一般的建模方法，对问题进行适当的假设。也就是说，模拟模型未必要将被模拟系统的每个细节全部考虑。模拟模型的优劣将通过与实际系统有关资料的比较来评价。如果一个“粗糙”的模拟模型已经比较符合实际系统的情况，也就没有必要建立费时、复杂的模型。当然，如果开始建立的模型比较简单，与实际系统相差较大，那么可以在建立了简单模型后，逐步加入一些原先没有考虑的因素，直到模型达到预定的要求为止。编写模拟程序之前，要先画出程序框图或写出算法步骤。然后选择合适的计算机语言，编写模拟程序。运行模拟程序，计算结果。为了减小模拟结果的随机性偏差，一般要多次运行模拟程序。分析模拟结果，并检验。模拟结果一般说来反映的是统计特性，结果的合理性、有效性，都需要结合实际的系统来分析，检验，以便提出合理的对策、方案。以上步骤是一个反复的过程，在时间和步骤上是彼此交错的。比如模型的修改和改进，都需要重新编写和改动模拟程序。模拟结果的不合理，则要求检查模型，并修改模拟程序。五、模型建立与求解问题一的回答设全时服务员每天雇佣时间从12:00至1:00人数为x1,1:00至2:00为x2.半时服务员从9:00至1:00以小时为单位分别为y1,y2,y3,y4,y5.则列出模型如下:Min=100x1+100x2+40y1+40y2+40y3+40y4+40y5约束条件如下:x1+x2+y1>=4x1+x2+y1+y2>=3x1+x2+y1+y2+y3>=4x2+y1+y2+y3+y4>=6x1+y2+y3+y4+y5>=6x1+x2+y4+y5>=8x1+x2+y5>=8y1+y2+y3+y4+y5<=3x1,x2,y1,y2,y3,y4,y5>=0,且为整数.所求的结果如下由结果分析：问题一的回答：雇佣全时服务员7人,半时服务员3人.其中12:00-1:00全时服务员3名，1：00-2：00全时服务员4名。11：00-12：00雇佣半时服务员2人，12：00-1：00雇佣半时服务员1人。.问题二的回答：不能雇佣半时服务员,则全时服务员11人,其中12:00-1:00全时服务员5名，1：00-2：00全时服务员6名。最小费用1100元,即每天至少增加280元.问题三的回答：如果雇佣半时服务员的数量没有限制,则应雇佣全时服务员0人,半时服务员14人,其中雇佣半时服务员9：00——10：00为4人，11：00-12：00为2人，12：00-1：00为8人。且最少费用560元,即每天减少260元.六、模拟程序设计Max=-100*x1-100*x2-40*y1-40*y2-40*y3-40*y4-40*y5;x1+x2+y1>=4;x1+x2+y1+y2>=3;x1+x2+y1+y2+y3>=4;x2+y1+y2+y3+y4>=6;x1+y2+y3+y4+y5>=6;x1+x2+y4+y5>=8;x1+x2+y5>=8;y1+y2+y3+y4+y5<=3;y1+y2+y3+y4+y5<=3;end七、误差分析对于题目中给出的数据，采用了直接使用,这对问题的回答不会造成影响。对于问题中的要求人员应为整数解，这对于模型的建立没有影响，但对模型的求解法求解是基于表达式的，所以在模型求解时存在一定的误差。八、模型的应用本模型可用于资源决策分配的最优化问题数学模型的问题，适用范围广,操作简单。如产品分发问题,时间安排问题,股票投资问题等九、模型评价模型的优点：模型实用范围较广，问题结果清晰透彻，具有合理可靠性，适用于多个同类问题。模型的缺点：模型操作得细心，需使用多种数据处理工具。十、小结数学建模是一个经历观察、思考、归类、抽象与总结的过程，也是一个信息捕捉、筛选、整理的过程，更是一个思想与方法的产生与选择的过程。它给学生再现了一种“微型科研”的过程。数学建模教学有利于激发学生学习数学的兴趣，丰富学生数学探索的情感体验；有利于学生自觉检验、巩固所学的数学知识，促进知识的深化、发展；有利于学生体会和感悟数学思想方法。同时教师自身具备数学模型的构建意识与能力，才能指导和要求学生通过主动思维，自主构建有效的数学模型，从而使数学课堂彰显科学的魅力。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。1.只有经历这样的探索过程，数学的思想、方法，才能沉积、凝聚，从而使知识具有更大的智慧价值。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。学生的数学学习活动应当是一个主动、活泼的、生动和富有个性的过程。因此，在教学时我们要善于引导学生自主探索、合作交流，对学习过程、学习材料、学习发现主动归纳、提升，力求建构出人人都能理解的数学模型。教师不应只是