航空货运问题-数学建模培训题

点评：航空货运问题一、基本参数1、货机：假设均匀分布每天三架货机。2、工作时间5：00—20：00设置为t：[0，15]？每天货机到达时间：5：00—20：00；一工作组装满装卸场：6小时；一货机装满：3小时；装卸台的容量：1.5货机；3、费用系数：停机费（等待装货）：15000元/小时架一工作组：每小时9000元；二工作组：每小时12000元4、服务原则：假设先来先服务二、模型建立：概率计算模型（一）概率分布1、三架货机到达的时刻服从[0，15]上的均匀分布，则：密度函数：分布函数：2、设,,分别是首架货机到达时刻、第一架与第二架间隔、第二架与第三架间隔，（1）的分布函数 的密度函数：（2）其余两货机到达与第一个到达的货机的间隔在0到15-之间是均匀分布的于是：,；,，i=1,2 的密度函数（3）第三架货机到达与第二个到达的货机的间隔在0和15--之间是均匀分布的，于是： 的密度函数3、联合概率分布条件概率（A|B）公式联合概率分布：4、另：顺序统计量前个次序统计量的联合密度为:特别地，当时有……（二）优化模型模型：只要是优化必须给个优化模型！——如何调用、调用第二班、三班②目标——费用③——货机到达——随机——概率分布①——费用期望值③约束——时间关系（1）决策变量：调用工作组（一、二个）与到达时间有关（2）目标：费用费用=工作组装装卸台+第一架停机费+第二架停机费+第三架停机费其中：第一架停机费受前一天工作状态影响，情形比较复杂，我们不直接讨论，而是用迟滞概率讨论代替。分别代表工作组装装卸台费用、第二架停机费、第三架停机费由于货机到达——随机——概率分布——费用期望值（3）模型费用期望值（每天的平均费用）最小：另：费用波动程度——方差：装卸台迟滞的概率：指在一天装船工作完成后，在第二天开始之前，未能将装卸台装满货物，这样就有可能为第二天的装船工作造成损失，其计算方法为：在内，无迟滞。三、模型求解1、决策：制定规则（1）规则的选择：为什么要制定规则？规则1：无论任何情况，只使用一个工作组，而且在装货机前，装卸台必须卸满货。规则2：无论任何情况，都使用两个工作组，而且在装货机前，装卸台必须卸满。规则3：只使用一个工作组，在装货机前，装卸台应有足够的货物装满一架货机，如果没有货机等待装货，装卸台应继续补充货物，直到装卸台完全装满或是下一架货机到达。规则4：总是使用两个工作组，在装货机前，装卸台应有足够的货物装满一架货机，如果没有货机等待装货物，装卸台应继续补充货物，直到装卸台完全装满或是下一架货机到达。规则5：如果装卸场上的贮量不足一架货机的负载，则调用两个工作组，否则只使用一个工作组。在装货机前，装卸台应有足够的货物装满一架货机，如果没有货机等待装货物，装卸台应继续补充货物，直到装卸台完全装满或下一架货机到达。*规则6：当货机到达时，如果装卸场上的贮量不足一架货机的负载，则调用两个工作组，否则只使用一个工作组。在装货机前，装卸台应有足够的货物装满一架货机，如果没有货机等待装货物，装卸台应继续补充货物，直到装卸台完全装满或下一架货机到达。*规则7：以一定的货机到达时间分布来确定是否调用两个工作组，比如三架货机很晚还未到达，则调用两个工作组…………（2）一般说明规则1、2、3一定不是最优的停机费：15000元/小时架二班费：每小时12000元规则4、5不一定规则6计算比较麻烦规则7可操作性太差注：为使讨论简单，不放弃规则1、2、32、模型求解（1）（规则3）费用=工作组装装卸台+第二架停机费+第三架停机费假设：5：00装卸台已装满的费用公式：工作组装装卸台：第二架停机费：积分区域第三架停机费=594580/9+20750/3matlab求出：jisuan1.m则：=210.84（千元）方差：略装卸台迟滞概率不迟滞的范围迟滞概率为：Matlab：jisuan1.mp=0.5787——高！（2）规则四：类似(千元)（3）规则五：积分可以做，很麻烦：用计算机模拟简单一些迟滞概率的计算：（4）五种规则的结果：费用及标准差（以千元为单位）规则基本费用额外费用均值全部费用均值标准差迟滞概率11081552636957.60%212682208357.20%31081022116157.60%412660186477.20%5108681764721.50%3、结果分析：（1）规则5：所需费用最少最优?但规则5迟滞第二天的概率比规则4要高得多，那么在长时间的运转后，规则5的迟滞费用与基本费用之和将超过规则4：可讨论（2）规则4：修改即当最后一架货机装满后，若我们只使用一个工作组，可以在第二天早上5：00之前可以装满装卸台，则只使用一个工作组，这样不增加迟滞到第二天的概率，还可以相应地减少基本费用。基本费用：(9+12)*6=126——(9+12)*3+9*6=117——9注：改进后的规则与规则四的唯一区别在于，最后一架货机走后，如果能只用一个工作组就用一个，其它的都一样。所以，改进后的规则相比规则四，节约的费用就是少用第二个工作组的费用。下面来计算节约的费用：当时可以不用第二个工作组概率为：节约的费用=9*0.657=5.913（千元）——花费<3.0870（千元）进一步修改后的规则4：调用第二个工作组够用为度，还可以节省计算结果表明，修改后的规则4可以是最优的（3）据此，我们给出下面的规则：要使用两个工作组。在一架货机装船之前，装卸场至少应存有可装满一架货机的货物。若无货机等待装货，装卸场应继续装货，直到货机到达或货场已经装满。当最后一架货机离开后，若一个工作组在装卸场卸货，并且在第二天早上5：00之前可以使装卸台贮货量装满一货机，则不必使用第二个工作组。否则，调用第二个工作组够用为度。（4）总费用的计算每日费用的期望值和标准差：费用（千元）工作组费用迟滞费用合计标准差天1206018047年365天65,700898另：利用中心极限定理，构造90%的置信区间用表示年装卸费用，为费用均值，则：matlab:norminv可知，得：置信区间为90%的年装卸费用为65,700,000853,000。四、最优装卸问题的计算机模拟蒙特卡罗模拟（MonteCarlo）、模拟自举（Boosttrap）1、生成随机数Matlab基本：均匀分布rand(n)rand(m,n)标准正态randn(n)randn(m,n)特殊分布distributionrnd(mu,sigma,m,n)：分布+rnd(参数,矩阵阶数)分布：unif均匀bino二项poiss帕松norm正态exp指数tt分布chi22分布FF分布2、程序流程图起始框终止框执行框判别框程序走向注：要有开始和结束；程序中间要有走向；程序下一步要唯一3、最优装卸问题模拟一：一天的额外费用（1）算法描述第一步：生成三个[0，15]区间上均匀分布的随机数t1,t2,t3第二步：t1,t2,t3排序第三步：计算第一架货机走后第二架货机的额外费用：C2，第二架货机走后第三架货机的额外费用：C3第四步：重复第一至第三步n=200000次（模拟次数）第五步：计算n次全部额外费用的均值mean、标准差std，结束。（2）程序流程图开始,i=1,n=20000开始,i=1,n=20000sum=0,var=0随机生成t1,t2,t3NY结束t1,t2,t3排序计算额外费用C2、C3和：sum=sum+C2+C3，var=var+(C2+C3)2i<n?i=i+1mean=sum/n,std=sqrt((var-nmean^2)/(n-1))（3）求解程序①程序框架sum=0;var=0;n=200000;fori=1:nt=15.*rand(1,3);%生成[0，15]区间上的三个随机数t=sort(t);%把三个数排序t21=t(2)-t(1);t32=t(3)-t(2);t31=t(3)-t(1);%定义增量，为书写、执行简单{求c2，c3的值}sum=sum+c2+c3;%和var=var+(c2+c3)^2;%平方和endmean=sum/n%危险std=sqrt((var-n*mean^2)/n)②规则三：chengxu1.m程序中：t21=,t32=,t31=+：ift21<5%求c2的值c2=75-15*t21;elsec2=0;end%c2值结束ift21<7&t31<12%求c3的值c3=180-15*t31;elseift21>=7&t32<5c3=75-15*t32;elsec3=0;end%c3值结束③规则四：chengxu2.m④规则五：chengxu3.m另：可以模拟一星期、月、年——将每日迟滞对第二天影响写到程序中4、模拟结果（模拟次数200000次）规则比较规则集基本费用模拟计算概率计算额外费用标准差额外费用标准差规则3108102.788561.238410261规则412059.840446.67176047规则510868.558847.09876847OK!其他：1、报名！2、没按时交：6、19、24、26、27、35、36、43、65、75、81没交：17、40、47？3、论文（1）第3次实战论文格式——“2015年全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”执行（2）摘要：不能有公式、图表——围绕问题、模型、求解、结果来写页码开始——与正文分页论文不超过20页，附录页数不限不能有页眉或任何可能显示答题人身份和所在学校及赛区的信息（3）程序：附录要排序，正文中要对附录序号说明，与附录一致，例如：见附录3（附录有假程序，这是实战！当然，也有全编了程序，不容易）（4）参考文献：有参考文献？要写出来（很多同学有参考，但不写出来，比如：滞期费、调用第二个工作班次数）4、论文提交：（1）word文档：2个文件（承诺书与编号专用页、论文），目的是为国赛时打印方便，承诺书中“指导教师或指导教师组负责人”填你的指导教师（2）pdf文档：论文提交——文件名：编号（12位数字全国统一编号）+姓名（三人），不含承诺书与编号专用页（3）rar文件：支撑材料（若有的话）——包含源程序、数据（赛题中提供的原始数据除外）、重要的参考资料等。注（1）：将上述三文件放到一个文件夹中，文件夹名——编号（12位数字全国统一编号，原有校内编号作废），将文件夹放到相应指导教师文件夹中注（2）：国赛结束时，将“（2）pdf文档、（3）rar文件”在网上按时提交后，压缩成一个rar文件（不提交“（1）word文档”），用优盘拷贝到指定教师处（省组委会需要）；将“（1）word文档”打印、装订，交到指定教师处。怎样写作数学建模竞赛论文一如何建立数学模型—建立数学模型的涉骤和方法建立数学模型没有固定的模式，通常它与实际问题的性质、建模的目的等有关。当然，建模的过程也有共性，一般说来大致可以分以下几个步骤：1.形成问题要建立现实问题的数学模型，首先要对所要解决的问题有一个十分明晰的提法。只有明确问题的背景，尽量弄清对象的特征，掌握有关的数据，确切地了解建立数学模型要达到的目的，才能形成一个比较明晰的“问题”。2.假设和简化根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的假设和简化。现实问题通常是纷繁复杂的，我们必须紧紧抓住本质的因素(起支配作用的因素)，忽略次要的因素。此外，一般地说，一个现实问题不经过假设和简化，很难归结为数学问题。因此，有必要对现实问题作一些简化，有时甚至是理想化3.模型的构建根据所作的假设，分析对象的因果关系，用适当的数学语言刻画对象的内在规律，构建现实问题中各个量之间的数学结构，得到相应的数学模型。这里，有一个应遵循的原则：即尽量采用简单的数学工具。4.检验和评价数学模型能否反映厡来的现实问题，必须经受多种途径的检验。这里包括：(1).数学结构的正确性，即有没有逻辑上自相矛盾的地方；(2).适合求解，即是否有多解或无解的情况出现；(3).数学方法的可行性，即迭代方法是否收敛，以及算法的复杂性等。而更重要和最困难的问题是检验模型是否真正反映厡来的现实问题。模型必须反映现实，但又不等同于现实；模型必须简化，但过分的简化则使模型远离现实，无法解决现实问题。因此，检验模型的合理性和适用性，对于建模的成败是非常重要的。评价模型的根本标准是看它能否准确地反映现实问题和解决现实问题。此外，是否容易求解也是评价模型的一个重要标准。5.模型的改进模型在不断检验过程中经过不断修正，逐步趋向完善，这是建模必须遵循的重要规律。一旦在检验中发现问题，人们必须重新审视在建模时所作的假设和简化的合理性，检查是否正确刻画对象内在的量之间的相互关系和服从的客观规律。针对发现的问题作出相应的修正。然后，再次重复上述检验、修改的过程，直到获得某种程度的满意模型为止。6.模型的求解经过检验，能比较好地反映厡来现实问题的数学模型，最后将通过求解得到数学上的结果；再通过“翻译”回到现实问题，得到相应的结论。模型若能获得解的确切表达式固然最好，但现实中多数场合需依靠电子计算机数值求解。电子计算机技术的飞速发展，使数学模型这一有效的工具得以发扬光大。数学建模的过程是一种创造性思维的过程，对于实际工作者来说，除了需要具有想象力、洞察力、判断力这些属于形象思维、逻辑思维范畴的能力外，直觉和灵感往往不可忽视，这就是人们对新事物的敏锐的领悟、理解、推理和判断。它要求人们具有丰富的知识，实惯用不同的思维方式对问题进行艰苦探索和反复思考。这种能力的培养要依靠长期的积累。此外，用数学模型解决现际问题，还应当注意两方面的情况。一方面，对于不同的实际问题，通常会使用不同的数学模型。但是，有的时候，同一数学模型，往往可以用来解释表面上看来毫不相关的实际问题。另一方面，对于同一实际问题要求不同，则构建的数学模型可能完全不同。二写作数学建模竞赛论文应注意的问题：1.论文格式论文的封面：题目………参赛队员：………指导教师：……单位：………论文的第一页是摘要，第二页开始是论文的正文，论文要有以下几方面的内容：一.问题的提出二.问题的分析三.模型的假设四.模型的建立五.模型的求解六.模型的检验七.模型的修正八.模型的评估九.附录以上各部分内容应该都是要具备的，但有些步骤可以合并在一起。例如：问题的提出与问题的分析，模型的假设与模型的建立，模型的检验与模型的修正等。下面就每一步以及建模过程中应注意的几个问题作一简要介绍。2.审题：赛题一般有两道(研究生的竞赛有4道题)，我们可以从中任选一道，这就面临选哪道题合适的问题。因此，首先必需弄清题目的意义。数学建模的题目有时很长，有时很复杂。不易弄懂它的意义，一般要用几个钟头的时间才能弄清楚它的含义。因此我们要求：(1).深刻理解题意(2).弄清题目的实际背景(3)正确选择题目，根据自身的特长和优势作出决定。要注意不要被题目的繁长的叙述哧住，碰到长的题目要有耐心，要仔细的分析题目的各部分内容、条件和要求。3.当选定题目后，接下来就应该是对题目进进一步的分析。下面的几项工作是必需要做的：(1).在弄清问题的背景下，说清事情的来龙去脉。(2).列出必要的数据，题目所给的数据往往是不够的，还要寻找题目以外的数据。(3).列出和题目相关的各种条件和变量，分清各变量之间的主从关系。(4).给出研究对象的关键信息内容。4.在分析问题的基础上，提出合理的假设模型是在假设的前提下建立起来的。对情景的说明不可能也不必要提供问题的每一个细节。由题目所提供的假设来建立数学模型还是不够的，还要补充一些假设。假设是建立数学模型很关键的一步，关系到模型的成败和优劣。所以应该仔细地分析实际问题，从大量的变量中筛选出最能表现问题本质的变量，并简化它们的关系。这部分内容就应该在论文的问题的假设部分中体现。由于假设不是实际问题直接提供的，它因人而异，所以，在撰写这部分内容时要注意以下几个方面：(1)论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表达，使读者不致产生任何曲解。(2)所提出的假设确实是建立数学模型所必需的，与建立数学模型无关的假设只会扰乱读者的思考(3)假设应该是合理的；怎样的假设才是合理的呢？a.假设应合乎生活常识。b.假设不能与已知的科学定律相悖。c.假设必需是对建模有用的。d.尽量使用数学的语言。e.假设不要超出题目要求的范围。假设这一步是数学建模的一个难点，它关系到建模的成败和优劣，数学建模的假设就是要发挥每个人的想象力和创造力，提出适当的、合理的、有创新的见解。如果这一步成功了，那么你的整个建模过程也就成功了一半。5在假设的基础上下一步当然就是模型的建立。在建立模型之前要引进变量及其记号。每个字母所表达的确切含义。经过抽象，确切表达各变量之间的关系，用一定的数学方法，建立起方程式或归纳为其它形式的数学关系式，如图形、表格等。在建模过程中要注意以下几个问题：(1)要用分析和论证的方法，让读者清楚地了解得到建模的过程。(2)上下文之间切忌逻辑推理过程中跃度过大，影响论文的说服力。(3)需要推理和论证的地方，应该有推导过程且应该力求严谨。引用现成定理时，要先验证满足定理的条件。论文中用到的各种数学符号，必须在第一次出现时加以说明。6.模型的求解把实际问题归结为一定的数学问题后，就要求解或进行分析，数学模型的求解多数是数值求解。在求解时应对计算方法有所说明。使用何种数学软件，给出计算程序(通常以附录形式给出)。有时还用图形或表格形式表出计算结果。有些模型还要作稳定性或灵敏度分折。7.模型的检验数学模型未必都是正确的，这就需要检验，如何检验(1)检验是否符合生活常识；(2)用己给的数据检验；(3)用分析推理检验。8.模型的评估(1)模型的优缺点对自已建立的模型要有正确的评价，既要实事求是，不要过分谦虚，也不要过分誇张。(2)模型的推广,模型的适用范围。对所作的模型，可以作多方面的讨论，例如可以就不同的情景，探索模型将如何变化；也可以根据实际情况，改变文章中的某些假设，指出由此引起数学模型的变化。还可以用不同的数值方法进行计算，并比较所得结果。甚至可以拓广思路，考虑由于建模方法的不同选择而引起的变化。9.论文写作中语言表述应注意的问题。语言是构成论文的基本元素，数学模型论文的语言与其他科学论文的语言一样，要求达意、精炼，不要把一个句子写得太长，使人不甚辛读。语言中应多用客观陈述句，切忌使用你、我、他等代名词和带主观意向的语句。要特别注意以下几点：(1)语言要简炼清晰，不要用含糊不清、莫临两可的语言。(2)不要随意造句。(3)不要用倒装句(4)要通俗易懂10.如何写论文摘要竞赛论文要求写论文摘要，摘要放在论文写完最后写。摘要不是提纲，摘要应把论文的主要思想方法、结论和模型的特色讲清楚。让人看到论文的新意。摘要是给读者和评阅专家的第一印象，直接影响到能否获奖的重要因素。从98年开始，由于参赛规模的不断扩大，为了节省阅卷时间和质量，规定论文摘要写祥细一些(研究生的也一样)。即评阅论文时，先看摘要，如果看了你论文的摘要,认为这篇文章不值得参加评奖，则就被打掉。因此希望大家要十分重视论文摘要的写作。最后论文要用计算机打印出来，装订好连同电子版上缴，论文一律用A4打印。数学建模竞赛为大学生(研究生)提供了一个表达聪明才智的舞台。你们有这样的机会应该感到高兴。希望大家发扬赶想、赶干，勇于创新，不畏困难的精神。多用形象思维的方法。什么是形象思维，李大潜院士举了两个非常生动有趣的例子：一个是毛主席诗词的“渔家傲”词的最后一句“换起工农千百万，同心干，不周山下红旗乱”用了共工头触不周山的故事。毛主席的原词是：渔家傲反第一次大“围剿”一九三一年春万木霜天红烂漫，天兵怒气冲霄汉。雾满龙冈千嶂暗，齐声唤，前头捉了张辉瓒。二十万军重入赣，风烟滚滚来天半。唤起工农千百万，同心干，不周山下红旗乱。《关于共工头触不周山的故事：“淮南子.天文训”：“昔者共工与颛顼(zhuanxu)争为帝，怒而触不周之山，天柱拆，地维绝。天倾西北，故日月星辰移焉；地不满东南，故水潦尘埃归焉。”》…………。毛按：诸说不同。我取《淮南子.天文训》，共工是胜利的英雄。你看“怒而触不周之山，天柱拆，地维绝。………。”他死了没有呢？没有说。看来是没有死，共工是确实胜利了。》毛主席亲自加了按语，说他用了《维南子.天文训》的典故：“怒而触不周山，天柱折，地维绝”。毛主席写道：“他死了没有呢？没有说。看来是没有死，共工是确实胜利了。”这就完全是一种形象思维。若按形式逻辑，“他死了没有呢？”没有说，就存在两种可能性：一是死，一是活：如果再细分一下，活的当中还可分为未受伤、受轻伤、受重伤、伤重垂危等等情况。这样一来，诗味就完全没有了。