计数原理、概率公式及知识点大全 高三数学一轮复习

第3页（共10页）高中数学公式及知识点速记（四）九、计数原理1、分类加法计数原理、分步乘法计数原理①分类加法计数原理：完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”。每类办法中分别有m1且每种方法都能独立地完成这件事，每种方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可完成这件事，那么，完成这件事共有m1②分步乘法计数原理：完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”。每类办法中分别有m1除最后一步外，其他每步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，那么，完成这件事共有m12、排列与排列数①排列：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列②排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示③排列数公式：A3、组合与组合数①组合：一般地，从个不同的元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合②组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示③组合数公式：C④组合数的性质：（1）；（2）4、排列组合基本模型（1）抽球模型①分次抓不放回从6个不同的球中抽2个球，不放回地抽2次，每次抽1个，共有C61∙②一次性抽从6个不同的球中抽2个球，抽1次，1次性抽2个，共有C62种方法（或C6③分次抓有放回从6个不同的球中抽2个球，有放回地抓2次，每次抽1个，共有C6（2）骰子模型①投2次骰子，每次投1个，共有C6②投1次骰子，一次性投掷2个，共有6+C5、二项式定理（1）二项式定理：一般地，对于任意的正整数，都有a+b这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为的二项展开式.（2）二项展开式的特征：①二项展开式共有项，其第k+1项是，其第k+1项的二项式系数为Cn②字母的指数由开始按降幂排列到0，的指数由0开始按升幂排列到（3）二项式系数与项的系数的区别：二项式系数为Cnk，（4）二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等增减性：当时，二项式系数是逐渐增大的，当k>n+12时，它最大值：当是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值（5）二项式系数和：①二项展开式中各二项式系数之和为；②二项展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于.（6）杨辉三角形：对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用下表计算：…

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……表中有如下规律：“左、右两边斜行各数都是，其余各数都等于它肩上两个数字的和。”十、排列组合常用见问题1、投信问题将6个不同的球放到3个不同的盒子里，盒子可空可不空，共有362、不同元素的分组分配问题（破序法）①平均分组分配：将6个不同的球放到3个不同的盒子里，每个盒子放2个球，共有C6②部分平均分组分配：将6个不同的球放到3个不同的盒子里，3盒子分别放1,1,4个球，共有C6③不平均分组分配：将6个不同的球放到3个不同的盒子里，3盒子分别放1,2,3个球，共有C6④不同元素的分组分配综合问题：将6个不同的球放到3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个球，共有C63、相同元素的分组分配问题（隔板法）将6个相同的球放到3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个球，共有C5将6个相同的球放到3个不同的盒子里，只有1个空盒子，共有C5将6个相同的球放到3个不同的盒子里，只有2个空盒子，共有C5将6个相同的球放到3个不同的盒子里，盒子可空可不空，共有C84、排队问题（捆绑法、插空法、破序法、特殊元素优先思想、间接思想）①捆绑法：将6个带有1~6编号的球排成一列，要求1号和2号相邻，共有A2②插空法：将6个带有1~6编号的球排成一列，要求3号和4号不相邻，共有A4③破序法：将6个带有1~6编号的球排成一列，要求1号要排在2号、3号的左边，共有A65、排数问题（特殊元素优先思想、分类思想）从0,1,2,3,4,5中选3个数，组成没有重复数字的3位数，共有C56、涂色问题（分类思想）用6种不同的颜色给右图涂颜色，要求每部分涂1种颜色，共边的两部分颜色互异，共有C57、环排问题将6个不同的球排成一圈，共有A6十一、概率1、事件的关系和运算含义符号表示并事件(和事件)事件A与事件B至少有一个发生A∪B(或A＋B)交事件(积事件)事件A与事件B同时发生A∩B(或AB)互斥(互不相容)事件A与事件B不能同时发生A∩B＝∅互为对立事件A和事件B在有且仅有一个发生A∪B＝Ω，且A∩B＝∅2、古典概型（1）具有以下特征的试验叫做古典概型实验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．（2）古典概型的概率公式若试验E是古典概型，设样本空间Ω包含n(Ω)个样本点，事件A包含其中的则事件A发生的概率P(A)3、概率的基本性质①对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1②必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0③若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)④若A，B是一个随机试验中的两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)⑤如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)4、事件的独立性①两个事件相互独立：对任意事件A与B，P(AB)＝P(A)P(B)成立⇔事件A与事件B相互独立②相互独立的性质：如果事件A与B相互独立，那么A与A，A与B，A与B也都相互独立．5、频率与概率①频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称之为频率的稳定性．②频率稳定性的作用：可以用频率f估计概率P(A)6、条件概率（1）条件概率一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率，称为条件概率，记为P(B|A)，且P(B|A)＝（2）条件概率的性质①0≤P(B|A)≤1；②P(A|A)＝1；③如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)7、全概率公式（1）公式1：P(A)=P(B)P(A（2）公式2：若样本空间Ω中的事件B1，①B1+B则对Ω中的任意事件A，都有P(A8、贝叶斯公式（1）公式1：一般地，当0＜P(B)＜1且P(A)＞0时，有P(B（2）公式2：若样本空间Ω中的事件B1，①B1+B则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P(9、离散型随机变量的期望和方差①期望和方差的定义：若离散型随机变量x1,xxxx……xppp……p期望EX=i=1n②期望和方差的性质：E10、两点分布若一次试验只有两个相互对立的结果，分别称为“成功”（概率为p）、“失败”（概率为1−p），这样的试验称为伯努利试验，用随机变量X表示试验的结果，则X服从参数为p的两点分布，其分布列为：x10pp1−p其EX=p，DX=p11、二项分布若在相同条件下做n次伯努利试验，每次试验互相独立，每次试验成功的概率为p，用随机变量X表示这n次试验中成功的次数，则X服从参数为n,p的二项分布，记为X~Bn,p，px=kx01……k……npCC……C……C其EX=np，DX=np12、超几何分布若有N件产品，其中有MM≤N用随机变量X表示取出的n件产品中次品的件数，则X服从参数为N,M,n的超几何分布，且px=k=x01……k……npCC……C……C其EX=n13、正态分布（1）正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(x－μ2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ＞0)为参数)其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．（2）正态曲线的特点①曲线位于x轴上方与x轴不相交②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称③曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中σ越大