数学分析2期末考试题库

数学分析2期末试题库

《数学分析II》考试试题（1）

-、叙述题：（每小题6分，共18分）

1、牛顿-莱不尼兹公式

00

2、收敛的cauchy收敛原理

n-l

3、全微分

二、计算题：（每小题8分，共32分）

*

smtdt

1、--—

a。x4

2、求由曲线y=/和x=y之围成的图形的面积和该图形绕x轴旋转而成的几何体的体

积。

8Xn

3、求£———的收敛半径和收敛域,并求和

„=1〃（〃+1）

4、已知M=%z，求-----

dxdy

三、（每小题10分，共30分）

1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数

2、讨论反常积分「°的敛散性

3、讨论函数列S"（x）=1炉xe（-0。,+8）的一致收敛性

四、证明题（每小题10分，共20分）

X]00

1、设居,0,—>1---（〃=1,2…），证明发散

居〃M

孙22

X+y^0

2、证明函数/（%,'）=《+y2在（0,0）点连续且可偏导,

[0x2+y2=0

但它在该点不可微。，

《数学分析II》考试题（2）

一、叙述题：（每小题5分，共10分）

1、叙述反常积分J为奇点收敛的cauchy收敛原理

2、二元函数/（x,y）在区域〃上的一致连续

二、计算题：（每小题8分，共40分）

1、lim(-------1----------1-----1-----)

n+1n+22n

x=a(t-sint)

2、求摆线〈tG[0,2^-]与x轴围成的面积

y-a(l-cost)

p+co1+X

3、求(q7v)------dx

J—81+X

8（r—IV

4>求赛级数~的收敛半径和收敛域

n=l瞪

5、u=f(xy,-)，求粤-

yoxoy

三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）

x—v2

l、/(x,y)=.......-；lim/(x,y)是否存在？

%+yxf0yf0yf。xf0(%,y)f(0,0)

为什么？

（•4-00arctanx

2、讨论反常积分J。dx的敛散性。

oon3(V2+(-1)")"

3、讨论E的敛散性。

n=l3"

四、证明题：（每小题10分，共20分）

rb

1、设/（x）在［a,勿连续，/（x）20但不恒为0，证明f{x}dx>0

Ja

2、设函数0和/可微'证明grad{uv)=ugradv\vgradu

《数学分析II》考试题(3)

五、叙述题：(每小题5分，共15分)

1、定积分

2、连通集

3、函数项级数的一致连续性

六、计算题：(每小题7分，共35分)

1、(sinQnx)dx

2、求三叶玫瑰线r=asin3，，©[0,不]围成的面积

3、求犬〃=------cos-------的上下极限

2"+15

L6(X+1)〃

4、求第级数>--------的和

n=l乙

5、〃=/(x,y)为可微函数，求(二】产+(丁-在极坐标下的表达式

oxdy

七、讨论与验证题：(每小题10分，共30分)

2211

”、(x+y)sin—cos—xwO,"。,「、

1、已知/(%,丁)=(xy，求hm/(x,y)，问

0x=0或y=0

limlim/(x,是否存在？为什么？

xf0y-»0yf0xf0

2、讨论反常积分「8p；gdx的敛散性。

YIX

3'讨论力(%)=-----xG[0,1]的一致收敛性。

1+n+x

八、证明题：(每小题10分，共20分)

1、设/(x)在+8)上单调增加的连续函数，/(0)=0»记它的反函数f~x(y)，

证明£/(x)Jx+£/T(y)dy>ab(a>0,b>。)

0000

2、设正项级数收敛，证明级数也收敛

n-\n-1

《数学分析》（二）测试题（4）

—•判断题（正确的打“一”，错误的打"x"；每小题3分，共15分）：

1.闭区间［。，”的全体聚点的集合是［。，“本身。

2•函数In卜+Jx?-1）是

/.在区间（1,+°o）内的原函数°

vx2-1

3•若/（x）在［。，"上有界'贝U/（x）在［a,"上必可积。

4•若/（X）为连续的偶函数,则F（x）=£"亦为偶函数。

0010"

5•正项级数Z是收敛的。

（72+1）!

〃=1

二­填空题（每小题3分，共15分）：

1•数列1（一1）〃’一］的上极限为,下极限为

3n+l-----------------------

12n

222+22+......H------......—

-lim|n+ln+22.2

n—>oon+n

d”anx

3,—Icdt='

dx）。

8Xn

4•能级数Z——-的收敛半径H=

n=l〃,3

5.将函数f（x）=x（-7r<x<7T）展开成傅里叶级数,则a0

a”

b”

三•计算题（每小题7分，共28分）：

].fdx•e

2・xinxdx；

J/"+/o

广+X2xdx

3・f0°—^dx；7

4

J。1+xx-l

四-解答题（每小题10分，共30分）：

1,求由抛物线y2=2x与直线y=x—4所围图形的面积。

00]

2•判断级数Z（一1）"tan一是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

n-1〃

oo^2n-\

3■确定赛级数y--的收敛域,并求其和函数。

,2/7-1

五-证明题（12分）：

05jnJ/IJC

证明：函数/（x）=Z—r~在J/，+8）上有连续的二阶导函数,并求/"（x）。

n-1曜

《数学分析》（二）测试题（5）

二•判断题（正确的打“一”，错误的打“x”；每小题3分，共15分）：

1•设。为点集E的聚点，则awE。

是人在（一

2♦函数In(x+J无2+1oo,+Q0）内的原函数。

3•有界是函数可积的必要条件。

4-若/（X）为连续的奇函数,则F（x）=亦为奇函数。

oo2

5•正项级数Z—是收敛的。

n=i2

二­填空题（每小题3分，共15分）：

1-数列{2+（-1）"}的上极限为,下极限为

222

n->oo\几+nn+2nn+n

oo4〃

4•能级数y-5—xn的收敛半径R=_____________。

n=\+1

5,将函数/（x）=（一乃<%<〃）展开成傅里叶级数,则a0-

%

b.

三•计算题（每小题7分，共28分）：

3

x，2.炉dx；

1-f-----,dx；

J9+x2

3.rdx

2

」2%+X-2

四-解答题（每小题10分，共30分）：

1,求由两抛物线y=x2与y=2-x2所围图形的面积。

00_|_J

2•判断级数2（-1）1--是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

n-l〃

3•确定能级数£的收敛域，并求其和函数。

n=l

五•证明题（12分）：

仔、］__

证明：函数，（x）=Z—e1,2在［o,+oo）上连续。

n=l〃

《数学分析》(二)测试题(6)

一•判断(2米7=14分)

()1.设/为/(%)在用上的极值点，则/'(/)=。

()2.若在司内:(x)之g'(x),/S)=gS),则对Vxe［a,勿，有y(x)Wg(x)

()3.若x为点集A的聚点，则必有XGA

()4.若产(%)连续,则(J户(%)dx)=户(%)+C

，

(%2\

()5.若/(%)在［a,b］上连续，则f于(t)dt-f(x2)

va)

()6.若WX收敛，WA发散，则2(氏十勿)必发散

()7.若［a：收敛，则Za：必收敛

二•填空(3*7=21分)

1.已知(y(Inx))=2—%，贝旷(%)=

2-fsinA：ln(x2+V)dx=__________

J—〃

3.的(工)=卜R,贝”"(x—l)dx=_______

ex(x>0)J0

4.求limJj；sin/口=

5.求y=x3-x2+1的拐点坐标（）

、.（111>

6.用定积分求lim------1--------1--,•H---------=__________

+1n+2n+nj

7.幕级数X—^—xn的收敛半径R=

nx2n

三.计算（4*7=28分）（要有必要的计算过程）

1.[xexdx2.[—,dx

JJx4x^l

r1

3.arcsin^z/x

Jo

4-求曲线y=2-f与>=x所围成的图形的面积

四•判别级数的敛散性（2米9=18分）（要有必要的过程）

1弋2”"!

n=l〃

00n

2.判别X（—1）”二一y在（—8,+8）上是否一致收敛，为什么

n=i«+xz

五•证明：（9+10=19分）

1•设级数与都收敛，证明：£见及绝对收敛

2•设/（%）在㈤上二阶可导，f（a）=f'（b）=0-证明：存在一点力），使得

「（打27rl溜""一⑷

（b-a）

《数学分析》(二)测试题(7)

一•判断(2米7=14分)

()1.设/'(/)=0，则同必为了(X)的极值点

()2.若在瓦|内尸(无)》g'(x),/3)=g3),则对Vxe[a,句，有/(x)2g(x)

()3.若x为点集A的聚点，则x可能不属于A

()4.若b(x)连续，则。F'(x)dx)=F(x)+C

，

()5.若/(x)在上连续，xe[-瓦一词,则了⑺山)

=/J)

()6.若lim皿=/<1,则级数Z%,收敛

Un'

()7.幕级数至少存在一个收敛点

二­填空(3*7=21分)

1.已知(〃x+l)j=/—2,贝犷(x)=

,rlCOSX7/COSX7

2,已矢口I-1dx—A,贝!JI-,dx—

、门z、fx+1(%<0)

3.设/1(x)=|2z八、，贝—1"=________

x(x>0)Jo

,4r1「xl-COSf,

4.求lim—|----------dt=

%->o%J°t

三.计算（4*7=28分）（要有必要的计算过程）

1.xtaxdx2.一,dx3.fxarctanAz/x

JJx4x^lJo

4,求曲线y=J?从x=0至！］x=l的弧长

四•判别级数的敛散性（2构=18分）（要有必要的过程）

1寸1e+1丫?

8n

2.判别X（—1）”二一y在（一8,+8）上是否一致收敛，为什么

n=l/+/

五•证明：（9+10=19分）

1•设级数与都收敛>证明：£（即+2）2收敛

2-若/(x)在［a,Z?］上连续，/(%)W0,『/(珠&=0,证明：/'(九)三0,e［a,b］

*a_

《数学分析》(二)测试题(8)

三♦判断题(正确的打“一”，错误的打“x”；每小题3分，共15分)：

1•开区间(。,6)的全体聚点的集合是(。,6)本身。

2-函数1111+J九2_1）是

1.在区间(1,+8)内的原函数°

Vx2-1

3•若/(%)在［。，司上有界,则/(x)在［。，"上必可积。

4•若/(x)为［。，可上的连续函数,则f(x)=/(/)(!/在［。，目上可导。

CO1

5•正项级数Z一是收敛的。

n=lR

二•填空题(每小题4分，共16分)：

一•r12n}

1.1叫」……+^wj=--------------

8Xn

3•第级数E——-的收敛半径A二

n=l〃，3

4.将函数/（%）=x（一乃＜x＜乃）展开成傅里叶级数,则a0=

三•计算题（每小题10分，共30分）：

nX/•+00X

1•f---y；2•fflnxdx；3•[-----dx；

J1-x2J1J。1+x4

四-解答题（每小题10分，共30分）：

1•求由抛物线y2=2x与直线y=x—4所围图形的面积。

00］

2•判断级数Z（-1）'=是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛？

n=\n

3•确定赛级数Z的收敛域，并求其和函数。

n-\

五•证明题（9分）：

仔、］--

证明：函数y（x）=Z—e，在［0,+oo）上连续。

n=l〃

参考答案（1）

一、1、设/（x）在［a,b］连续>F（x）是/（%）在［a,b］上的一个原函数，贝,］成立

rb

［f（x）dx=F（Z?）-F（a）

Ja

2、X/e>03N>0,使得\/m>n>N>成立,用+an+2H+am\<e

3、设Ou&为开集，z=/（x,y）,（x,y）wZ）是定义在Z）上的二元函数，

玲（/，比）为。中的一定点，若存在只与点有关而与Ay无关的常数A和B，使得

Az=AAx+BAy+o（\«+八产）则称函数/在点痣（%,%）处是可微的，并称

AAx+BAy为在点々，（/，儿）处的全微分

二、1、分子和分母同时求导

2

[smtdt4

「2xsinx

Jo=g（8分）

lim二lim------——

x->0X6%-。6x5

2、、两曲线的交点为（0,0），（1，1）（2分）

所求的面积为：-x2）dx=^（3分）

所求的体积为：7i\（%-%5）dx=—（3分）

Jo10

]

。/V5+1)(〃+2)1,

3、解：设/(x)=X-------‘lim-——今------二1，收敛半径为1，收敛域

〃=in(n+1)…]

n(n+1)

[-11](2分)

8

/(x)=V--------------------ln(l-%),(0<|x|<1),

£s+i)

XX

/(x)=\Xf\t)dt=1+---ln(l-x),(0<|x|<1)(3分)

Jox

产0级数为0,右1，级数为1，产T，级数为l-21n2(3分)

4、解：包二噂（3分）也=一心》+/，（5分）

dyzdxdyzx

三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D,Alembert,Raabe判别法等（应写出具体的内容4分）

5+1)!

lim(〃+?——=lim(l----)H=e~x(4分)由D'Alembert判别法知级数收敛(1分)

n—>oo〃！n—>00〃+]

nn

2、解：£"x^e^dx=£xp-le-xdx+pxp-lexdx(2分)，对，刀片7一工办；，由于

JP/Te-xfI。f+0)故p>0时,/表一7》收敛(4分)；Cxp~xe~xdx，由于

JOJI

x2xp~xe~xf0（%f+oo）（4分）故对一切的夕，九，一7一”办:收敛，综上所述0>0，积分

收敛

3、解：S〃（x）=Jx+）•收敛于x（4分）limsup|S八(％)-闻=0所以函数列

8M(9,欣)11

一致收敛性（6分）

四、证明题（每小题10分，共20分）

1、「13%4XnXnI2n-2II/i/、

I、证明：——----=—>——---7=---7%>----x2,(n>2)(6分)

%2%3%-I1223n-1n-1n—1

CO]

V--------发散,由比较判别法知级数发散（4分）

及=2〃—1

2、证明：0/y=区y/\xy|（4分）lim所以函数在（°,0）

J/x7+y2v（%,y）f（0,0）W+y

点连续，（3分）又lim工=0，/x（0,0）,/v（0,0）存在切等于0，（4分）但

-Ax

lim--_J不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）

（Ar,Aj）->（0,0）及2.2

参考答案（2）

1、VE>0.3>0,使得V0<d<&<b,成立ff（x）dx<£

Ja-3X

2、设Du/??为点集，R机为映射，\/e>033>0,使得

V|xj-x2\<S,x1x2eD,成立<£

二、1、由于一1一在［0，1］可积，由定积分的定义知（2分）

1+x

lim（----1-----------------1---------1-------）=lim—（----H----------—H------------------）=-----公=In2（6

co"+1n+22n«^°°n+£1+―1+—」°1+%

nnn

分）

4、、所求的面积为：「,〃（1-COS%）2<&=3%/（8分）

JO

»+oo1+YrA1+Y

-----dx=limf-----dx=7i（3分）

M-l+X2A-MJ-A]+X2

4、解：lim1,r=l（4分）

n—>oo

由于产0，x=2时，级数均收敛,所以收敛域为［0，2］（4分）

5、解:三小一*（3分）施（5分）

三、1、解、

limlim———=lim—=1,limlim———=lim—=0（5分）由于沿y=左元趋于（0，0）

%―。y->o%+y%-oxy-。x+yy-。y.

极限为」一所以重极限不存在（5分）

1+k

1

+ooarctanx,parctan%,c+^arctanx,“、、rarctanx,,

2、解：r--------dx=-------dx+-------dx（2分），对--------dx，由于

JoXPJoXPJlXPJoXP

+Q0

„iarctanx“八、「，「arctan%,,，、、rarctanx,.

xp--------->l（xf+0）故夕<2时--------dx收敛（4分）；--------dx，由于

xpxpJ】xp

„arctan%冗，、，，、、一「+00arctan%,,

xp------------>-（x-+8）（4分）故0>1---------办:收敛，综上所述1<小2，积分收

xp2力xp

敛

3、解：HmJn[V2+（-l）]=V2+1<1所以级数收敛（10分）

—Ko'3"3

四、证明题（每小题10分，共20分）

1、证明：由/（%）20但不恒为0，至少有一点/e[a,b]f（x）在[a,勿连续（2分），存

在包含友的区间[c,d]u[a,b]，有/(x)>0(4分)，Jf(x)dx>jf(x)dx>0(4分)

2、证明：以二元函数为例

grad(uv')-(uxv+vxu,uyv+vyii)-(uxv,uyv)+(vxu,vyu}-v(ux,uy)+u(vx,vy)-vgradu+ugradv

(10分)

参考答案(3)

一、1、设有定数/，\/£>03J>0,使得对任意的分法

。=演）<西<…<x“=6和任意的点名e[x,T，x/，只要>1=111芯（加：]）<3，成立

l<i<n

f/CJAX]-/<£

Z=1

2>S的任意两点x，y之间，都存在S中的一条道路r，则称S为连通集

3'V£>O.mN（£）>O,使得X/加>〃>N'成立|a〃+i+区任2H■■…+«,„|<s

二、1、/sin(lnx)dx=%sinIn%一1cos(lnx)Jx=esinl-ecosl+1-JsinQnx)dx

re1

(5分)Jjsin(lnx)Jx=—(esinl-^cosl+1)(2分)

2£2

6、由对称性知，所求的面积为：6x—I*2sin23OdO------(7分)

2J。4

__147r

7、解：上极限为0.59下极限为一cos—（7分）

25

收敛域为级数的和为一--(4分)，

1-x

5、解：设极坐标方程为

x=rcos^,y-rsin0=urcos6+〃、，sin。=-rsin0uv+rcos0uy,

右kxydexy

(5分)(第，+(当*约+」(2)2(2分)

oxoyorrot)

11

三、1、解、由于sin—cos—有界，％9+y?为无穷小，lim/(x,y)=0(5分)

xy(羽y)f(O,O)

limlim(x2+^2)sin—cos—=lim(limx2sin—cos—+limy1sin-cos而

-0y—0xyxf'0yf0yfs0X

211«ii

limxsin—cos—极限不存在limy-sin—cos一极限存在，故整体极限不存在,同理

yf。xyy-oxy

limlim/(x,y)不存在(5分)

y—>0x—>0

叶81fl1[,+81rl1

2----ax=-------dx+dx(2分)，对--------dx，

(oxp+xq-------Joxp+xq1xp+xqJ。xp+xq

由于xmin(/?,^)一-->1(%f+0)故min(p,q)v1时J一-dx收敛(4分)；

r—^—dx，由于+8)(4分)故

“X1xl+xq

p+co1

max(p,q)>l-------办:收敛，综上所述min(p,q)<1，max(p,q)>1时，积分收

力xp+xq

敛(2分)

2

X+X

3、解：limfn(x)=x=/(x)(3分)，limsud(x)-/(x)|=limsup二0

n—><x)n—>con—>oo1+n+x

所以函数列一致收敛(7分)

四、证明题(每小题10分，共20分)

1证明：当Z?=/(〃)时，//(%)d九+1/T(y)办=(<2>0,Z?>0)(4分)

当Z?>/(〃)时，)/T(y)dy>(a>0,b>0)(3分)

当b</(a)时，，(f(x)dx+^f~\y)dy>ab(a>0,/?>0)(3分)

00

2、证明：由于收敛，故limx”=0(2分)，于是,总存在三〃。使得“2々)时，

n-l00

0000

有0<x“<1，从而，当〃2%时，有0<X；<X"(5分)，由于级数ZX”收敛‘当然X%"

n-l〃=徇

0000

收敛,故级数Zx；收敛,从而2/也收敛(3分)

n=n0«=1

标准答案(4)

四•判断题（正确的打“一”，错误的打“x”；每小题3分，共15分）：

1•/2•/3•x4-x5v

二•填空题（每小题3分，共15分）：

1-->--；2--ln2；3"e^'sec2x；4-3

J_」2_______________

5-a0=0，an=0.，么=（--

n

三•计算题（每小题7分，共28分）：

1-f———=f=arctan（e*）+C;

J尸+/Jl+-eI2x'）

（4分）（3分）

c「ere[12I12iIe1「e7lol2心

2•x\n.xdx=Inxd\—x=—%Inxl----xdx=—e--------x=

JiJi12J2112J12411

（4分）（3分）

b

3・dx=lim。占公=|limL4x2

1+x=TlimMCtan0

•1T人>4-00丁九乙/?-^+oo,丁人乙Z?-»+oo

n.

4

（2分）（2分）（2分）（1

分）

r2xdx产xdx0

4lim自I）'+2（xT）J=1

«fi+2儿3

（2分）（3分）（2分）

四•解答题（每小题10分，共30分）：

1,求由抛物线y2—2x与直线y=x—4所围图形的面积。

解：两交点为（2,-2）,（8,4），则（3分）

（2\/2

S=Jy+4———dy———F4-y—―18

-2l）I26儿2

（3分）（3分）（1分）

8]

2•判断级数Z（一1）"tan-是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

n-1〃

解：设an=tan—>an>Q>贝an>an+l,4-0（"fco），（3

n

分）

00]

由Leibniz判别法知,级数Z（-1）"tan一收敛。（3

n-l〃

分）

1

tan-a,]

而由lim一厂"=1知，级数Ztan一发散，故原级数条件收敛。（4

ms_n-\〃

n

分）

oo^2n-\

3•确定赛级数y--的收敛域，并求其和函数。

■2/7-1

lf+1

解：因为lim四兽邛『‘所以（2

8\X

2n-l

分）

当W<1时第级数绝对收敛，当W>1第级数发散，故收敛半径H=1。（2

分）

又当x=±l时氟级数发散，故收敛域为（―1,1）。（2

分）

002«—1001

设S（x）=£-----,贝U=fx?”—2=------,从而（2

〃=12〃-1念1-x

分）

S（x）ToVJdx=；ln产，xe（-l,1）=（2

Jol-x-21-x

分）

五•证明题（12分）：

证明：函数/（x）=X——在（-00,+00）上有连续的二阶导函数,并求/"（X）。

n-l〃

证明：因为X/X£（—8,+8）,有

(sin〃%)(COS几V)

sinnxcosnxsinnx<1

"41〃3-1,1n3J

分）

x-'111sinnxcossinnx

而级数Z/，Z/，Z/都收敛,故级二丁，自丁YIX，?丁

都在

（-8,+00）上一致收敛。（3

分）

又级数的每一项都是连续的，故由函数项级数的连续性和可微性知，

/(X),尸(x"(x)

都在（—00,+co）上连续，且（3

分）

/（x）=£噌，〃（》）=一£sinnx—/、

——--，VXG(-00,+00)。(2

n=l〃n-1n

分）

标准答案（5）

五•判断题（正确的打“一”，错误的打“x”；每小题3分，共15分）：

1-x2v3•/4-x5v

二•填空题(每小题3分，共15分)：

1-3>1；2-1-ln2；3•esinxcosx；

4

5•许=万，*=《―1)〃