2024年高考数学一轮复习第3章：导数及其应用（附答案解析）

2024年高考数学一轮复习第3章：导数及其应用学生版

一、单项选择题

1.函数/(x)=(2x—1)d的单调递增区间为()

C.L2於+1

2.(2023・茂名模拟)若曲线y=/(x)=x2+ax+6在点(1,寅1))处的切线为3x-y-2=0,则有

()

A.a=~1,b=1B.a=1,b=—1

C.u~——2,b—1D.a=2,b——1

3.已知x=0是函数7(x)=e6—ln(x+a)的极值点，则。等于()

A.1B.2C.eD.±1

4.(2023・济南质检)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数

人》)在闭区间口，勾上的图象连续不间断，在开区间(。，6)内的导数为/'(x),那么在区间伍，

6)内至少存在一点c,使得大6)—/(a)=/(c)(6—4成立，其中c叫做人x)在［a,6］上的“拉格

朗日中值点”.根据这个定理，可得函数貝x)=(-3x在［-2,2］上的“拉格朗日中值点”的

个数为()

A.3B.2C.1D.0

5.(2023・潍坊模拟)已知函数.危)=2一/-2y一，"在(0,+8)上有零点，则加的取值范围是

()

A.［l-ln22,4-o0)B.［-ln22-l,+0°)

——ln22>+°°1

C.［-ln22,+8)D._2J

6.已知a,Z>GR,贝！J”已a>ln6"是"a+sinb>b+sina”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.(2023・宁波模拟)设加W0,若x=w为函数/(x)="(x—w)2(x—〃)的极小值点，则()

A.m>nB.m<n

dD.->1

mm

8.已知/(x)=*+3),g(x)=21nx,若存在不，物使得g(x2)=/(xi),则刈一xi的最小值为

()

A.6-81n2B.7-81n2

第1页共11页

C.21n2D.41n2

二、多项选择题

9.下列函数中，存在极值点的是()

A.y=xH--B.y—2x2~x+1

x

C.y=xlnxD.y=_2x3-x

10.已知函数兀r)=e2r+x,xG[l,3],则下列说法正确的是()

A.函数./(x)的最小值为3

B.函数/(x)的最大值为3+丄

e

C.函数人力的最小值为e+1

D.函数/(x)的最大值为e+1

11.函数兀0="3—必2+屮的图象如图，且/(X)在X=X0与X=1处取得极值，给出下列判断,

其中正确的是()

A.c<0

B.a<0

c..Xi)+X-i)>o

D.函数(x)在(0,+8)上单调递减

12.(2022・南通模拟)定义：在区间/上，若函数y=/(x)是减函数，且»=欢》)是增函数，则称

y=/(x)在区间/上是“弱减函数”.根据定义，下列结论正确的是()

A.応)=丄在(0,+8)上是“弱减函数”

X

B.人》)=王在(1,2)上是“弱减函数”

eY

C.若段)=也在(加，+8)上是“弱减函数"，则"Be

X

D.若人x)=cosx+小在卜孑上是“弱减函数”，则2wT

3K71

三、填空题

13.(2023・十堰模拟)曲线夕=lnx+x2在》=1处的切线方程为.

14.函数貝x)=-3x-[nx|+3的最大值为.

15.(2023•南京模拟)写出一个同时具有下列三条性质的三次函数义x)=.

第2页共11页

刨x）为奇函数；②/（x）存在3个不同的零点；③/（X）在（1，+8）上单调递增.

16.（2022•郑州质检）已知过点P（q,l）可以作曲线y=lnx的两条切线，则实数”的取值范围是

第3页共11页

2024年高考数学一轮复习第3章：导数及其应用教师版

一'单项选择题

1.函数/)=(2x-l)e，的单调递增区间为()

_一丄]

A.Il-0°,—2j1BIl°°,2j

f-+°°1f-,+0°1

C.l2JD.UJ

答案C

解析因为函数/(x)=(2x—l)e\所以/(x)=2eY+(2x—l)ev=(2x+l)eY,

令f(x)>0,解得x>-p

所以函数兀0的单调递增区间为1―5'+°°]

2.(2023・茂名模拟)若曲线y=/(x)=x2+“x+6在点(1,貝1))处的切线为3x-y-2=0,则有

()

A.a=-1,b=lB.a=1,b=—1

C.ct=-2,b—1D.Q=2,b=-1

答案B

解析将x=l代入3x—y—2=0得y=l,则川)=1,

则1+a+b=1,①

=x2+ax+b,

：.f(x)=2x+a,则/(1)=3,即2+a=3,②

联立①②，解得。=1,b=—\.

3.已知x=0是函数/(x)=e5—ln(x+cz)的极值点，则。等于()

A.1B.2C.eD.±1

答案A

解析因为/(x)=ea，-ln(x+a),

所以，(x)=ae"x-----.

x-va

又x=0是./(x)的极值点，

所以a—~=O,

a

解得”=±1,经检验知。=-1不符合条件，故a=l.

4.(2023・济南质检)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数

./(x)在闭区间口，勾上的图象连续不间断，在开区间3,6)内的导数为/'(x),那么在区间(“，

第4页共11页

6)内至少存在一点c,使得/(b)—/(a)=/(c)(6—4成立，其中c叫做/(x)在[a,句上的“拉格

朗日中值点”.根据这个定理，可得函数貝x)=/-3x在[-2,2]上的“拉格朗日中值点”的

个数为()

A.3B.2C.1D.0

答案B

解析函数貝x)=r-3x,

则貝2)=2,次-2)=—2,f(x)=3N—3,

由/(2)一/(-2)=/(c)(2+2),

得/(c)=l，即3c2—3=1,

解得。=心区6[-2,2],

3

所以沢x)在[-2,2]上的“拉格朗0中值点”的个数为2.

5.(2023・潍坊模拟)已知函数人x)=xe'-x2-2x-〃?在(0,十8)上有零点，则用的取值范围是

()

A.[l-ln22,+0°)B.[-ln22-l,+°°)

——ln22r+81

C.[-ln22,+°°)D._2J

答案C

解析由函数y=/(x)在(0,+8)上存在零点可知，加=X廿一z((x>0)有解，

设h(x)=xev—x2—2x(x>0),

则Y(x)=(x+l)(ex-2)(x>0),

当0avln2时,h,(x)<0,〃(x)单调递减；

当x>ln2时，h1(x)>0,Mx)单调递增.

则x=ln2时，人(x)取得最小值，且価出2)=—1裙2,

所以加的取值范围是+8).

6.已知a,bWR,则“lna>lnb"是“a+sinb>b+sin/'的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由lna>lnb,得a>fr>0.

由67+sin/)>/)+sina,

#a-sina>b—sinb.

记函数")=x—sinx(xwR),

则/(x)=1—cosx^O,

所以函数人x)在R上单调递增，

第5页共11页

又。一sina>b—sinb,

则火。)次6)，所以心b.

因此是aa+sinb>b+sina,f的充分不必要条件.

7.(2023・宁波模拟)设mWO,若x=〃?为函数人x)=〃r(x—〃。2。一〃)的极小值点，则()

A.m>nB.m<n

C.1lD.->1

mm

答案C

解析f(x)=m[2(x—m)(x~n)+(x~m)2]=3m(x—m)

若〃?<0,则/(x)是开口向下的抛物线，若x=〃?是极小值点,

必有吐卫，则〃>〃?，即2<1；

3tn

若加>0,f(x)是开口向上的抛物线，若工=用是极小值点，

必有小〉2〃+",则n<m,即丄<1,

3m

综上，(1.

m

8.已知/(x)=；a+3),g(x)=21nx,若存在xi,xi,使得g(x2)=/(xi),则也一4】的最小值为

()

A.6—81n2B.7-81n2

C.21n2D.41n2

答案B

mm

解析设g(X2)=/(xi)=掰，则X]=2〃?-3,X2=,所以X2—X1=”-2m+3,

XX

—1-

设Zr(x)=e2—2%+3,则〃(幻=产一2,

令力'(A)>0,得x>41n2；令h'(x)<0,得x<41n2,

所以力(x)在(-8,41n2)上单调递减,在(41n2,+8)上单调递增，砥0m^=7—81n2,

所以当x=41n2时，也一片取最小值,为7-81n2.

二、多项选择题

9.下列函数中，存在极值点的是()

A.y^x+-

X

C.y=x\nxD.y=—2x3—x

答案ABC

第6页共11页

解析由题意，对于A,函数y=x+l,yr—1一■可得函数》=X+丄在(-8,—1),(1,

+8)上单调递增，在(一1,0),(0,1)上单调递减，所以函数有两个极值点工=-1和x=l；

对于B,函数y=2x2—x+1为开口向上的抛物线，一定存在极值点，即为顶点的横坐标工=丄;

4

对于C,函数y=xlnx,<=lnx+l,当3时，j」<0,函数单调递减，当工仁6+)

时，yf>0,函数单调递增，所以函数歹=xlnx在x=l处取得极小值；

e

对于D,函数y=-2x3—x,y'——6x2—1<0,所以函数y=—Zx3—x在R上单调递减，没

有极值点.

10.已知函数人x)=e2r+x,xG[l,3],则下列说法正确的是()

A.函数_/(x)的最小值为3

B.函数人x)的最大值为3+丄

e

C.函数人力的最小值为e+1

D.函数/(x)的最大值为e+1

答案AD

解析../x)=e2r+x,x£[l,3],

：.f(x)=—e2-，+l,

令/(x)>0,解得x>2；令/(x)<0,解得x<2,

故函数/(x)在区间[1,2]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增，

所以函数人x)在x=2处取得极小值，也是最小值，为犬2)=3,

而/(l)=e+l,貝3)=3+丄，则/⑴43),

e

故")的最大值为7U)=e+l.

11.函数/(x)=or3—bW+cx的图象如图，且/(X)在x=xo与x=l处取得极值，给出下列判断，

其中正确的是()

A.c<0

B.«<0

C./(1)+/(-1)>0

D.函数歹=/(x)在(0,+8)上单调递减

第7页共11页

答案AC

解析f(x)=3ax2—2bx+c=3a(x—x())(x—1),

由图知x>l时，/(x)单调递增，可知/(x)>0,所以Q>0,故B错误；

又/(x)=3ax2—2bx+c=3a(x—xo)(x—l)=3ax2—3a(l+xo)x+3axo,

.•.2/J=3Q(1+xo),c=3〃xo,*.*xo<—1<0c=36fxo<O,故A正确；

Vxo<—1<0,/.1+x()<0,1)=—2b=—3a(l+x())>0,故C正确；

f(x)=3aN—2bx+c,其图象开口向上，对称轴小于0,函数/(x)在(0,+8)上单调递增，

故D错误.

12.(2022・南通模拟)定义：在区间/上，若函数y=/(x)是减函数，且》=次工)是增函数，则称

歹=人、)在区间/上是“弱减函数”.根据定义，下列结论正确的是()

A.危尸丄在(0,+8)上是“弱减函数”

X

B.危尸王在(1,2)上是“弱减函数”

eY

C.若{x)=Q在(m，+8)上是“弱减函数”，则〃畳e

X

D.若/(x)=cosx+米2在(0，3上是“弱减函数”，则2w%〈丄

3兀71

答案BCD

解析对于A,7(x)=」在(0,+8)上单调递减，y=^x)=l不单调，故A错误；

X

对于B,{x)=工，/(x)=—,在(1,2)上/(x)<0,函数貝X)单调递减，

eYeY

、=、〃)=应，=空二s=追二">0在XG(1,2)上恒成立，

evever

・・少=欢力在(1,2)上单调递增,故B正确；

对于C,若危)=坦3在(加，+8)上单调递减，

x

由/(x)=-~~”=0,得X=©,

X2

y=MEx)=lnx在(加，+8)上单调递增，故C正确；

对于D,y(x)=cosx+Ax2在3'2)上单调递减，

f(x)=-sinx+2"<0在J上恒成立］in,

人7/、sinx-/、xcosx-sinx木,、.

令厶(x)=-----,h(x)=------：----,令3(x)=xcosx-sinx,

xx2

第8页共11页

(p(x)=cosx—xsinx—cosx=—xsinx<0,2J,

.,.如)在［"

5)上单调递减，8(x)<9(0)=0,

foq2

(x)v0,...厶(x)在l'2j上单调递减，h

兀

2i

：・2kW0kW,

n7i

'孑上单调递增,

令g(x)=欢工)—xcosx+kx3,则

°,21J上恒成立,

g'(x)=cosx—xsinx+3fcc2^0在xW

xsinx—cos.r|

：.3k>\XJmax,

令我⑴:.门;cosx,尸(防x2cosx+2cosx.

>0,

X2

.•.网x)在(°,目上单调递增，F(X)<43=",

兀

22

・・・3栏J栏J

713兀

综上，kW丄，故D正确.

3九兀

三、填空题

13.(2023•十堰模拟)曲线y=lnx+x2在工=1处的切线方程为

答案3x—y—2=0

解析因为，=-+2x,当x=l时，y=l,切线斜率％=y'|i=3,

x

所以曲线y=lnx+/在x=l处的切线方程为3x-y-2=0.

14.函数(0=—3》一的司+3的最大值为.

答案2—In3

解析由题知当时，")=-3x—lnx+3,

：.f(X)=-3-L。，在［1,+8)上单调递减，

X

，/(X)max=7(l)=0；

当Ovxvl时，f(x)=-3x+\nx+3,：.f(x)=-3+-=--

Xx

.•.当3时，/，(x)>0,当XG(?1)时，(x)<0.

第9页共11页

/(x)max=/(?)=2—In3,

综上可知，y(x)max=2—In3.

15.(2023・南京模拟)写出一个同时具有下列三条性质的三次函数/(x)=.

①Ax)为奇函数；②貝X)存在3个不同的零点；