2023年高考数学模拟卷2（含解析）

模拟（二）

【说明】本试卷分为第I、II卷两部分，请将第I卷选择题的答案填入答题格内，第

II卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟.

1.已知集合5={1,2},集合7={a},。表示空集，如果SUT=S,那么a的值是（）

A.0B.1

C.2D.1或2

2.如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Q.向正方形内随机撒豆

子，若撒在图形Q内和正方形内的豆子数分别为0,n,则图形Q面积的估

计值为（）

mana

A.—B.

nm

ma2na2

C.D.一

m

3.一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为

23

AC.B.

1D.1

2-3-

4.已知a,6是平面向量，右aJ_（a-26）,b_L（8—2a）,则a与8的夹角是（）

5.如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视

图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于（）

4n8n

A.—~B.

oT

32n

L,3D.

6.已知常数&b,。都是实数，/•(x)=aV+6V+G-34的导函数为/(%),ff(x)WO

的解集为3—2〈启3},若Ax)的极小值等于一115,则a的值是()

A81.1

A。~22B.~

o

C.2D.5

7.己知i是虚数单位，复数z的共辗复数是，，如果|z|+，=8—4i，那么z等于()

A.-3-4iB.-3+4i

C.4+3iD.3+4i

8.已知。P的半径等于6,圆心是抛物线/=8彳的焦点，经过点"(1,—2)的直线，

将。户分成两段弧，当优弧与劣弧之差最大时，直线/的方程为()

A.x+2y+3=0B.x-2y-5=0

C.2x+y=0D.2x—y—5=0

9.在数列｛8)中，ai=l,a=2,若a+2=2&+LA+2,则a等于()

B.5〃“+9刀-4

C.n—2〃+2D.2#—5〃+4

10.已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数，V汨20,V矛220,若则

4f(log1^)>3,那么x的取值范围为(

)

O

11.已知函数①/'(■¥)②/1(x)=e"；③/'(x)=lnx；®f(x)—cosx.其中对于/1(x)

定义域内的任意一个》都存在唯一的如使/'(*,)-(X2)=1成立的函数是()

A.①B.②

C.②③D.③④

12.若数列｛&｝满足：存在正整数7,对于任意正整数〃都有a+,=当成立，则称数列

a,—1,a„>1,

｛a.｝为周期数列，周期为7：己知数列｛aj满足&=成如＞0）,a„,=则

+OVaWl,

an

下列结论中错误的是（）

4

A.若m=~,则勒=3B.若备=2,则卬可以取3个不同的值

C.若0=蛆，则数列｛a,J是周期为3的数列1）.mmWQ且加22,使得数列｛d｝是周期

数列

第n卷（非选择题共9。分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答,

第22〜24题为选考题，考生根据要求作答.

第H卷

题号第I卷总分

二171819202122

得分

填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）

13.如果执行下列程序框图，那么输出的S=

（开？）

IZkE：lZI

r^n

kW20?

是'输出s

S=S+2k

14.一次射击训练，某小组的成绩只有7环、8环、9环三种情况，且该小组的平均成

绩为8.15环，设该小组成绩为7环的有x人，成绩为8环、9环的人数情况见下表:

环数（环）89

人数（人）78

那么x=

ci

15.已知a,b,c分别为△48C的三个内角4B,0的对边，若才二下+1一儿，-="+

事,则tan8的值等于一

16.已知E,凡是双曲线厂y=］的两个焦点，点尸在此双曲线上，曲.旗=0,如

果点一到X轴的距离等于乖，那么该双曲线的离心率等于.

□

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤)

(本小题满分12分)设函数f(x)=sin|°x+可）+sin|OS3x（其中

。＞0),且函数A%)的图象的两条相邻的对称轴间的距离为

(1)求3的值；

(2)将函数y=F(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y

jt

=g(x)的图象，求函数g(“)在区间0,万上的最大值和最小值.

18.(本小题满分12分)某高校组织自主招生考试，其有2000名学生报名参加了笔试,

成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按

如下方式分成八组:第一组［195,205),第二组［205,215),……,第八组式65,275).如图

是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

频率/组距

0.020

0.016

0.010

0.008

0.004

195215235255275得分

(1)从这2000名学生中，任取1人，求这个人的分数在255〜265之间的概率约是多少？

(2)求这2000名学生的平均分数；

(3)若计划按成绩取1000名学生进入面试环节，试估计应将分数线定为多少？

19.(本小题满分12分)如图1,在直角梯形48切中，AD//BC,N/%=90°,BA=BC.

把△砌，沿〃、折起到△/C的位置，使得点。在平面上的正投影。恰好落在线段〃、上,

如图2所示.点反尸分别为棱。C,缪的中点.

⑴求证：平面侬'〃平面APD-,

(2)求证：5，平面2见

(3)在棱用上是否存在一点M,使得"到只0,C,〃四点距离相等？请说明理由.

20.(本小题满分12分)已知f{x}—x—2x—In(x+1)'.

(1)求f(x)的单调递增区间；

⑵若函数H*)=f(x)—x2+3%+a在一/2上只有一个零点，求实数a的取值范围.

21.(本小题满分12分)过椭圆八3+《=l(a＞方＞0)右焦点内的直线交椭圆于4B

A/3

两点，氏为其左焦点，已知△448的周长为8,椭圆的离心率为叩.

（1）求椭圆厂的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆「恒有两个交点尺Q,

且也砌若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.

请考生在第22〜24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形48缪的外接圆为£4是。。的切线，曲的延长线

与均相交于点色AB=AD.

求证：A^=BE•CD.

23.（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程

jy3|■5cos8

已知曲线。的参数方程为一‘（。是参数），P是曲线。与y轴正半轴

y=5sin8

的交点.以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点。与曲线C只有

一个公共点的直线1的极坐标方程.

24.（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲

已知X2一13,关于x的不等式|%—3—12x+101+%+15—2Ia+13120的解集不是空

集，求实数a的取值范围.

详解答案

一、选择题

1.D依题意得7SS,因此a=l或a=2,故选D.

2

2.C由几何概率的意义可知，图形Q面积的估计值为：Xa2=詈，故选C.

C—Q

3.A记题中的等比数列的公比为g.依题意有关=9$,・,・关一$=8$,・,・二不二=8,

即/=8,得q=2,故选A.

fa•a—2b=0,0

4.B记向量a,b的夹角为。.依题意得，，、即㈤2=|引2=2a・b

〔力・b-2a=0A,

=216%os6,cos。=5，即向量&b的夹角为故选B.

乙Jo

5.C依题意得，该几何体是一个半球，其体积等于:*23=母，故选C.

6.C依题意得f1(x)=3@六+26才+cWO的解集是[-2,3],于是有3a>0,—2+3

=一袈，-2X3=4，解得，=一半，c=-18a,函数F(x)在x=3处取得极小值，于是有

3a3a2

81

f(3)=27a+9A+3c—34=—115,一5a=-8La=2,故选C.

7.D依题意，设z=a+bi(a,A£R),则有y/a2+b2+a—bi=8—4i,

[yla+1)+a=8,

\由此解得a=3,Z?=4,z=3+4i,故选D.

[b=4,

8.A依题意得，要使两弧之差最大，注意到这两弧的和一定，因此就要使其中的一弧

长最小，此时所求直线必与,切垂直，又点P(2,0),因此直线J彼的斜率等于2,因此所求的

直线方程是y+2=—](*—1),即x+2y+3=0,故选A.

9.C依题意得(a〃+2—④十1)—(&+i—a)=2,因此数列｛8什1—&,｝是以1为首项，2为公

差的等差数列，&+i—&=1+2(〃-1)=2〃-1,当〃22时，&=a+(/一a)+(a-4)+…

+⑸-a1)=1+1+3+・・・+(2/?-3)=1+"—(〃-1)"+1=/?2-2〃+

2,又ai=l=『一2Xl+2,因此a“=d-2"+2,故选C.

10.B依题意得,函数F（x）在［0,+8）上是减函数,不等式4f（log|x）>3等价于Alog1

x）>*f（|log|x［）>/Q）,|log|x|<1,即一］〈卜好总，由此解得g<x<2,故选B.

11.B对①，当Xi=0时，X2不存在；对②，任意的X1,存在唯一一个X2（X2=—X1）使

得F（Xl）F（X2）=1成立；对③，当Xl=l0VhX2不存在；对④，当汨=5时，X2不存在.

451

12.I）对于A,当向=卬=三时，/=:，53=a—1=T»4=4,%=3,因此选项A正确.对

5424

(OCmWl,

iii>1,

于B,当必=2时，若色>1,则53=4—1=2,4^2=3,或,，=3由此

0-1=3

m

/77>1,0<mWl,

解得片4或片：；若0-W1,则备=（=2,1

『，1或《1_1由

i=5

313

此解得）=*因此〃的可能值是引*4,选项B正确.

对于C,当m=小时,&二小,a2

乙J乙

=^2—1,&=镜+1,&=/，a=镜一1,8=4+1,…，此时数列｛&｝是以3为周期

的数列，因此选项C正确.综上所述，故选D.

二、填空题

13.解析：依题意，执行题中的程序框图，最后输出的S=2X（1+2+3+…+20）=

20X1+20

2X——=420.

2

答案：420

14.解析：依题意得7x+8X7+9X8=(x+7+8)X8.15,由此解得x=5.

答案：5

IQsinC

15.解析：依题意得t>-\-c-a=2bcc,osA=bccosA=-[=60°.7=-

92fbsmB

22

\PFx\+\PFi\=\F^\,

16.解析:依题意得（|历「+|朋「）一（阳|一|朋

\PFx\-\PF2\^+2a,

=2|用|•|%|=41-4/=4氏\PF,\­PFz\=2&=2.又S丛PFE=^\PF「♦'PF?"三

后川义卓，因此|A川=2m，a=7乖2_I=2,该双曲线的离心率是々一=坐.

u乙az

答案：当

三、解答题

17.解析：(l)f(x)=sinGX+/COSGx=2sin|

•/函数f(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为方,

(2)由(1)得f\x)=2sin(2x+5)

；・g(x)=2sin|

,nn5

由,可得产+产明

nJIn,

当x+—=—,即x=7-时，

JNo

g(x)取得最大值=2sin-=2

g(x)取得最小值右，=2sin

18.解析:(1)设第7(J=l,2,…，8)组的频率为则由频率分布图知/7=1-(0.004

+0.01+0.01+0.02+0.02+0.016+0.008)X10=0.12,

.,.这个人的分数在255〜265之间的概率约是0.12.

(2)这2000名学生的平均分数为200X0.04+210X0.1+220X0.1+230X0.2+

240X0.2+250X0.16+260X0.12+270X0.08=237.8.

(3)从第一组到第四组,频率为0.04+0.1+0.1+0.2=0.44,而0.5—0.44=0.06,将

第五组［235,245),按以下比例分割：

0.063

0.2-0.06=7'

，中位数为235+3=238,...应将分数线定为238分.

19.解析：(1)证明：因为点P在平面上的正投影。恰好落在线段上，所以

平面/WG所以尸OJUC

因为所以。是的中点,

所以OE//PA.

同理OF//AD.

又OECOF=。，PAHAD^A,

所以平面呼〃平面PDA.

(2)证明：因为0F〃AD,ADVCD,

所以OF.ACD.

又AZL平面4%,at平面/〃C,

所以POLCD.

又OFCPO=O,所以SL平面产如

(3)存在，事实上记点£为.犷即可.

因为切，平面夕明灯七平面?明

所以CDVPF.

又6为W的中点，所以印=加,

同理，在直角三角形/W7中，EP=EC=OE=^PC,

所以点£到四个点只0,C,厂的距离相等.

20.解析：(l)f(x)的定义域为{x|xW-1}.

VAJO=x—2x—ln(x+l)J,

，/、22x-2

(/)=2x—2-1=x+]

解j,>0得一木<X<—1或x>小,

・・・f(x)的单调递增区间是(一4,一1)和(镜，+8).

(2)由已知得F(力=x—ln(x+l')'+a,且xW—1,

2x—1

:尸(X=1---7=--.

x+1x+1

...当X<-1或X>1时，F'(x)>0；

当一1VX<1时，F'(x)<0.

当一时，尸'(x)<0,此时，尸(%)单调递减;

当l<x<2时，F'(x)>0,此时，尸(x)单调递增.

,♦"(一()=—；+21n2+a>a,尸(2)=2-21n3+a<a,

.•"(一：)>尸(2).

-।-l人|——I，。

.(x)在一5，2上只有一个零点I2/或Al)=0.

[尸2<0

1

由{V2)得]-21n2WaV21n3-2；

F2<0

由尸(1)=0得a=21n2—1.

.♦.实数a的取值范围为B一21n2WaV21n3—2或a=21n2-1.

f4a=8,

a=2,

21.解析：⑴由已知得也解得，...4=才一C2=1,

[a=2

故椭圆/、的方程为3+/=1.

(2)假设满足条件的圆存在，其方程为^+/=?(0<r<l).

当直线。。的斜率存在时，设其方程为y=Ax+t,

y=kx+t,

由2消去y整理得(1+4始)夕+845+412-4=0.

彳+y=i

设尸(X1,71),0(及，㈤，

8kt4/一4小

则为+及=—[+4六，汨■=]+47・①

OP工OQ,・\X1X2+必必=0.

又y=〃小+力y2—kx2+t,

.,.Xi及+{kx\+t)(te+t)=0,

即(1+X1X2+kt(x\+x2)+d=0.②

i4-i-24户—48a2产

将①代入②得一1+4%—落/+d=0,

4

即餐(1+六).

□

・・,直线倒与圆/+/=步相切,

(0,1),

A

存在圆/+/=£满足条件.

□