2014-2023年高考数学真题分享汇编：解析几何多选、填空（理科）（原卷版）（全国通用）

十年(2014—2023)年高考真题分项汇编一解析几何多选、填空

目录

题型一：直线的方程.........................................1

题型二：圆的方程...........................................2

题型三：直线与圆的综合.....................................3

题型四：椭圆...............................................4

题型五：双曲线.............................................6

题型六：抛物线.............................................9

题型七：圆锥曲线的综合应用................................11

题型一：直线的方程

L(2020北京高考•第15题)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放

未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量少与时间f的关系为"=/«),用-"‘一”")的大小

b-a

评价在［a,切这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间

的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在上力这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在G时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在g时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标：

④甲企业在［0,“,［/72］，［，2，，3］这三段时间中，在［0，/』的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是.

2.(2014高考数学四川理科•第14题)设〃?€火，过定点/的动直线x+叼=0和过定点5的动直线

/nx-y-〃z+3=0交于点尸(x,y),则的最大值是-

3.（2017年高考数学上海（文理科）•第16题）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点片、鸟、月、A

以及四个标记为的点在正方形的顶点处，设集合^={6，鸟,鸟,匕},点。€。，过。作直线。，使

得不在。上的的点分布在。的两侧.用2（/尸）和。2（。）分别表示。一侧和另一侧的的点

到。的距离之和.若过产的直线。中有且只有一条满足。«p）=Z）2（/p）>则。中所有这样的尸为

4.（2016高考数学上海理科•第10题）设a>01>0,若关于X/的方程组a《x+'y无解，则a+b的

x+by=1

取值范围是.

5.（2016高考数学上海理科•第3题）已知平行直线4：2x+y-l=0,/2：2x+y+l=0,则4与6的距离

是.___________.

题型二：圆的方程

一、多选题

1.（2021年新高考1卷•第11题）已知点P在圆（x-5『+（夕-5『=16上，点力（4,0）、8（0,2）,则

（）

A.点尸到直线的距离小于10

B.点P到直线Z8的距离大于2

C.当NPB4最小时，「同=3人

D.当/%/最大时，|尸8|=3在

二、填空题

1.（2022新高考全国I卷•第14题）写出与圆=1和（x—3）2+。—4>=16都相切的一条直线的方

程.

2.（2022年高考全国乙卷数学（理）•第14题）过四点（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三点的一个圆的方程为

3.（2020江苏高考•第14题）在平面直角坐标系X。，中，已知尸（且,0）,A,8是圆C：/+（y-；>=36上

的两个动点，满足=则"45面积的最大值是

A

4.若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线歹=1x（xNO）相切，则这个圆的方程为.

5.（2014高考数学陕西理科•第12题）若圆。的半径为1,其圆心与点（1,0）关于直线y=x对称，则圆。

的标准方程为

6.（2015高考数学湖北理科•第14题）如图，圆C与x轴相切于点T（1,O）,与y轴正半轴交于两点（5

在/的上方），且|/a=2.

（I）圆C的标淮方程为

（II）过点A任作一条直线与圆0:/+/=i相交于两点，下列三个结论:

碎生悭；②粤一悭=2；③g+悭=2日

|阴\MB\|汹\MB\AC4|\MB\

其中正确结论的序号是：（写出所有正确结论的序号）

题型三：直线与圆的综合

一、多选题

1.（2021年新高考全国n卷•第11题）已知直线/:以+如-/=0与圆。/2+/=/2,点则下列

说法正确的是（）

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点4在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点4在直线/上，则直线/与圆C相切

二、填空题

1.（2020年浙江省高考数学试卷•第15题）设直线/：y=Ax+g:>0）,圆£：x2+y2=],

2

C2：（X-4）+/=1,若直线/与G，G都相切，贝蛛=.；b=一.

2.（2022年高考全国甲卷数学（理）•第14题）若双曲线二=1（〃]>0）的渐近线与圆/+/-%+3=0

m

相切，则优=.

3.（2022新高考全国II卷•第15题）设点/（-2,3）,8（0,。），若直线关于V=a对称的直线与圆

（x+3>+（y+2）2=1有公共点，则°的取值范围是

4.（2021高考天津•第12题）若斜率为6的直线与歹轴交于点A,与圆Y+（y-1『=1相切于点8,

则网=_

5.（2020天津高考•第12题）已知直线x-回+8=0和圆x2+产=/（，>0）相交于48两点.若|N8|=6,

则/的值为.

6.（2019•浙江•第12题）已知圆C的圆心坐标是（0,加），半径长是，：若直线2x-y+3=0与圆C相切于

点』（一2,-1）,则m=,r=.

7.（2018年高考数学江苏卷•第12题）在平面直角坐标系中，A为直线/:y=2x上在第一象限内的点，

8（5,0）,以AB为直径的圆C与直线/交于另一点D.若万.丽=0,则点A的横坐标为.

f,6,

X="1H----Z,

8.（2018年高考数学天津（理）•第12题）已知圆f+V—2x=0的圆心为C,直线|«为参

y=3----1

[2

数）与该圆相交于48两点，则△Z8C的面积为.

9.（2014高考数学重庆理科•第14题）过圆外一点P作圆的切线PZ（4为切点），再作割线P8,PC分别

交圆于B,C,若P4=6,ZC=8,BC=9,则45=.

10.（2014高考数学重庆理科•第13题）已知直线ax+y—2=0与圆心为C的圆（x—1）2+（歹一。）2=4相

交于45两点，且口N8C为等边三角形，则实数。=.

11.（2014高考数学上海理科•第14题）已知曲线。：彳=一斤了"，直线/：X=6.若对于点4（〃?,0）,存在

。上的点P和/上的点。使得NA+而=6,则加的取值范围为.

12.（2014高考数学课标2理科•第16题）设点M（x0,：L）,若在圆。：X?+/=1上存在点N,使得/

OMN=45°,则%的取值范围是...

13.（2014高考数学湖北理科•第12题）直线4:y=x+a和右：歹=x+b将单位圆C:f+/=1分成长度

相等的四段弧，则片+/=-

14.（2014高考数学江苏•第9题）在平面直角坐标系;<0中，直线苫+2了-3=0被圆（》-2）2+3+1）2=4

截得的弦长为-

15.（2014高考数学大纲理科•第15题）直线/,和12是圆Y+/=2的两条切线，若人与乙的交点为（1,3）,

则4与12的夹角的正切值等于____一

16.（2016高考数学课标m卷理科•第16题）已知直线/:m工+丁+3〃?-6=0与圆/+/=12交于48

两点，过43分别作/的垂线与X轴交于C、。两点，若|/8|=26,则|C0|=.

17.（2023年新课标全国H卷•第15题）已知直线/：X-吵+1=0与口C：（，一Ip+V=4交于4B两点，

O

写出满足"山18C面积为一"的m的一个值.

题型四：椭圆

一、填空题

22

1.（2021年高考浙江卷•第16题）已知椭圆］+%=15>6>0）,焦点片（-c,0）,F2（C,0）（C>0）,若过片

的直线和圆+/=°2相切，与椭圆在第一象限交于点P,且桃，x轴，则该直线的斜率是

,椭圆的离心率是.

22

2.（2021年高考全国甲卷理科•第15题）已知片,与为椭圆C：工+匕=1的两个焦点，P,Q为C上关

164

于坐标原点对称的两点，且归。|=忸用，则四边形尸片。鸟的面积为.

3.（2022新高考全国II卷•第26题）已知直线/与椭圆上+广=1在第一象限交于A,B两点，/与x轴，y

63

轴分别交于M,N两点，且|M4|=|N8|,|A/N|=2ji,则/的方程为.

2V2

4.（2022新高考全国I卷•第16题）已知椭圆Cx：j+J=l（a>b>0）,C的上顶点为4两个焦点为耳，

a'b"

F2,离心率为g.过久且垂直于2月的直线与C交于D,E两点，|=6,则口/。£的周长是

5.（2021高考天津•第18题）已知椭圆［+?=l（a>6>0）的右焦点为尸，上顶点为8,离心率

为孚，且忸F|=VL

（1）求椭圆的方程；

（2）直线/与椭圆有唯一的公共点“，与》轴的正半轴交于点N,过N与3户垂直的直线交X轴

于点尸.若MPHBF,求直线/的方程.

6.（2019•浙江•第15题）已知椭圆会+（=1的左焦点为了，点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段「产

的中点在以原点。为圆心，|。可为半径的圆上，则直线尸尸的斜率是.

7.（2019•全国W•理•第15题）设片，工为椭圆。：女+I=1的两个焦点，”为。上一点且在第一象

限.若AM片鸟为等腰三角形，则河的坐标为.

Y2------

8.（2018年高考数学浙江卷舞17题）已知点尸（0,1）,椭圆一+V=制加>1）上两点4,B满足AP=2PB,

4

则当加=__________

时，点5横坐标的绝对值最大.

X2y2

9.（2014高考数学辽宁理科•第15题）已知椭圆C：一+1=1,点M与C的焦点不重合，若M关于C

94

的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上，则|/N|+|8N|=-

y2

10.（2014高考数学江西理科•第16题）过点作斜率为一二的直线与椭圆C:j+l(a>b>0)

2a

相交于48,若"是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为

11.（2014高考数学安徽理科•第14题）设耳月分别是椭圆E：x2+5=i（0<b<］）的左、右焦点，过点

£的直线交椭圆E于48两点.若间=3阳用，Z工轴，则椭圆E的方程为-

22

12.（2016高考数学江苏文理科•第10题）如图，在平面直角坐标系xQy中，尸是椭圆2•+3=1（。〉6〉0）

的右焦点，直线歹=?与椭圆交于8,C两点，且/89。=90。，则该椭圆的离心率是-

题型五：双曲线

一、填空题

1.（2023年北京卷•第12题）已知双曲线C的焦点为（-2,0）和（2,0）,离心率为0,则C的方程为

2.（2023年新课标全国I卷•第16题）已知双曲线。m-£=1（4>0,6>0）的左、右焦点分别为大,乃.点

------------------2-----------

A在。上，点B在V轴上，F.AVF,B,F1A=--F1B,则。的离心率为.

工2

3.（2021年新高考全国II卷•第13题）已知双曲线♦2-2V=1（。>Q,b>0）的离心率为2,则该双曲线的渐

au

近线方程为

2L

4.（2021年高考全国乙卷理科嘴13题）已知双曲线C：r土•-/=1（加〉0）的一条渐近线为瓜+叩=0,

m

则C的焦距为.

22

5.（2020年高考课标I卷理科•第15题）已知F为双曲线C:0-冬=l（a>01>0）的右焦点，A为C的右

顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.

6.（2022高考北京卷•第12题）已知双曲线/+工=1的渐近线方程为^=土且％,则加=.

m3

7.（2022年浙江省高考数学试题•第16题）已知双曲线「-匕-KaX）/〉。）的左焦点为F,过F且斜率

ab

为2的直线交双曲线于点”（须,必），交双曲线的渐近线于点8（%2,%）且玉<0<X2.若

4a

\FB\=3\FA\,则双曲线的离心率是.

8.（2020江苏高考•第6题）在平面直角坐标系xQy中，若双曲线乌-。=1（。>0）的一条渐近线方程为

y=&x,则该双曲线的离心率是.

2

9.（2020北京高考•第12题）已知双曲线C:工-己=1,则C的右焦点的坐标为_______；C的焦点到

63

其渐近线的距离是.

10.（2019•上海•第11题）已知数列｛端满足为<。,用（〃€乂*），匕（〃4）在双曲线工—二=1上，则

62

!则氏?+」=.

11.（2019•全国I•理•第16题）已知双曲线C：5-5=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为大，鸟，

ab

过耳的直线与C的两条渐近线分别交于48两点.若耳=刀，F\BF\B=0,则。的离心率

为.

12.（2019•江苏•第7题）在平面直角坐标系X0F中，若双曲线X?-4=1（6>0）经过点（3,4）,则该双曲

b~

线的渐近线方程是.

13.（2018年高考数学江苏卷•第8题）在平面直角坐标系x伽中，若双曲线』-口=1（。>0,6>0）的右焦

ab

点F（c,0）到一条渐近线的距离为等c,则其离心率的值是.

14.（2018年高考数学上海•第2题）双曲线--/=1的渐近线方程为_______.

4

X2V2

15.（2018年高考数学北京（理）•第14题）已知椭圆—七=1（。〉01>0），双曲线

ab

N:[=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆”的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六

"n

边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为.

16.（2014高考数学浙江理科•第16题）设直线x-3y+机=0（/«r0）与双曲线「―「=1（。>人>0）两

a'b-

条渐近线分别交于点45,若点尸（见0）满足|尸.=|尸同，则该双曲线的离心率是

17.（2014高考数学北京理科•第11题）设双曲线C经过点（2,2）,且与乙-/=1具有相同渐进线，则

4

C的方程为；

渐进线方程为.

18.（2015高考数学浙江理科•第9题）双曲线二一声=1的焦距是,渐近线方程是.

2

19.（2015高考数学上海理科•第9题）已知点P和。的横坐标相同，尸的纵坐标是。的纵坐标的2倍，P

和0的轨迹分别为双曲线G和，若G的渐近线方程为了=士后,则的渐近线方程为_____-

22

20.（2015高考数学山东理科•第15题）平面直角坐标系xQy中，双曲线0：-—卓=1（。>0力〉0）的

渐近线与抛物线。2：犬=20（0〉0）交于点0,48.若A0/8的垂心为G的焦点，则G的离心率

为：

22

21.（2015高考数学湖南理科•第13题）设厂是双曲线C：二-与=1的一个焦点，若。上存在点P,使

ab

线段P尸的中点恰为其虚轴的一个端点，则。的离心率为-

22.（2015高考数学北京理科•第10题）已知双曲线・•-/=］（。>0）的一条渐近线为国+歹=0,贝_

23.（2015高考数学江苏文理•第12题）在平面直角坐标系中，P为双曲线/-尸=1右支上的一个

动点，若点尸到直线X-歹+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为.

24.（2017年高考数学新课标I卷理科•第15题）已知双曲线。：5-3=1（a>0力>0）的右顶点为人以N

为圆心，b为半径作圆/,圆N与双曲线。的一条渐近线交于两点.若NMAN=60°,则C的离

心率为.

x2v2

25.（2017年高考数学上海（文理科）•第10题）设双曲线上-4=13>0）的焦点为耳、F,,P为该双

9bz

曲线上的一点，若|P月|=5,

贝|“次|=________.

26.（2017年高考数学山东理科•第14题）在平面直角坐标系中，双曲线下-方=1（4>0力>0）的右支

与焦点为尸的抛物线V=2px（p>0）交于48两点，若MH+|8F|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程

为.

27.（2017年高考数学江苏文理科•第8题）在平面直角坐标系中,双曲线5-产=1的右准线与它的两

条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是耳，玛，则四边形片空。的面积是

28.（2017年高考数学北京理科•第9题）若双曲线/-匕.=1的离心率为百，则实数加=.

m

X2v2

29.（2016高考数学山东理科•第13题）已知双曲线E：=\（a>0,6>0）,若矩形/BCD的

ab

四个顶点在E上，AB,CD的中点为E的两个焦点，且2|/8|=3|3C|,则E的离心率是.

30.（2016高考数学江苏文理科•第3题）在平面直角坐标系X。中，双曲线,-q=1的焦距

是_______」

.22

31.（2016高考数学北京理科•第13题）双曲线・一3=15〉04>0）的渐近线为正方形。48。的边

ab「

04,0。所在的直线，点3为该双曲线的焦点.若正方形CM8C的边长为2,则。=.

题型六：抛物线

一、多选题

1.（2023年新课标全国II卷•第10题）设。为坐标原点，直线歹=—G（x-1）过抛物线C:y2=342px（p>0）

的焦点，且与C交于M,N两点，/为C的准线，则（）.

Q

A.p=2B.\MN\=-

C.以MN为直径的圆与/相切D.口。“乂为等腰三角形

2.（2022新高考全国II卷•第10题）己知。为坐标原点，过抛物线C:y2=2px（p>0）焦点F的直线与C

交于A.B两点，其中A在第一象限，点”（p,0）,若|/尸|=|40|,则（）

A.直线力8的斜率为2祈B.105Ho尸I

C.\AB\>4\OF\D.ZOAM+ZOBM<\SQ°

3.（2022新高考全国I卷•第11题）已知。为坐标原点，点在抛物线。：寸=2勿5>0）上，过点

6（0,-1）的直线交C于P,Q两点，则（）

A.C的准线为丁=-1B.直线AB与C相切

C.\OP[\OQ\>\O^D.\BP\-\BQ\>\BA\i

二、填空题

1.（2023年全国乙卷理科•第13题）已知点工（1,在抛物线C：y2=2px上，则4到C的准线的距离为

2.（2021年新高考I卷•第14题）已知。为坐标原点，抛物线C：/=2px（p>0）的焦点为尸，P为C上

一点，尸尸与x轴垂直，。为x轴上一点，且尸0_LOP,若|F。|=6,则C的准线方程为.

3.（2020年新高考全国I卷（山东）•第13题）斜率为6的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于4

B两点，则卜.

4.（2020年新高考全国卷H数学（海南）•第14题）斜率为百的直线过抛物线C：/=4x的焦点，且与C交

于A,8两点，贝||/却=.

5.（2021高考北京•第12题）已知抛物线/=4x的焦点为点M在抛物线上，垂直x轴与于点

N.若|"可=6,则点加的横坐标为;口私尸的面积为.

6.（2019•上海•第9题）过/=4x的焦点/并垂直于x轴的直线分别与j?=4x交于4B,4在8上

方，〃为抛物线上一点，OM=WA+（2-2）05,贝ij/l=.

7.（2018年高考数学课标川卷（理）•第16题）已知点〃（-1,1）和抛物线C:/=4x,过C的焦点且斜率

为左的直线与。交于48两点，若N4WS=90。，则左=.

22

8.（2014高考数学上海理科•第3题）若抛物线夕2=2px的焦点与椭圆r］+v女=1的右焦点重合，则抛物

线的准线方程为

9.（2014高考数学湖南理科•第15题）如下图,正方形Z8CD和正方形。瓦G的边长分别为。力（。<6）,

原点。为/。的中点,抛物线/=2Px（p>0）经过C,尸两点,则2=.

a

10.（2015高考数学上海理科•第5题）抛物线/=2px（