《三角形的边》名师教案

.1.1三角形的边(陈娟)一、教学目标（一）学习目标1．了解三角形中的有关概念，会用符号语言表示三角形中的对应元素，理解从边、角两个角度对三角形进行分类.2．理解寻找三角形三边关系的方法，掌握三角形三边关系.3．运用三角形的三边关系解决问题及逐步渗透分类讨论的思想.（二）学习重点1．三角形的两种分类.2．“三角形两边的和大于第三边”的理解和运用.（三）学习难点灵活运用三角形的三边关系解决问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务(1)三角形的有关概念:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形的三要素是边、顶点、内角．(2)三角形的分类:按角可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边的相等关系可以分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形（等腰三角形又可以分为底边与腰不相等的等腰三角形和等边三角形两类）；(3)三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边．设三角形的两边长分别为a、b，则第三边x的取值范围是.2．预习自测（1）如图,点D在△ABC的边AB上，则图中共有个三角形，用符号语言分别表示为.【知识点】三角形.【思路点拨】数三角形个数的方法:①按图形的形成过程数；②按大小顺序数；③先固定一个顶点,变换另两个顶点；④从图中的某一条线段开始，沿着一定方向数．【解题过程】大的三角形有△ABC，小的三角形有△ACD、△BCD．【答案】3；△ABC、△ACD、△BCD．（2）下列说法中正确的有.①等边三角形不是直角三角形.②等腰三角形是等边三角形.③等边三角形是等腰三角形.④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.⑤三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形.【知识点】三角形．【思路点拨】区分定义，不重不漏．【解题过程】①等边三角形三个角度数为60°，不存在90°的直角，所以等边三角形不是直角三角形，故①正确；②等腰三角形是指有两边相等的三角形，包括腰与底边相等的等边三角形和腰与底边不相等的三角形，所以等腰三角形不一定是等边三角形，故②错；③由②的分析可得等边三角形是等腰三角形的一种特殊情况，故③正确；④按角划分三角形种类，可分为锐角、直角、钝角三角形三种，故④正确；⑤三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形两类，故⑤错.【答案】①③④（3）下列线段能构成三角形的是()．A．1、1、2B．4、5、10C．2、3、4D．1、2、3【知识点】三角形三边关系．【思路点拨】寻找较小两边之和与第三边的大小关系是否满足三角形三边关系，不必逐个验证．【解题过程】解：A选项中1+1=2，不符合三角形三边关系；B选项中4+5<10,不符合三角形三边关系；C选项中2+3>4，符合三角形三边关系；D选项中1+2=3，不符合三角形三边关系.故选：C．(二)课堂设计1.问题探究探究一了解三角形中的有关概念，会用符号语言表示三角形中的对应元素，理解从边、角两个角度对三角形进行分类.●活动①出示图片，找出其中的三角形．举出生活中的实例.【设计意图】贴近生活，创设情境，导入新课.●活动②让学生在练习本上任意画一个三角形．观察并思考：(1)什么样的图形叫做三角形？(2)怎样用符号语言表示三角形以及三角形的边、顶点和内角？(3)按角分三角形可以分为几类？按边分三角形又可以分为几类？【设计意图】明确目标，激活思维，增强兴趣．探究二理解寻找三角形三边关系的方法，掌握三角形三边关系.★▲●活动①大胆猜想，探究新知识.任画一个三角形，探索三角形的三边关系．问题1：有一只蚂蚁在点B处，它从点B出发沿三角形的边要到达点C，有几条路线可供选择？各条路线的长度有什么关系？哪条路线最短？为什么？结论：有两条路线可以选择：①由点B到点C；②由点B到点A，再由点A到点C．两条线路的长分别是BC和AB+AC．由“两点之间，线段最短”可以得到BC<AB+AC．【设计意图】问题引领，激发兴趣．●活动②集思广益，寻找方法．问题2：思考AB+BC与AC的长度有怎样的大小关系？那么AC+BC与AB呢？结论：同理可得AC<AB+BC，AB<AC+BC．【设计意图】发散思维，各抒己见．●活动③反思过程，发现关系．问题3：归纳三角形的三边满足怎样的数量关系？结论：通过移项，我们还可以得到BC-AC<AB，AC-BC<AB，AB-BC<AC．【设计意图】逆向思维，完善自我．●活动④多元思维，重新认识．结论：三角形三边关系：三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边．【设计意图】多角度思考．探究三运用三角形的三边关系解决问题及逐步渗透分类讨论的思想.★▲●活动①通过前面的探究，我们了解了三角形的定义、理解了三角形的分类以及三角形三边关系．例1：一个三角形的两边长分别为4和9，则第三边的长不可能为()．A.4.9B.5.3C.6D.6.2【知识点】三角形三边关系．【解题过程】由三角形三边关系得出5<第三边的长<13，所以A选项不对．【思路点拨】牢记三边关系．【答案】Ａ.练习1：如果一个三角形的两边长分别是3和4，则它的周长x的取值范围是．【知识点】三角形三边关系．【解题过程】三角形三边关系可得第三边长的范围是1<第三边的长<7，则它的周长的取值范围是8<x<14．【思路点拨】牢记关系，仔细辨析．【答案】8<x<14.例2：一个三角形的两边长分别是２和８，若它的第三边长为整数且为偶数，则这个三角形的第三边长为．【知识点】三角形三边关系．【解题过程】根据三角形三边关系得出6<第三边的长<10，且第三边长为整数且为偶数，所以第三边长为８．【思路点拨】牢记三角形三边关系．【答案】８.练习2：一个三角形两边的长分别为2cm和3cm，第三边长为整数，且周长是奇数，则第三边的长为．【知识点】三角形三边关系．【解题过程】由三角形三边关系得出1<第三边的长<5，因为第三边长为整数，所以第三边长可以为2cm、3cm、4cm，又因为周长为奇数，所以第三边长为2cm或4cm．【思路点拨】牢记三角形三边关系．【答案】2cm或4cm.【设计意图】通过练习，掌握关系，熟练技能．●活动2例3：某等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为.【知识点】三角形三边关系．【解题过程】当4cm为腰长时，此时三边为4cm、4cm、8cm，不能构成三角形；当8cm为腰长时，此时三边为8cm、8cm、4cm，能构成三角形，它的周长为20cm．【思路点拨】分类讨论，底腰要分．【答案】20cm.练习3：用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的２倍，那么这个等腰三角形各边的长分别是多少？【知识点】三角形三边关系.【解题过程】设底边长为xcm，则腰长为2xcm．根据题意列出方程为．解得．从而得到腰长为8cm．【思路点拨】方程思想处处可寻．【答案】8cm、8cm、4cm．例4：若a，b，c为△ABC的三边长，且满足，则c的值可以为（）．A.6B.7C.8D.9【知识点】三角形三边关系.【解题过程】∵，∴且，∴，，则第三边长的取值范围是1<x<7，所以A正确.【思路点拨】根据非负数的性质得出两边长，再根据三边关系求出第三边长．【答案】A.练习4：若△ABC三条边的长度分别为a，b，c，并且，则这个三角形为（）．A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【知识点】三角形.【解题过程】∵，∴且，∴，即，∴△ABC为等边三角形．【思路点拨】根据非负数的性质得出三边关系，判断出三角形形状．【答案】D.【设计意图】旧知与新知的融合，分类讨论数学思想的自然渗透．●活动3例5：已知△ABC三边长分别为a，b，c，其中，，且三角形的周长是大于14的偶数．(1)求a的值.(2)请判断三角形ABC的形状.【知识点】三角形三边关系.【解题过程】(1)由三角形三边关系得到<a<，即6-4<a<6+4，得到2<a<10．又∵三角形的周长是大于14的偶数，即>14，∴a>4，且a为偶数，∴a等于6或8．(2)当时，，三角形ABC为等腰三角形；当时，a，b，c互不相等，三角形ABC为三边都不相等的三角形．【思路点拨】牢记三边关系，细心解答题目．【答案】(1)或8.(2)等腰三角形或三边都不相等的三角形.练习5：已知a，b，c为△ABC的三边长，其中a，b满足条件，且c为方程的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．【知识点】非负数的性质，三角形．【解题过程】∵，∴，，解得，．又∵c为方程的解，∴，则△ABC的周长为，△ABC是等腰三角形．【思路点拨】掌握定义，判断形状．【答案】周长为8，是等腰三角形．例6：如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD相交于点E．请说明：AC＋BD>(AB＋BC＋CD＋AD)．解：∵在△ABE中有AE＋BE>AB，在△ADE中有，在△CDE中有，在△中有．∴AE＋BE＋AE＋DE＋DE＋CE＋CE＋BE>AB＋BC＋CD＋AD，即，∴AC＋BD>(AB＋BC＋CD＋AD)．【知识点】三角形三边关系.【解题过程】略.【思路点拨】抓住三角形，运用三边关系．【答案】AE＋DE>AD，DE＋CE>CD，△CBE，CE＋BE>BC，2(AC＋BD)>AB＋BC＋CD＋AD.练习6：如图，点O为△ABC内任意一点，求证：OB＋OC<AB＋AC．【知识点】三角形三边关系．【解题过程】延长BO交AC于点D，在△ABD中有OB＋OD<AB＋AD①，在△OCD中有OC<OD＋CD②，①＋②得OB＋OD＋OC<AB＋AD＋OD＋CD，即OB＋OC<AB＋AC．【思路点拨】借助辅助线，构造三角形，巧妙转移．【答案】略．【设计意图】灵活运用三角形三边关系．2.课堂总结知识梳理（1）三角形的三个特征：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．（2）三角形的相关概念．（3）三角形按角、按边的分类.（4）三角形三边关系.重难点归纳（1）三角形的分类.（2）三角形三边关系.（3）运用三角形三边关系解决实际问题.（三）课后作业基础型自主突破1．下列是用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形特征的是（）．【知识点】三角形.【解题过程】略．【思路点拨】线段手拉手，成为好朋友（三角形）．【答案】D.2．如图，(1)以AE为边的三角形有.(2)∠ADE是，的内角.(3)△ABC的三边是，三个内角是.【知识点】三角形.【解题过程】略．【思路点拨】认清图形，仔细填写．【答案】(1)△ABE、△ADE、△AEC；(2)△ADE，△ADC；(3)AB、BC、AC；∠B、∠C、∠BAC．3．一个三角形中两个内角度数分别为50°和45°，那么这个三角形是（）．A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【知识点】三角形.【解题过程】根据三角形内角和为180°，可得第三个内角为85°．【思路点拨】理解定义，仔细分析．【答案】A.4．判断正误：(1)任意一个三角形有三个顶点，三条边，三个内角．（）(2)任意三条线段都能组成一个三角形.（）(3)锐角三角形是三条边都不相等的三角形．（）(4)直角三角形不可能是等腰三角形．（）【知识点】三角形.【解题过程】(2)组成三角形的三条线段的长要满足三角形三边关系；(3)锐角三角形是指三个内角都是锐角的三角形；(4)等腰直角三角形是等腰三角形．【思路点拨】抓住定义，仔细分析．【答案】√、×、×、×.5．图中有几个三角形，请用符号表示这些三角形．【知识点】三角形.【解题过程】略.【思路点拨】数三角形个数的方法:①按图形形成的个数去数；②按大小顺序去数；③先固定一个顶点,变换另两个顶点去数；④从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数．【答案】共5个三角形，分别是△ABE、△BCE、△CDE、△ABC、△BCD．6．现有四根长度分别1cm、2cm、3cm、4cm的木棒，选取其中的三根围成一个三角形，请问有几种选法？请说说你的看法．【知识点】三角形三边关系.【解题过程】共有四种选法：(1、2、3)，(1、2、4)，(1、3、4)，(2、3、4)．其中前面三种都不符合三角形三边关系，不能构成三角形．【思路点拨】列出所有组合，判断三边关系．【答案】一种.能力型师生共研1．已知等腰三角形的周长是18cm．(1)若其中一边长为8cm，求另外两边的长；(2)若其中一边长为4cm，求另外两边的长．【知识点】三角形三边关系.【数学思想】分类讨论.【解题过程】(1)当8cm为腰长时，此时另两边长为8cm、2cm，可构成三角形；当8cm为底长时，此时另两边长为5cm、5cm，可构成三角形．(2)当4cm为底长时，此时另两边为7cm、7cm，可构成三角形；当4cm为腰长时，此时另两边为4cm、10cm，4+4＜10，不能构成三角形.【思路点拨】等腰三角形的底边和腰，根据三角形三边关系分类讨论．【答案】(1)8cm、2cm或5cm、5cm；(2)7cm、7cm.2．已知一个等腰三角形的三边长分别为x，2x+1，4x-3，求三角形的周长．【知识点】三角形三边关系.【解题过程】①当腰长是时，解得，不符合实际情况应舍去；②当腰长是时，解得，此时底边长为2x+1=3，三角形三边长为1、1、3，而1+1<3不满足三角形三边关系，不能构成三角形；③当腰长是2x+1=4x-3，解得，此时底边长为2，可以构成三角形，周长为2+5+5=12.【思路点拨】分类讨论记心上，三边关系要牢记．【答案】12.探究型多维突破1.观察以下图形，回答问题：(1)图２中有个三角形；图３中有个三角形；图４中有个三角形；图５中有个三角形；⋯⋯猜测第８个图形中有个三角形．(2)按照上面的方法继续下去，第ｎ个图形中有个三角形．【知识点】三角形.【解题过程】略．【思路点拨】寻找规律，确定个数．【答案】(1)3；5；7；9；15．(2)(2n-1).2.若a，b，c为△ABC的三条边长，请化简式子：．【知识点】三角形三边关系.【解题过程】∵a，b，c为△ABC的三条边长，根据三角形三边关系可知a>0，b>0，c>0，且a+b>c，a+c>b，b-a<c，∴原式=.【思路点拨】三边关系要牢记.【答案】.自助餐1.如图，图中三角形的个数是（）.A.６B.７C.８D.９【知识点】三角形.【解题过程】略.【思路点拨】数三角形个数的方法:①按图形形成的个数去数；②按大小顺序去数；③先固定一个顶点,变换另两个顶点去数；④从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数．【答案】B.2.长为2、3、4、5的四根木条,选其中三根组成三角形,则选法有（）种.A.１B.２C.３D.４【知识点】三角形三边关系.【解题过程】选法共有四种，但2、3、5这种选法不符合三