22.2二次函数与一元二次方程教师版

★★★★★☆22.2二次函数与一元二次方程★★★★★☆【新手目标】理解一元二次方程根的几何意义，掌握二次函数与一元二次方程之间的关系；知道抛物线与x轴的三种位置关系对应一元二次方程的根的三种情况。★★☆☆☆☆关卡21二次函数与一元二次方程/不等式★★☆☆☆☆【过关笔记】二次函数y=ax2+bx+c,当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0，所以抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；b24ac的取值b24ac＞0b24ac=0b24ac＜0二次函数y=ax2+bx+c的图象a＞0a＜0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有两个交点（x1,0）和（x2,0）有一个交点（b2a无交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况有两个不相等的实数根有两个相等的实数根无实数根二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的三种情况，对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：

【成长例题】例题11（2019·育才·第一次月考）二次函数y＝﹣x2+6x﹣9的图象与x轴的交点坐标为（3，0）．例题12已知二次函数y＝−x2−2x＋m的部分图象如图，则关于x的一元二次方程−x2−2x＋m＝0的解为−3或1例题21（2019·七中·月考）将抛物线y＝x2+2x1向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（D）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2例题22若函数y＝（a−1）x2−2x＋1的图象与x轴只有一个交点，则a的值为2或1．例题23（2021·一中·期中）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n＝9．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴当x＝﹣时，y＝0．且b2﹣4c＝0，即b2＝4c．又∵点A（m，n），B（m+6，n），∴点A、B关于直线x＝﹣对称，∴A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）将A点坐标代入抛物线解析式，得：n＝（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c＝﹣b2+c+9∵b2＝4c，∴n＝﹣×4c+c+9＝9．例题31（2021·一中·期中）如图，抛物线y＝x2+x﹣5与x轴交于点A和点B，点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝20时，求点E的坐标．【解答】解：E（﹣2，﹣5）或（0，﹣5）．例题32（2020·育才·月考）已知：抛物线的解析式为y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m，（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值．【解答】证明：（1）令y＝0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0①∵△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1＞0，∴方程①有两个不等的实数根，∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）令：x＝0，根据题意有：m2﹣m＝﹣3m+4，解得m＝﹣1+或﹣1﹣．例题4（2020·一中·月考）已知函数y＝3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（D）A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b例题51（2020·一中·月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（D）51图52图A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3例题52（2021·五中·期中）二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与一次函数y2＝kx+b的图象如图所示，当y2＞y1时，根据图象写出x的取值范围﹣2＜x＜1．例题53（2019·育才·第一次月考）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（C）A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜8例题61已知抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k3与x轴有两个交点，（1）求k的取值范围；（2）当抛物线经过原点时，①求k的值；②当y＞0时，求x的取值范围。答案：（1）k＞3且k≠1；（2）k=1.5;x＞0或x＜1.2例题62（2020·一中·月考）如图，抛物线y1＝﹣x2﹣x+c与直线y2＝x+b交于A，B（1，0）两点．（1）分别求c，b的值．（2）求y1﹣y2的最大值．（3）求点A的坐标，并根据图象判断，当x取何值时，y1＞y2？【解答】解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2﹣x+c与直线y2＝x+b交于A，B（1，0）两点，∴0＝﹣1﹣1+c，0＝×1+b，解得，b＝﹣，c＝2；（2）∵b＝﹣，c＝2，∴抛物线y1＝﹣x2﹣x+2，直线y2＝x﹣，∴y1﹣y2＝（﹣x2﹣x+2）﹣（x﹣＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+）2+，即当x＝﹣时，y1﹣y2取得最大值，即y1﹣y2的最大值是；（3），解得，或，∴点A的坐标为（﹣，﹣），由图象可得，当﹣＜x＜1时，y1＞y2．【过关练习】练习11（2021·五中·期中）已知二次函数y＝x2﹣2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是（A）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝3，x2＝﹣5练习12（2020·实验·月考）根据下列表格的对应值：x0.590.600.610.620.63x2+x﹣1﹣0.0619﹣0.04﹣0.01790.00440.0269判断方程x2+x﹣1＝0一个解的取值范围是（C）A．0.59＜x＜0.61B．0.60＜x＜0.61 C．0.61＜x＜0.62D．0.62＜x＜0.63练习2（2019·育才·第三次月考）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣9与坐标轴交点个数（B）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个练习3已知二次函数y＝x2−2mx＋m2＋3（m是常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？解答：（1）证明：∵△＝（−2m）2−4×1×（m2＋3）＝4m2−4m2−12＝−12＜0，

∴方程x2−2mx＋m2＋3＝0没有实数解，即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）解：y＝x2−2mx＋m2＋3＝（x−m）2＋3，

把函数y＝（x−m）2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝（x−m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，

所以，把函数y＝x2−2mx＋m2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．练习4（2020·十七中·第一次月考）如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）【解答】解：（1）m＝﹣1，b＝﹣3，c＝2，y＝x﹣1，y＝x2﹣3x+2；（2）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．22.1二次函数与一元二次方程/不等式作业作业1（2020·十七中·第一次月考）若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为4．作业2（2020·育才·期中）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴的一个交点是（﹣1，0），则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）作业3（2021·育才·期中）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+99的值为100．作业4若二次函数y＝x2﹣mx的对称轴是x＝﹣3，则关于x的方程x2+mx＝7的解是（D）A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝﹣7 D．x1＝﹣1，x2＝7作业5二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是（A）5图A．m≥﹣4 B．m≥0 C．m≥5 D．m≥6作业6（2020·育才·月考）二次函数y＝ax2+（2a﹣1）x+a+的图象与x轴有两个交点，则a应为（B）A．a＞ B．a＜且a≠0 C．0＜a＜ D．以上都不对作业7二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（D）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4作业8二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论：①ac＜0；②方程ax2+bx+c＝0的两根之和大于0；③y随x的增大而增大；④a﹣b+c＜0．其中正确的是（D）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④作业9若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1＝2，x2＝3②m③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）其中，正确的结论是（A）A．②③ B．② C．①② D．①②③【解答】②正确；①错误；③正确．作业10已知二次函数y＝﹣x2+3x+1，现有下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x＝1；③当x＜时，函数值y随x的增大而增大；④方程﹣x2+3x+1＝0有一个根大于4．其中正确的结论有（B）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①正确，②错误，③正确，④错误，作业11如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为﹣1＜x＜3．作业12已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c均为常数），当x＝1时，函数有最小值．甲乙丙三位同学继续研究，得出以下结论：甲：该函数的最小值为3；乙：﹣1是方程x2+bx+c＝0的一个根；丙：当x＝2时，y＝4．若这三个结论中只有一个是错误的，那么得出错误结论的同学是乙【解答】解：∵当x＝1时，函数有最小值，∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+m，若甲的结论正确，则抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3，当x＝﹣1时，y＝（﹣1﹣1）2+3＝7，此时乙的结论错误；当x＝2时，y＝（2﹣1）2+3＝4，此时丙的结论正确；若乙的结论正确，把（﹣1，0）代入y＝（x﹣1）2+m得（﹣1﹣1）2+m＝0，解得m＝﹣4，此时甲的结论错误；当x＝2时，y＝（2﹣1）2﹣4＝﹣3，此时丙的结论错误．故答案为乙．作业13二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表：x…﹣3﹣20135…y…70﹣8﹣9﹣57…①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）；②与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；③与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0）；④当x＝﹣1时，对应的函数值y为﹣5．以上结论正确的是①②④．作业14（2020·十七中·期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A（0，2），B（1，3），CB⊥x轴于点C，四边形CDEF为正方形，点D在线段BC上，点E在此抛物线上，且在直线BC的左侧，则正方形CDEF的边长为．【解答】解：把A（0，2），B（1，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，所以二次函数解析式为y＝﹣x2+x+2，设正方形CDEF的边长为a，则D（1，a），E（1﹣a，a），把E（1﹣a，a）代入y＝﹣x2+x+2得﹣（1﹣a）2+（1﹣a）+2＝a，整理得a2+3a﹣6＝0，解得a1＝，a2＝（舍去），所以正方形CDEF的边长为．作业15已知二次函数y＝（k−8）x2−6x＋k的图象与x轴只有一个交点，求该交点的坐标．答案：（3，0）或（1/3，0）作业16（2021·九中·月考）如图所示，已知y=x+1与坐标轴分别相交于B、D两点，抛物线y＝ax2+bx+c经过B、D两点，及点（1，8）求抛物线的解析式（2）已知抛物线顶点坐标为A，链接AB，AD，求三角形ABD的面积（3）直接写出不等式ax2+bx+c＜x+1的解集作业17已知二次函数y＝x2+ax+a﹣2，求证：不论a为何值，此函数图象与x轴总有两个交点．【解答】证明：令x2+ax+a﹣2＝0，∵△＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，∴不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．