《余角和补角》示范课教学PPT课件【初中数学人教版七年级上册】

第四章几何图形初步4.3.3余角和补角学习目标1.了解余角、补角的概念．2.掌握余角和补角的性质，能运用余角与补角的性质解决一些简单的实际问题．3.通过余角、补角性质的推导和应用，初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化．4.方位角的定义与应用．如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，其中∠FDC=90º，那么各个角与∠1有什么关系？问题情境

有的角与∠1的和等于90º，例如（

）；∠ADC

有的角与∠1的和等于180º，例如（）．∠ADFACBEDF12问题情境

在一副三角尺中，每块都有一个角是90°，而其他两个角的和是多少呢？30°＋60°＝90°，45°＋45°＝90°.

如果两个角的和等于90º（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角.

即：若∠1＋∠2＝90°，那么∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.探究新知余角的定义补角定义

如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.

即：若∠3＋∠4＝180°，那么∠3是∠4的补角，∠4也是∠3的补角.定义中的“互为”是什么意思？即每一个角都是另一个角的余角（补角）．探究新知∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2和∠3的大小有什么关系？探究余角和补角的性质

因为∠1与∠2和∠3都互为补角，所以∠2＝180º－∠1，∠3＝180º－∠1．

所以∠2＝∠3.探究新知42

已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补．若∠1＝∠3，那么∠2和∠4相等吗？为什么？由∠1与∠2互补，得∠1＋∠2＝180º，所以∠2＝180º－∠1.由∠3与∠4互补，得∠3＋∠4＝180º，所以∠4=180º－∠3.

又因为∠1＝∠3，所以180º－∠1＝180º－∠3，

所以∠2＝∠4.13探究新知探究新知对于余角是否也有类似性质？∠1与∠2，∠3都互为余角，∠2和∠3的大小有什么关系？

因为∠1与∠2和∠3都互为余角，所以∠2＝90º－∠1，∠3＝90º－∠1．

所以∠2＝∠3.等角的余角相等.归纳：补角的性质：等角的补角相等.余角的性质：（同角）（同角）探究新知

海上缉私艇发现离它500海里处停着一艘可疑船只，你能确定缉私艇的航线，并画出示意图吗？可疑船缉私艇BA探究新知探究新知

在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到用方位角描述一个物体的方位，那么什么叫做方位角？如何用方位角描述方向呢？方位角是表示方向的角，以正北、正南方向为基准来描述物体所处的方向，如北偏西30°，南偏东25°.北东南西A67°北偏东67°可疑船缉私艇BA探究新知

海上缉私艇发现离它500海里处停着一艘可疑船只，你能确定缉私艇的航线吗？画出示意图.

做一做：如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D．仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.60°北西南东OA探究新知O东南西北60°射线OA的方向就是南偏东60°，即灯塔A所在的方向．射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向．40°10°射线OC的方向就是南偏西10°，即货轮C所在的方向．射线OD的方向就是北偏西45°，即海岛D所在的方向．45°ABDC探究新知用方位角确定物体的画法步骤：

①先找出中心点，然后画出方向指标；②把中心点和目的地用线连接起来；③度量向北的射线和视线（中心点和目的地的连线）夹角.探究新知例1.如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和

∠BOC，图中哪些角互为余角？典型例题解：因为A，O，B在同一直线上，

所以∠AOC和∠BOC互为补角.又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC，∠BOC，＝90°．

所以，∠COD

和∠COE互为余角，同理，∠AOD

和∠BOE，

∠AOD和∠COE

，

∠COD和∠BOE也互为余角．所以∠COD

+∠COE＝∠AOC＋∠BOC

＝(∠AOC＋∠BOC)典型例题

例2．图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？10°与80°，30°与60°互为余角；10°与170°，30°与150°，60°与120°，80°与100°互为补角．典型例题例3.一个角是70°39′，求它的余角和补角.解：它的余角是90°－70°39′＝19°21′；它的补角是180°－70°39′＝109°21′.例4.∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？解：由180°－∠α＝3∠α，解得∠α＝45°.典型例题

例5.如果一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角．解：设这个角为x，则它的补角为180°－x，它的余角为90°－x．于是就有

180°－x=3（90°－x）．

解得：x=45°．典型例题

例

6．（1）如图，四条表示方向的射线中，表示北偏东30°的是（）D典型例题

（2）如图所示，射线OA表示

方向，

射线OB表示

方向.北偏西70°南偏东15°70°B15°北西南东OA典型例题课堂练习1．已知∠α的补角是125°，则∠α的度数是（

）．A．55°B．65°C．75°D．85°2．下列说法：①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．其中，正确的说法有（

）．A．1个B．2个C．3个D．4个3．一个角为35°39′，则这个角的余角为________，补角为________．A

B

54°21′

144°21′课堂练习4．一个角的补角加上24°，恰好等于这个角的5倍，求这个角的度数．解：设这个角的度数为x°，依题意，得：180－x＋24＝5x．解得：x＝34．所以这个角的度数是34°．课堂练习5．如图，E，D，F在同一直线上，∠CDE＝90°，∠1＝∠2．（1）∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？（2）∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？解：（1）∠ADC＝∠BDC．理由：因为∠CDF＝∠EDF－∠CDF＝180°－90°＝90°，所以∠2＋∠BDC＝∠CDF＝90°．又因为∠1＋∠ADC＝∠CDE＝90°，且∠1＝∠2，所以∠ADC＝∠BDC．课堂练习（2）∠ADF＝∠BDE．理由：因为∠ADF＝180°－∠1，∠BDE＝180°－∠2，又因为∠1＝∠2，所以∠ADF＝∠BDE．课堂练习6．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余？在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？互余互补相等相等课堂练习7．（1）互余且相等的两个角，各是多少度？（2）一个锐角的补角比这个角的余角大多少度？45°90°8．如图，OA是表示北偏东30°方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线：（1）南偏东25°；（2）北偏西60°.解：如图所示，OB表示南偏东25°，OC表示北偏西60°.CB25°60°30°北西南东OA课堂练习