辽宁省大连市沙河口区2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

2024年八年级（下）第一次学情调查数学试卷（本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟）考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效第一部分选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.二次根式中，的取值范围是（）A. B. C. D.2.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A.2，4，4 B.，2，2 C.3，4，5 D.5，12，143.下列计算正确的是（）A. B. C. D.4.如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（）A.10米 B.12米 C.14米 D.16米5.如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（）A. B.2 C. D.36.实数在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（）A.2 B. C. D.7.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里8.已知，则代数式的值是（）A. B. C. D.9.如图，数轴上点、、分别对应1、2、3，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（）A. B. C. D.10.把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图2中两块阴影部分的周长和是（）图1图2A.20cm B. C. D.第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11.计算：______.12.据研究，高空抛物下落的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式：，从60m高空抛物到落地的时间为______s.13.计算：______.14.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间（kǔn）一尺，不合二寸，向门广几何.”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘、两点到门槛的距离为1尺（1尺=10寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为______寸.15.如图，线段的长为4，是等腰直角三角形，，，的长为，将绕点旋转一周，连接，当，，三点共线时，线段的长为______.三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16.计算（每题5分，共10分）（1）； （2）.17.（本小题8分）小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：测量示意图测量数据①测得水平距离的长为24米.②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米.③小龙牵线放风筝的手到地面的距离长为1.6米.（1）求风筝到地面的距离线段的长；（2）如果小龙想要风筝沿方向再上升11米，和的长度不变，则他应该再放出多少米线？18.（本小题9分）著名的赵爽弦图（如图1），其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则.图1图2图3图4（1）在图2中，四边形是正方形，利用两种不同的方法表示出四边形的面积，也可以证明勾股定理，请你利用图2推导勾股定理；（2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且.测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？（3）在第（2）问中，若，如图4，，千米，千米，千米，求的长.19.（本小题8分）已知，.（1）求的值；（2）求的值.20.（本小题8分）如图，台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响.（1）请通过计算说明，海港会受到台风影响；（2）若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？21.（本小题8分）观察下列等式：①； ②；③；…解答下列问题：（1）写一个无理数，使它与的积为有理数，你写出的无理数是______；（2）利用你观察到的规律，化简；（3）计算：.22.（本小题12分）【问题建立】（1）如图1，和都是等边三角形，当点，，在一条直线上时，把沿直线翻折，点的对应点恰好落在线段上.求证：.【问题应用】（2）如图2，在中，，，点在边上，连接，将沿直线翻折得到，连接并延长交的延长线于点.求证：.【问题迁移】（3）如图3，在中，，，点在下方，，将沿直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上.求证：.图1图2图323.（本小题12分）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接并延长交的延长线于点.求证：.①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点作交的延长线于点.②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接.请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程.图1图2图3【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答.如图4，在中，，，点，在边上，，连接，，点在边上，连接，且.求证：.图4图5【学以致用】（3）如图5，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转120°得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，求的面积.

2024年八年级（下）第一次学情调查数学试卷答案及评分标准一、选择题：1.A；2.C；3.D；4.D；5.C；6.A；7.D；8.C；9.B；10.A.二、填空题：11.；12.；13.；14.101；15.或.15.解析：①如图1，当在线段上方，点在线段上时.∵是等腰直角三角形，，，，∴，∵，在中，根据勾股定理，，∴；图1图2②如图2，当在线段下方，点在线段的延长线上时，同理可得，∴.三、解答题：16.解：（1）原式……2分……4分；……5分（2）原式……8分……9分.……10分17.解：（1）在中，，，，∵，……1分∴，……2分则；……3分答：风筝到地面的距离线段AD的长为8.6m；……4分（2）风筝沿方向再上升11米后，则，……5分此时在中，，，，∵，∴风筝线的长，……6分∴（米），……7分答：他应该再放出5米的风筝线.……8分18.解：（1）证明：由题意知，∵，，……1分∴，∴；……2分（2）设千米，∴千米，在中，，∴，解得，……3分即千米，∴（千米），……4分答：新路比原路少0.1千米；……5分（3）设千米，∴（千米），∵，∴，千米，千米，千米，根据勾股定理得，在中，，在中，，…6分∴，……7分即，解得：，∴，……8分∴千米.……9分答：的长是0.8千米.19.解：（1）∵，，∴，，……2分……3分；……4分（2）∵，，∴，，，……5分……7分.……8分20.解：（1）∵，，，∴，，……1分∴，∴是直角三角形，，……2分如图，过点作于，∵是直角三角形，∴，∴，∴，……3分∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，，∴海港受台风影响；……4分（2）如图，在上取点，，使，则台风中心到达点时正好影响港口，到达点时，影响结束.在中，根据勾股定理得，，……5分∵，，∴，……6分∵台风的速度为25千米/小时，∴（小时）.……7分答：台风影响该海港持续的时间为8小时.……8分21.解：（1）；……2分（2）；……4分（3）原式……5分……6分……7分.……8分22.解：（1）证明：如图1，∵和都是等边三角形，∴，，，∴，即，……1分在和中，，∴.∴.∵翻折得到，∴，∴，∵，∴.……3分（2）证明：如图2，连接，∵沿翻折得到，∴，.又∵，∴.∴，，……4分设，∴，∴，∴，∵，∴，∴.……5分又∵，∴，∴，∴.……6分∴在中，，∴.……7分∵，，∴.∴.……8分（3）证明：如图3，延长至点，使，连接.∵，，∴.∴，∵，∴.……9分∵，，.∴.∵，.……10分∴，即.∴为等腰直角三角形，∴，∴.∴.……11分∵沿着翻折得到，∴，∴.∵，∴，∴.……12分图1图2图323.解：（1）选择小辉同学的解题思路.证明：如图1，过作交的延长线于.∵，∴，，∴.……1分∵交延长线于，∴，∴，又∵绕点旋转至，∴，∴，∴，.……2分∵，∴.∴.∴，∴.∴，∴.∵，∴为等腰直角三角形，∴.∴，∴.……3分选择小光同学的解题思路.证明：如图2，在上截取，连接.∵，∴.∴.……1分∵，，∴.即.又∵，∴.∴.……2分∵，，∴，∴.∴，∴，∵，∴.，，∴.……3分（2）证明：如图3.过作于，过作于.∵，，∴，又∵.∴.∴，.……4分∵，∴，