离散数学第五版第四章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)

第四章

二元关系和函数4.1迪卡尔乘积与二元关系4.2二元运算4.3关系的性质4.4关系的闭包4.5等价关系和偏序关系4.6函数的定义与性质4.7函数的复合与反函数4.1迪卡尔乘积与二元关系定义4.1一、有序对由两个元素x和y（允许x=y）按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对或序偶，记作<x,y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。有序对性质当x

y时，<x,y>

<y,x><x,y>=<u,v>的充分必要条件是x=u且y=v

集合中的元素具有无序性，但是有序对中的元素是有序的。4.1迪卡尔乘积与二元关系例1：已知<x+2,4>=<5,2x+y>求x和y解得：x=3，y=-2根据有序对的性质得：x+2=52x+y=4有序n元组一个有序n元组(n>=3)是一个有序对，其中第一个元素是一个有序n-1元组，一个有序n元组记作<x1,x2,……,xn>，即<x1,x2,……,xn>=<<x1,x2,……xn-1>,xn>例如：空间直角坐标系中点的坐标<1,-1,3>、<2,4.5,0>等有序

3元组。n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组。4.1迪卡尔乘积与二元关系定义4.3二、迪卡尔乘积设A，B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的迪卡尔乘积，记作A×B。符号化表示为：

A×B={<x,y>|xAyB}4.1迪卡尔乘积与二元关系迪卡尔乘积的性质如果|A|=m,|B|=n，则|A×B|=mn对任意集合A，根据定义有：A×=，×A=一般地说，迪卡尔乘积运算不满足交换律，即：

A×BB×A(当ABAB时)迪卡尔乘积运算不满足结合律，即： （A×B）×CA×（B×C）（当ABC）4.1迪卡尔乘积与二元关系迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即：(1)A×（BC）=(A×B)(A×C）证明：对于任意的<x,y> <x,y>A×（BC）

xAyBC xA(yByC) (xAyB)(xAyC) <x,y>A×B<x,y>A×C <x,y>(A×B)(A×C)4.1迪卡尔乘积与二元关系迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即：(2)（BC）×A=(B×A)(C×A）证明：对于任意的<x,y> <x,y>（BC）×A xBCyA (xBxC)yA (xByA)(xCyA) <x,y>B×A<x,y>C×A <x,y>(B×A)(C×A)4.1迪卡尔乘积与二元关系迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即：(3)A×（BC）=(A×B)(A×C）证明：对于任意的<x,y> <x,y>A×（BC）

xAyBC xA(yByC) (xAyB)(xAyC) <x,y>A×B<x,y>A×C <x,y>(A×B)(A×C)4.1迪卡尔乘积与二元关系迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即：(4)（BC）×A=(B×A)(C×A）证明：对于任意的<x,y> <x,y>（BC）×A xBCyA (xBxC)yA (xByA)(xCyA) <x,y>B×A<x,y>C×A <x,y>(B×A)(C×A)4.1迪卡尔乘积与二元关系ACBDA×BC×D证明：对于任意的<x,y> <x,y>A×B xAyB xCyD xC×D

所以：A×BC×D4.1迪卡尔乘积与二元关系n阶迪卡尔乘积（定义4.4）设A1，A2，……，An是集合(n>=2)，它们的n阶迪卡尔乘积记作A1×A2×……×An，其中：

A1×A2×……×An ={<x1,x2,……,xn>|x1A1x2A2

……xnAn}4.1迪卡尔乘积与二元关系例2：设A={1,2}，求P(A)×A解：P(A)={,{1},{2},{1,2}}P(A)×A={<,1>,<,2>, <{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>, <{1,2},1>,<{1,2},2>}4.1迪卡尔乘积与二元关系例3：设A,B,C,D为任意集合，判断以下等式是否成立？（1）(AB)×(CD)=(A×C)(B×D)证明：对于任意的<x,y> <x,y>(AB)×(CD) xAByCD xAxByCyD (xAyC)(xByD) <x,y>A×C<x,y>B×D <x,y>(A×C)(B×D)4.1迪卡尔乘积与二元关系（2）(AB)×(CD)=(A×C)(B×D)证明：设A=、B={1}、C={2}、D={3}

(AB)×(CD)={<1,2>、<1,3>}

(A×C)(B×D)={<2,1>、<2,3>}

所以：等式不成立（3）(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D)证明：设A={1}、B={1}、C={2}、D={3}

(A-B)×(C-D)=

(A×C)-(B×D)={<1,2>}

所以：等式不成立4.1迪卡尔乘积与二元关系（4）(AB)×(CD)=(A×C)(B×D)证明：设A={1}、B={1}、C={2}、D={3}

(AB)×(CD)=

(A×C)(B×D)={<1,2>,<1,3>}

所以：等式不成立4.1迪卡尔乘积与二元关系例4：设A,B,C,D为任意集合，判断真假。（1）A×B=A×CB=C证明：若A=，B={1}，C={2}

则A×B=A×C=，而BC。 所以：命题真假不定4.1迪卡尔乘积与二元关系（2）A-(B×C)=(A×B)-(A×C)证明：若A={0}，B={1}，C={2}

则A-(B×C)={0}

(A×B)-(A×C)={<0,1>}

所以：命题真假不定4.1迪卡尔乘积与二元关系（3）A=BC=D

(A×C)=(B×D)证明：对任意<x,y> <x,y>A×C xAyC xByD x<B×D>

所以：命题真值为14.1迪卡尔乘积与二元关系（4）存在集合A，使得A

A×A证明：令A= 则A×A=

所以：A

A×A

该命题真值为14.1迪卡尔乘积与二元关系定义4.5三、二元关系如果一个集合满足以下条件之一：集合非空，且它的元素都是有序对集合是空集则称这样的集合为二元关系，记作R。二元关系也可以简称为关系。对于二元关系R，如果<x,y>R，可记作xRy。例：R1={<1,2>,<a,b>}，R2={<1,2>,a,b}

则R1为二元关系；R2不是二元关系，仅仅是一个集合。4.1迪卡尔乘积与二元关系集合上元素的关系（定义4.6）三、二元关系设A，B为集合，A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系，特别当A=B是则叫做A上的二元关系。例：A={0,1}、B={1,2,3}，那么R1={<0,2>}，R2=A×B，R3=

，R4={<0,1>}等都是

A到B的二元关系。R3和R4是A上的二元关系。

集合A上的二元关系的数目依赖于A中的元素数：设|A|=n，则|A×A|=。A×A的子集有个。每个子集代表一个A上的二元关系，所以A上的二元关系数目为：。4.1迪卡尔乘积与二元关系全域关系与恒等关系例：A={0,1}A上的全域关系为：{<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1>}.A上的恒等关系为：{<0,0>,<1,1>}.对于任意集合A，定义：

EA={<x,y>|xAyA}=A×A IA={<x,x>|xA} LA={<x,y>|x,yAx<=y},这里A

R

DA={<x,y>|x,yAx整除y},这里A

4.1迪卡尔乘积与二元关系例：A={4,0.5,-1},B={1,2,3,6}，则LA={<-1,-1>,<0.5,0.5>,<4,4>,<-1,0.5>,<-1,4>,<0.5,4>}LB={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>,<2,1>,<3,1><6,1>,<6,2>,<6,3>}4.1迪卡尔乘积与二元关系例5：设A={a,b}，R是P(A)上的包含关系，R={<x,y>|x,yP(A)xy}解：P(A)={,{a},{b},{a,b}}

R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>, <{a},{a}>,<{a},{a,b}>,<{b},{b}>, <{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}4.1迪卡尔乘积与二元关系关系的表示方法集合表达式：例6：设A={1,2,3,4}，下面各式定义的R都是A上的 关系，试用列元素法表示R R1={<x,y>|x是y的倍数} R2={<x,y>|(x-y)(x-y)A} R3={<x,y>|x/y是素数} R4={<x,y>|x

y}4.1迪卡尔乘积与二元关系关系的表示方法关系矩阵：设A={x1,x2,……,xn}，R是A上的关系，令则是R的关系矩阵，记作MR。4.1迪卡尔乘积与二元关系关系的表示方法关系图：设A={x1,x2,……,xn}，R是A上的关系，令图G=<V,E>，其中顶点集合V=A，边集为E。对于

xi，xjV，满足

<xi,xj>ExiRxj称图G为R的关系图，记作GR。第四章

二元关系和函数4.1迪卡尔乘积与二元关系4.2二元运算4.3关系的性质4.4关系的闭包4.5等价关系和偏序关系4.6函数的定义与性质4.7函数的复合与反函数4.2关系的运算关系的定义域、值域、域（定义4.8）一、关系的基本运算设R是二元关系。R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的定义 域，记作domR，形式化表示为：

domR={x|y(<x,y>R)}R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值 域，记作ranR，形式化表示为：

ranR={y|x(<x,y>R)}4.2关系的运算R的定义域和值域的并集称为R的域，记作fldR，形式化 表示为：

fldR=domR

ranR例1：设R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}，则domR={1,2,4}ranR={2,3,4}fldR={1,2,3,4}4.2关系的运算例2：下列关系都是整数集Z上的关系，分别求出它们的 定义域和值域。(1)R1={<x,y>|x,yZx<=y}(2)R2={<x,y>|x,yZx*x+y*y=1}(3)R3={<x,y>|x,yZy=2x}(4)R4={<x,y>|x,yZ|x|=|y|=3}4.2关系的运算关系的逆运算（定义4.9）设R为二元关系，R的逆关系，简称R的逆，记作，其中关系的合成运算（定义4.9）设F，G为二元关系，F和G的合成记作F

G，其中

F

G={<x,y>|z(xGzzFy)}4.2关系的运算例3：设F={<3,3>,<6,2>}，G={<2,3>}，则FG={<2,3>}={<3,3>,<2,6>}GF={<6,3>}例4：设F={<x,y>|x,yNy=x*x}，

G={<x,y>|x,yNy=x+1}， 求4.2关系的运算限制与像（定义4.9）设F为二元关系，A是集合F在A上的限制记作FA，其中

FA={<x,y>|xFy

xA}A在F上的象记作F[A]，其中

F[A]=ran(FA)F在A上的限制FA是F的子关系，而A在F下的像F[A]是ranF的子集。4.2关系的运算例5：设R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>}则R[{1}]={2,3}R{1}={<1,2>,<1,3>}R

=

R{2,3}={<2,2>,<2,4>,<3,2>}R[

]=

R[{2,3}]={2,4}4.2关系的运算关系的运算的顺序关系运算中的逆运算优先于其他运算；所有的关系运算都优先于集合运算；没有规定优先权的运算以括号决定运算顺序。4.2关系的运算定理4.1二、关系基本运算的性质设F,G,H是任意的关系，则=Fdom=ranF,ran=domF(F

G)

H=F(GH)(F

G)=GF4.2关系的运算定理设R为A上的关系，则RIA=IAR=R定理4.2F(GH)=FGFH(GH)F=GFHFF(GH)FGFH(GH)FGFHF4.2关系的运算定义4.10三、关系的n次幂设R为A上的关系，n为自然数，则R的n次幂定义为：={<x,x>|xA}=IA

注：(1)

。

(2)。4.2关系的运算例6：设A={a,b,c,d},R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}

求=IA={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>}={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}={<a,a>,<a,c>,<b,b>,<b,d>}={<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,c>}={<a,a>,<a,c>,<b,b>,<b,d>}={<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,c>}4.2关系的运算定理4.3设R为A上的关系，m,nN，则

第四章

二元关系和函数4.1迪卡尔乘积与二元关系4.2二元运算4.3关系的性质4.4关系的闭包4.5等价关系和偏序关系4.6函数的定义与性质4.7函数的复合与反函数4.3关系的性质自反性、反自反性一、关系的性质设R是A上的关系，若

x(xA<x,x>R)，则称R在A上是自反的。若

x(xA<x,x>R)，则称R在A上是反自反的。A上的全域关系EA、恒等关系IA、都是A上的自反关系。小于等于关系LA、整除关系DB分别为A和B上的自反关系。小于关系、真包含关系是给定集合或集合族上的反自反关系。4.3关系的性质例8：设A={1,2,3}，R1，R2和R3是A上的关系，其中

R1={<1,1>,<2,2>} R2={<1,1>,<2,2>,<3,3>} R3={<1,3>}说明R1，R2和R3是否为A上的自反关系和反自反关系。R3是A上的反自反关系，R2是A上的自反关系。1234.3关系的性质对称性、反对称性设R是A上的关系，若

xy(x,yA<x,y>R<y,x>R)， 则称R为A上对称的关系。若

xy(x,yA<x,y>R<y,x>Rx=y)， 则称R为A上反对称的关系。A上的全域关系EA、恒等关系IA、空关系都是A上的对称关系。恒等关系IA、空关系也是A上的反对称关系。4.3关系的性质例9：设A={1,2,3}，R1，R2和R3是A上的关系，其中

R1={<1,1>,<2,2>} R2={<1,1>,<1,2>,<2,1>} R3={<1,2>,<1,3>} R4={<1,2>,<2,1>,<1,3>}说明R1，R2，R3和R4是否为A上的对称关系和反对称关系。1231231231234.3关系的性质传递性设R是A上的关系，若xyz(x,y,zA<x,y>R<y,z>R<x,z>R)，则称R为A上传递的关系。A上的全域关系EA、恒等关系IA、空关系都是A上的传递关系。小于或等于LA、整除关系和包含关系也是相应集合上的的传递关系。小于关系、真包含关系也是相应集合上的的传递关系。4.3关系的性质例10：设A={1,2,3}，R1，R2和R3是A上的关系，其中

R1={<1,1>,<2,2>} R2={<1,2>,<2,3>} R3={<1,3>}说明R1，R2，R3和R4是否为A上的传递关系。1231231234.3关系的性质定理二、关系性质的相关定理设R是A上的关系，则R在A上的自反当且仅当IA

R。R在A上的反自反当且仅当RIA=。R在A上的对称当且仅当。R在A上的反对称当且仅当。R在A上的传递当且仅当。4.3关系的性质例11：设A是集合，R1和R2是A上的关系，证明：(1)若R1，R2是自反的和对称的，则R1R2也是自反的和对称的。证明：（1）4.3关系的性质例11：设A是集合，R1和R2是A上的关系，证明：

(2)若R1和R2是传递的，则R1R2也是传递的。证明：（2）4.3关系的性质五种性质在关系矩阵和关系图中的特点

性质表示自反性反自反性对称性反对称性传递性集合表达式IA

RR

IA＝

关系矩阵主对角线元素全是1主对角线元素全是0矩阵是对称矩阵若rij=1，且i

j，则rij=0对M×M中1所在的位置，M中相应位置都是1关系图每个顶点都是环每个顶点都没有环如果两个顶点之间有边，一定是一对方向相反的边如果两个顶点之间有边，一定是一条有向边如果顶点xi到xj有边，xj到xk有边，则从xi到xk也有边4.3关系的性质关系运算与关系性质

原有性质运算自反性反自反性对称性反对称性传递性

R1

R2

R1

R2

R1－R2

第四章

二元关系和函数4.1迪卡尔乘积与二元关系4.2二元运算4.3关系的性质4.4关系的闭包4.5等价关系和偏序关系4.6函数的定义与性质4.7函数的复合与反函数4.4关系的闭包一、关系闭包的定义设R是非空集合A上的关系，R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R’，使得R’满足以下条件：

（1）R’是自反的（对称或传递的）

（2）R

R’

（3）对A上的任何包含R的自反（对称或传递）关系R’’

有R’

R’’

一般将R的自反闭包记作r(R),对称闭包记作s(R),传递闭包记作t(R).4.4关系的闭包例1：设A={a,b,c,d}，R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}则R关系图如下图，则如何求A上关系R的闭包？abcd4.4关系的闭包设R为非空集合A上的二元关系，则有二、关系闭包的求法（关系运算方法）

；

；

。4.4关系的闭包例2：设A={a,b,c,d}，R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}则R和r(R),s(R),t(R)的关系图如下图，则如何求A上关系R的闭包？abcdr(R)={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}IA={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>}s(R)={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}

={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<c,b>,<d,c>}t(R)={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}

={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<a,a>,<b,b>,<a,c>,<b,b>, <b,d>,<a,d>}4.4关系的闭包设R为非空集合A上的二元关系，则有三、关系闭包的求法（矩阵运算方法）Mr=M+E；Ms=M+M’；

。4.4关系的闭包三、关系闭包的性质（1）R是自反的当且仅当r(R)=R；R是对称的当且仅当s(R)=R;R是传递的当且仅当t(R)=R;设R是非空集合A上的关系，则4.4关系的闭包三、关系闭包的性质（2）r(R1)r(R2)；s(R1)s(R2);t(R1)t(R2);设R1和R2是非空集合A上的关系，且R1

R2，则4.4关系的闭包三、关系闭包的性质(3)

；

；

。设R是非空集合A上的关系，则4.4关系的闭包三、关系闭包的性质(4)r(s(R))=s(r(R))。r(t(R))=t(r(R))。s(t(R))t(s(R))。设R是非空集合A上的关系，则第四章

二元关系和函数4.1迪卡尔乘积与二元关系4.2二元运算4.3关系的性质4.4关系的闭包4.5等价关系和偏序关系4.6函数的定义与性质4.7函数的复合与反函数4.5等价关系与偏序关系一、等价关系的定义设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的、传递的，则称R为A上的等价关系。对任何x,yA，如果<x,y>等价关系R，则记作xy。4.5等价关系与偏序关系例4：A={1,2,3,,8},R={<x,y>|x,yAxy(mod3)},其中xy(mod3)的含义就是x-y可以被3整除。求证：R是否为等价关系？58247163对任何正整数n可以定义整数集合Z上模n的等价关系：

R={<x,y>|x,yZxy(modn)}4.5等价关系与偏序关系例5:在一群人的集合上，年龄相等的关系、朋友关系。动物是按种属分类的，“具有相同种属”的关系。集合上的恒等关系。在同一平面上，三角形之间的相似关系。在同一平面上，直线间的平行关系。4.5等价关系与偏序关系二、等价类的定义设R是非空集合A上的等价关系，对任意的x

A，令

[x]R={y|yAxRy},则称[x]R为x关于R的等价类，简称为x的等价类，简记为[x]。集合A={1,2,3,,8},R={<x,y>|x,yAxy(mod3)}中的等价类有：[1]=[4]=[7]={1,4,7} [2]=[5]=[8]={2,5,8} [3]=[6]={3,6}4.5等价关系与偏序关系三、等价关系、等价类的性质[x]

，且[x]A;若xRy，则[x]=[y];若<x，y>R，则[x][y]=;

;4.5等价关系与偏序关系四、商集的定义设R是非空集合A上的等价关系，以R的不交的等价类为元素的集合叫做A在R下的商集，记作A/R，即

A/R={[x]R|xA}。集合A={1,2,3,,8},R={<x,y>|x,yAxy(mod3)}，则A在R下的商集是：

A/R=｛{1,4,7}，{2,5,8}，{3,6}}4.5等价关系与偏序关系例6:非空集合A上的全域关系EA是A上的等价关系，对任意xA

有[x]=,商集A/EA=非空集合A上的恒等关系IA是A上的等价关系，对任意xA

有[x]=,商集A/EA=。4.5等价关系与偏序关系五、划分的定义设A是非空集合，如果存在一个A的子集族

(P(A))满足以下条件：

，

中任意两个元素不交，

中所有元素的并集等于A，则称为A的一个划分，且称中的元素为划分块。4.5等价关系与偏序关系例7:考虑集合A={a,b,c,d}的下列子集族，哪些是A的划分{{a},{b,c},{d}}{{a,b,c,d}}{{a,b},{c},{a,d}}{,{a,b},{c,d}}{{a},{b,c}}集合A上的等价关系与集合A的划分是一一对应的。4.5等价关系与偏序关系例8:设A={1,2,3}，求出A上所有的等价关系。231R1231R2231R3231R4231R5R1={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>}=EAR2={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<2,3>,<3,2>}R3={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,3>,<3,1>}R4={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>}R5={<1,1>,<2,2>,<3,3>}=IA4.5等价关系与偏序关系五、偏序关系的定义设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系，简称偏序，记作。例如：集合A={1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>},则关系R是偏序关系。 整数集合上的小于等于关系为偏序关系； 集合幂集上的子集关系为偏序关系。4.5等价关系与偏序关系六、可比和盖住的定义设<A,>为偏序集，对于任意x,yA，如果xy或者yx成立则称x与y是可比的，如果x<y(即xyxy)，且不存在z

A使得x<z<y，则称y盖住x。例如：集合A={1,2,3,4,5},是整除关系。那么，对于任意xA都有1x，所以1和1，2，3，4，5都是可比的。但2和3不可比。又1<2，且2<4所以4不能盖住1。4.5等价关系与偏序关系七、全序关系的定义设<A,>为偏序集，对于任意x,yA，x和y都可比，则称为A上的全序关系，且称<A,>为全序集。例如：集合A={1,2,3,4,5}上的小于等于关系为全序关系，而整除关系不是全序关系。4.5等价关系与偏序关系八、最小元、最大元、极小元和极大元设<A，>为偏序集，BA.若

y

B，使得x(xB

yx)成立，则称y为B的最小元。

若

yB，使得

x(xB

xy)成立，则称y为B的最大元。

若

yB，使得

x(xB

xy)成立，则称y为B的极小元。

若

yB，使得

x(x

Byx)成立，则称y为B的极大元。

4.5等价关系与偏序关系例9:设偏序集<A,

>，求A的极小元，最小元，极大元，最大元abcghdef4.5等价关系与偏序关系九、上界、下界、上确界和下确界设<A，>为偏序集，BA.若

yA，使得

x(xB

xy)成立，则称y为B的上界。

若

yA，使得

x(xB

yx)成立，则称y为B的下界。

若C={y|y为B的上界}，则称C的最小元为B的最小上界或上确界。

若D={y|y为B的下界}，则称D的最大元为B的最大下界或下确界。

第四章

二元关系和函数4.1迪卡尔乘积与二元关系4.2二元运算4.3关系的性质4.4关系的闭包4.5等价关系和偏序关系4.6函数的定义与性质4.7函数的复合与反函数4.6函数的定义与性质一、函数的定义（定义4.22）设F为二元关系，若对任意的xdomF都存在唯一的yranF使得xFy成立，则称F为函数。

例1：设

F1=｛<x1,y1>,<x2,y1>,<x3,y2>｝

F2={<x1,y1>,<x1,y2>}

判断他们是否为函数。4.6函数的定义与性质二、集合A到B的函数（定义4.23）设A，B为集合，如果函数f满足以下条件（1）domf=A（2）ranfB则称f是从A到B的函数，记作f:A->B。

例如：

f:N->N，f(x)=2x g:N->N，g(x)=24.6函数的定义与性质三、集合A到B的函数（定义4.24）所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上A”。符号化表示为BA＝｛f|f:A->B｝4.6函数的定义与性质f0={<1,a,>,<2,a>,<3,a>}例2：设A={1,2,3},B={a,b},求={f0,f1,……,f7}，其中：f1={<1,a,>,<2,a>,<3,b>}f2={<1,a,>,<2,b>,<3,a>}f3={<1,a,>,<2,b>,<3,b>}f4={<1,b,>,<2,a>,<3,a>}f5={<1,b,>,<2,a>,<3,b>}f6={<1,b,>,<2,b>,<3,a>}f7={<1,b,>,<2,b>,<3,b>}根据排列组合得知：

|A|=m,|B|=n |BA|=nm4.6函数的定义与性质设函数f:A

B，A’A，四、函数的像（定义4.25）

令f(A’)={f(x)|x

A’}，称f(A’)为A’在f下的像。 特别地，当A’=A时称f(A’)=f(A)=ranf为函数的像。xA,f(x)与f(A)的区别？4.6函数的定义与性质例3：设f：N

N，且 令A={0,1},