2024年重庆市高一数学3月份检测联考试卷附答案解析

2024年重庆市高一数学3月份检测联考试卷全卷满分150分．考试时间120分钟．2024.03一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的虚部为（

）A． B． C． D．2．已知两点，则与向量同向的单位向量是（

）A． B． C． D．3．如图，在正方形ABCD中，下列命题中正确的是（

）A． B． C． D．4．已知复数满足，则（

）A． B． C． D．5．在边长为1的菱形中，，若点，满足，，其中且，则的最大值为（

）A． B．3 C． D．6．在中，，点D在上，，，则（）A．8 B．10 C．12 D．16.7．在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（

）A．B．C． D．8．已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（

）A．13 B． C．5 D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复平面内表示复数：的点为，则下列结论中正确的为（

）A．若，则 B．若在直线上，则C．若为纯虚数，则 D．若在第四象限，则10．已知复数，，则（

）A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限C． D．11．已知中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（

）A．B．的面积为C．D．在的外接圆上，则的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知向量，则与同向的单位向量为.13．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足，则．14．在中，角的对边分别为，已知，，，则的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在锐角中，已知.(1)求；(2)求的取值范围.16．在复平面内复数所对应的点为，O为坐标原点，i是虚数单位.(1)，计算与；(2)设，求证：，并指出向量满足什么条件时该不等式取等号.17．设的外接圆半径是均为锐角，且.(1)证明：不是锐角三角形；(2)证明：在的外接圆上存在唯一的一点，满足对平面上任意一点，有.18．记的内角的对边分别为，已知.(1)若，求的取值范围；(2)若，点分别在等边的边上（不含端点）.若面积的最大值为，求.19．复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，i称为虚数单位，.当时，为实数；当且时，为纯虚数.其中，叫做复数的模.设，，，，，，如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.叫做复数的三角形式.

(1)设复数，，求、的三角形式；(2)设复数，，其中，求；(3)在中，已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：①；②，，.注意：使用复数以外的方法证明不给分.1．D【分析】利用复数的除法运算法则即可求解.【详解】由已知得，则复数的虚部为，故选：D.2．C【分析】由平面向量的坐标表示与单位向量的概念求解，【详解】由得，则，与向量同向的单位向量为，故选：C3．D【分析】根据正方形，利用平面向量的概念及几何意义求解.【详解】由图可知：A.，故错误；B.，故错误；C.不共线，故错误；D.，故正确.故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的概念及几何意义，属于基础题.4．D【分析】直接将解出来再化解即可.【详解】.故选：D5．C【分析】由可得，由可得，又，所以化简，并根据得到，利用基本不等式得出结论.【详解】由题意可得由可得，由可得，又，所以则，当且仅当，即时取等号，此时故选：C.【点睛】如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知且数量积可求，常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.6．C【分析】用表示出，从而根据数量积的定义及题中条件和可求出的值.【详解】在中，因为，所以，所以.故选：C．7．B【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果.【详解】每次跳跃的路径对应的向量为，因为求跳跃次数的最小值，则只取，设对应的跳跃次数分别为，其中，可得则，两式相加可得，因为，则或，当时，则次数为；当，则次数为；综上所述：次数最小值为10.故选：B.8．A【分析】建立直角坐标系，可以表示出的坐标，再设点，即可用与表示出，即可求出答案.【详解】建立如图所示坐标系，则点，设点，且，则

故当时，有最大值为13故选：A.9．CD【分析】根据复数的基本概念直接判断选项即可.【详解】对于A，若，则，得，故A错误；对于B，因为在直线上，所以，则，故B错误；对于C，若为纯虚数，则，即，此时虚部不为0，故C正确；对于D，若在第四象限，则，解得，故D正确.故选：CD10．AD【分析】对于A选项利用复数的相关概念可判断；对于B选项结合复数的减法运算以及复数的几何意义即可判断；对于C选项结合复数的加法运算以及复数的模长公式即可判断；对于D选项结合复数的乘法运算以及复数的模长公式即可判断.【详解】对于A选项,利用复数的相关概念可判断A正确；对于B选项，对应的点位于第四象限，故B错；对于C选项，，则，故C错；对于D选项，，则，故D正确.故选：AD.11．ABD【分析】利用余弦定理计算，利用余弦定理计算，判断A；根据面积公式计算三角形的面积，判断B；利用正弦定理计算，判断C；设，用表示出，，得出关于的三角函数，从而得到的最大值，判断D.【详解】在三角形中，由余弦定理，，故，故正确；在中，由余弦定理得：，，故正确；由余弦定理可知：，，平分，，，在三角形中，由正弦定理可得：，故，故不正确；，，，，，为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1，显然当取得最大值时，在优弧上．故，设，则，，，，，，其中，，当时，取得最大值，故正确．故选：．12．【分析】先根据题意设出与同向的单位向量的坐标，再根据单位向量的定义列出关于的方程，解出即可得到答案【详解】设与同向的单位向量又，又为单位向量，，即，解得故答案为：13．1【分析】解法1，先用正弦定理边角互化，再用和差和诱导公式求解即可；解法2：先用射影定理化简，用正弦定理边角互化即可求解.【详解】解法1：，而，∴．解法2：由射影定理，，又由题意，，∴，故，∴，∵，∴，故．故答案为：114．##【分析】由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，得角为钝角，角为锐角，所以要取最大值，只要取最小值，由已知条件可得，由可得的范围，结合余弦定理可得的范围，从而由余弦定理可求得答案【详解】在中，因为，，所以，所以所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以由正弦定理得，所以，所以角为钝角，角为锐角，所以要取最大值，则取最大值，取最小值，从而取最小值．又，由，得，，由取最大值时，，此时由余弦定理可得，从而求得，即最大值为．故答案为：15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，再借助三角函数和差角公式化简可解；（2）利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式化简求范围.【详解】（1）由题意，根据正弦定理可得，则，展开可得，.（2）由正弦定理，则，其中，是锐角三角形，，.，，显然，当时，，.16．(1)，；(2)证明见解析，【分析】（1）利用复数的乘法运算可得，再由复数的几何意义可得，即可计算出；（2）利用复数运算规律分别求出的平方，利用作差法可得，此时需满足.【详解】（1）根据可得，；且，所以.（2）因为，所以，可得；因为，所以，因此，所以，当且仅当时取等号，此时向量满足.17．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）由正弦定理，根据，得到，进而得到，由的单调性证明；（2）由，得到，即，设外接圆圆心为，再利用向量运算证明.【详解】（1）证明：记在中，所对的边分别长度为.根据正弦定理，有，所以.根据，有，得到，因为都是锐角，根据的(复合函数)单调性得到，所以，所以，所以不是锐角三角形；（2）因为，所以，所以，所以，得到，设外接圆圆心为，则有，得到对平面上所有成立，必须有，根据是直角和平面几何知识,得到在外接圆上，并且根据平面向量基本定理得到唯一.18．(1)(2)【分析】（1）借助正弦定理及三角恒等变换公式可得，借助余弦定理与正弦定理可将表示为正弦型函数，借助正弦型函数的性质即可得解；（2）借助面积公式，可得的最大值，设，结合正弦定理可将表示成正弦型函数，借助正弦型函数的性质可得取得最大值时的.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，因为，所以，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以，在中，有，，，；（2）由（1）可知，由于面积的最大值为，则，得，所以的最大值为，因为，所以，因为，所以，设，则，在中，由正弦定理得所以，得，在中，由正弦定理得，所以，得，所以，其中，所以当时，取得最大值，所以，所以，所以，即，所以，解得或（舍去）.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助正弦定理，将边转化为角后，将借助角表示出来，从而化为正弦型函数，借助正弦函数的性质得到其取最值时对应的.19．(1)，(2)(3)证明见解析【分析】（1）直接利用复数的乘除法计算即可；（2）设，的模为，的模为，，通过题意可得，发现，从而无意义，再根据角的范围求解即可；（3）建立平面直角坐标系，根据，利用复数的向量表示，以及复数的定义列式计算即可.【详解】（1）,；（2）设，的模为，的模为，，对于有，，对于有，，所以，所以，，所以无意义，即的角的终边在轴上，又，所以，即（3）如图建立平面直角坐标系，在复