中考数学总复习《直角三角形》专项测试卷(含答案)

第第页中考数学总复习《直角三角形》专项测试卷(含答案)（考试时间：90分钟；试卷满分：100分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。1．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，则∠B的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°2．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（）A．10 B．13 C．7 D．143．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，则斜边AB上的高为（）A． B． C．30cm D．cm4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD为AB边上中线，过点D作DE⊥AB，连接AE，BE，若AE＝10，CD＝8，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，在△ABC中，∠ABC为直角，∠A＝30°，BD⊥AC于D，若CD＝2，则AC的长为（）A．8 B．6 C．4 D．26．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD C．∠ABC＝∠ABD D．以上都不正确7．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SAS8．下列各组数是勾股数的是（）A．1 B．0.6，0.8，1 C．5，11，12 D．8，15，179．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm10．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．420 B．440 C．430 D．410填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。11．直角三角形的一个锐角为25°，则它的另一个锐角为度．12．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为边向外作正方形ADEC，若图中阴影部分的面积为9cm2，BC＝4cm，则AB＝cm．13．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB＝90°，∠CDA＝120°，则∠B的度数为．14．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米．15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，若BF＝3.5，则CF＝．16．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．三、解答题（本题共7题，共58分）。17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE＝35°，求∠A的度数．18．（8分）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．19．（8分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）求证：BE＝EF．20．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝6，BC＝8，AB＝10．求：（1）△ABC的面积；（2）线段CD的长．21．（8分）如图1，同学们想测量旗杆的高度h（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部4米，如图2．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D处（BD＝BC）．（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度h米；（2）已知小亮举起绳结离旗杆4.5米远，此时绳结离地面多高？22．（10分）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．23．（10分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，BC＞AC，点P在线段BC上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APM＝∠B，PM交AC于点M．（1）在图①中，在P点运动过程中，若PM∥AB，求证：△ABP为等腰三角形；（2）在图①中，若PC＝AC时，求证：△ABP≌△PCM；（3）在图②中，若∠B＝45°时，过点A作PM的垂线交BC于点D，探究线段PB2、PD2、CD2之间的关系，并说明理由．参考答案与解析选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。1．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，则∠B的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°则∠A+∠B＝90°∵∠A＝40°∴∠B＝90°﹣40°＝50°故选：B．2．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（）A．10 B．13 C．7 D．14【答案】A【解答】解：由勾股定理可得斜边长为：＝10故选：A．3．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，则斜边AB上的高为（）A． B． C．30cm D．cm【答案】D【解答】解：过C作CH⊥AB于H∵∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm∴AB＝＝13（cm）∵△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC∴13CH＝5×12∴CH＝∴斜边AB上的高为．故选：D．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD为AB边上中线，过点D作DE⊥AB，连接AE，BE，若AE＝10，CD＝8，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上中线，CD＝8则AD＝CD＝8∵DE⊥AB，AE＝10∴DE＝＝＝6故选：D．5．如图，在△ABC中，∠ABC为直角，∠A＝30°，BD⊥AC于D，若CD＝2，则AC的长为（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【解答】解：∵△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°∴∠BCD＝60°∵BD⊥AC于D∴∠DBC＝∠A＝30°∵CD＝2∴BC＝4∴AC＝8故选：A．6．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD C．∠ABC＝∠ABD D．以上都不正确【答案】B【解答】解：若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件AC＝AD或BC＝BD故选：B．7．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SAS【答案】A【解答】解：HL理由是：∵∠A＝∠D＝90°∴在Rt△ABC和Rt△DCB中∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）故选：A．8．下列各组数是勾股数的是（）A．1，， B．0.6，0.8，1 C．5，11，12 D．8，15，17【答案】D【解答】解：A、，，不是正整数，因此不是勾股数，不符合题意；B、0.62+0.82＝12，0.6、0.8不是正整数，因此不是勾股数，不符合题意；C、52+112≠122因此不是勾股数，不符合题意；D、82+152＝172都是正整数，符合题意，因此是勾股数，符合题意．故选：D．9．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm【答案】A【解答】解：∵点C为线段AB的中点∴AC＝AB＝4cm在Rt△ACD中，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∵CD⊥AB∴∠DCA＝∠DCB＝90°在△ADC和△BDC中∴△ADC≌△BDC（SAS）∴AD＝BD＝5cm∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；∴橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．10．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．420 B．440 C．430 D．410【答案】B【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q由题意得，∠BAC＝∠BPF＝∠FBC＝90°，BC＝BF∴∠ABC+∠ACB＝90°＝∠PBF+∠ABC∴∠ACB＝∠PBF∴△ABC≌△PFB（AAS）同理可证△ABC≌△QCG（AAS）∴PB＝AC＝8，CQ＝AB＝6∵图2是由图1放入长方形内得到∴IP＝8+6+8＝22，DQ＝6+8+6＝20∴长方形KLMJ的面积＝22×20＝440．故选：B．填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。11．直角三角形的一个锐角为25°，则它的另一个锐角为65度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为25°∴它的另一个锐角为90°﹣25°＝65°．故答案为：65．12．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为边向外作正方形ADEC，若图中阴影部分的面积为9cm2，BC＝4cm，则AB＝5cm．【答案】5．【解答】解：∵正方形ADEC的面积为9∴AC2＝9在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝＝5（cm）故答案为：5．13．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB＝90°，∠CDA＝120°，则∠B的度数为60°．【答案】60°．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC斜边AB的中线∴AD＝CD＝BD∴∠DCB＝∠DBC．∵∠CDA是△CDB的一个外角∠CDA＝120°∴∠DCB+∠DBC＝120°．∴∠DBC＝60°．故答案为：60°．14．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行10米．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，设大树高为AB＝10米小树高为CD＝4米过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形连接AC∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（米）在Rt△AEC中，AC＝＝10（米）故答案为：10．15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，若BF＝3.5，则CF＝7．【答案】7．【解答】解：连接AF，如图∵AB＝AC，∠BAC＝120°∴∵EF垂直平分线段AB，BF＝3.5∴BF＝AF＝3.5∴∠B＝∠BAF＝30°∴∠FAC＝∠BAC﹣∠BAF＝90°∴在Rt△AFC中，∠C＝30°，有FC＝2AF＝7故答案为：7．16．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是2.5米．【答案】见试题解答内容【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52解得x＝2.5．三、解答题（本题共7题，共58分）。17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE＝35°，求∠A的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵DE∥AB∴∠B＝∠BCE＝35°∴∠A＝90°﹣35°＝55°．18．（8分）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°在Rt△ABC和Rt△DCB中∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形由（1）得：Rt△ABC≌Rt△DCB∴∠ACB＝∠DBC∴OB＝OC∴△OBC是等腰三角形．19．（8分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）求证：BE＝EF．【答案】（1）证明见解答过程；（2）证明见解答过程．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，∠C＝30°∴∠ABC＝60°∵BF平分∠ABC∴∠ABF＝∠CBF＝30°∵AD⊥BC∴∠ADB＝90°∴∠AEF＝∠BED＝90°﹣∠CBF＝60°∵∠AFB＝90°﹣∠ABF＝60°∴∠AFE＝∠AEF＝60°∴△AEF是等边三角形；（2）∵∠ADB＝90°，∠ABC＝60°∴∠BAE＝∠ABF＝30°∴AE＝BE由（1）知△AEF是等边三角形∴AE＝EF∴BE＝EF．20．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝6，BC＝8，AB＝10．求：（1）△ABC的面积；（2）线段CD的长．【答案】（1）24；（2）4.8．【解答】解：（1）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10∴AC2+BC2＝AB2∴∠ACB＝90°∴△ABC的面积＝；（2）△ABC的面积＝∴6×8＝10CD∴CD＝4.8．21．（8分）如图1，同学们想测量旗杆的高度h（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部4米，如图2．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D处（BD＝BC）．（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度h米；（2）已知小亮举起绳结离旗杆4.5米远，此时绳结离地面多高？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图2，设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为（x+1）米在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42＝（x+1）2解得：x＝7.5故旗杆的高度为7.5米；（2）由题可知，BD＝BC＝7.5米，DE＝4.5米．在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+4.52＝7.52解得：BE＝6∴EC＝BC﹣BE＝7.5﹣6＝1.5（米）∴DF＝EC＝1.5米．故绳结离地面1.5米高．22．（10分）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【答案】【尝试探究】见解析；【定理应用】见解析．【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2）利用分割法，梯形的面积为S＝S△ABC+S△ABE+SADE