矩阵的初等变换及线性方程组习题

关于矩阵的初等变换及线性方程组习题第三章矩阵的初等变

换与线性方程组第2页,共32页，2024年2月25日，星期天（第行的倍加到第行上，记作）.一、内容提要（一）初等变换定义1

下面三种变换称为矩阵的初等行变换:（i）对调两行（对调两行，记作）；

（ii）以数乘某一行中的所有元素（第行乘，记作)（iii）把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去；

第3页,共32页，2024年2月25日，星期天（记号：“”换为“”）矩阵与列等价；记作；

若矩阵经过有限次初等列变换变成矩阵，则称阵与等价；记作；

矩阵与行等价；记作；

若矩阵经过有限次初等变换变成矩阵，则称矩定义2

若矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵，则称注（1）将定义中“行”改为“列”，称为矩阵的初等列变换；（2）初等行变换与初等列变换统称为初等变换．第4页,共32页，2024年2月25日，星期天（二）初等矩阵1．定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为

2．三种初等矩阵，，.

行列式：，，.

逆矩阵：,,.作用：“左乘变行，右乘变列．”初等矩阵．

第5页,共32页，2024年2月25日，星期天（三）矩阵的秩

1．定义设矩阵中有一个不等于的阶子式，且所有

阶子式（如果存在的话）全为,则称为的最高阶非零子式．数称为矩阵的秩，记为.

规定：零矩阵的秩为．

2．性质（1）.（2）.（3）若，则.（4）若可逆，则.第6页,共32页，2024年2月25日，星期天3．求法（1）定义法；（四）线性方程组的解1．有非零解；2．有解，；即（1）当时，有唯一解；（2）当时，有无穷多解；（3）当时，无解．3．通解的求法:初等行变换法．（2）利用初等行变换化为与之等价的行阶梯形

矩阵．非零行的行数就是的秩．

第7页,共32页，2024年2月25日，星期天

存在可逆阵、，使．（五）一些重要结论1．可逆（为初等矩阵，）．2．逆矩阵的求法．第8页,共32页，2024年2月25日，星期天二、典型例题举例

（一）填空题【例1】给矩阵左乘一个初等方阵，相当于对施行一次相应的

；给矩阵右乘一个初等方阵，相当于对施行一次相应的

.分析本题是考查初等方阵的性质．解初等行变换；初等列变换．第9页,共32页，2024年2月25日，星期天【例2】

，

，

.分析本题是考查初等方阵的定义及性质．解；；．【例3】设矩阵，,则逆矩阵

.分析本题可利用初等行变换法求逆矩阵．

解．第10页,共32页，2024年2月25日，星期天可知，的任何阶子式均为，故此时，所以分析本题是考查矩阵和伴随矩阵秩之间的关系．由

解．【例4】设4阶方阵A

的秩为2，则其伴随矩阵的秩为

.

注与的秩的一般关系是

.【例5】设是矩阵，的秩，而，分析本题是考查矩阵秩的性质．因，所以可逆，解．

.

从而第11页,共32页，2024年2月25日，星期天【例6】已知矩阵的秩为，矩阵的秩为，则的秩为

.

分析本题是考查列乘行形式的矩阵秩的性质．因，

，故与均至少有一个非零元，所以也至少有一个非零元，从而；又的各行元素对应成比例，

所以的任何阶子式均为，故.可见.解．注一般结论：设，均为非零列矩阵，则.第12页,共32页，2024年2月25日，星期天分析本题是考查初等方阵的性质及逆．由于与

互为逆矩阵，所以，故应选.

..【】..解选.【例2】设，是3阶初等方阵，则等于

.

.

.

.【】

【例1】设A是n

阶方阵，则下列各式中正确的是（二）选择题第13页,共32页，2024年2月25日，星期天知应选.矩阵的第三行，故应选.分析本题是考查初等方阵的性质．由于为用乘解选.【例3】设线性方程组有唯一解，则必有.

.

..

【】

分析本题是考查线性方程组有唯一解的条件．由解选.【例4】设为矩阵,为矩阵，若方程组

.

.

.

.

【】

有无穷多解，则必有第14页,共32页，2024年2月25日，星期天

知应选.分析本题是考查线性方程组有无穷多解的条件．由：

解选.第15页,共32页，2024年2月25日，星期天（三）计算题【例1】求矩阵的逆矩阵．分析本题A为具体的矩阵，故可采用初等行变换法求逆阵.

解第16页,共32页，2024年2月25日，星期天

所以第17页,共32页，2024年2月25日，星期天首元所在列的原矩阵中寻找A的最高阶非零子式．将A

化为行阶梯形矩阵，则与之等价的行阶梯形矩阵的非零

行的行数就是A的秩．另外，可在阶梯形矩阵中非零行非零

【例2】求矩阵的秩，并求一最高阶的非子式．分析

本题中A

为具体的矩阵，故可采用初等行变换法求秩—

解因所以

因，所以即为一个最高阶的非零子式.第18页,共32页，2024年2月25日，星期天【例3】设矩阵与满足，其中

（1）求；（2）求.

分析本题为常规的解矩阵方程题型．一般方法是先将矩阵

解（1）由，得；因

所以

方程化为基本型，再用初等行变换法求未知矩阵．（2）因，所以.第19页,共32页，2024年2月25日，星期天【例4】求解齐次线性方程组

分析本题为解齐次线性方程组题．一般方法

①将系数矩阵作初等行变换化为行最简形；

②由判断解的情况；

③由最简形得同解方程组；

④选择非自由未知数，写出通解．

解因

同解方程组为

第20页,共32页，2024年2月25日，星期天通解为，

【例5】设非齐次线性方程组.问取何值

时，方程组有解；在方程组有解时，求出其通解．

第21页,共32页，2024年2月25日，星期天分析本题为解含参数的非齐次线性方程组题，是个很重要

的典型题．一般方法

①将增广矩阵作初等行变换化为行最简形；

②由与的关系判断解的情况，由此得相应的取值；

③由最简形得同解方程组；

④选择非自由未知数，写出通解．

解因

所以，当，即时，方程组才有解，此时

第22页,共32页，2024年2月25日，星期天同解方程组为，通解为

第23页,共32页，2024年2月25日，星期天【例6】设，，求.（教材P78,习题6）

解由可得，因

由上述结果可知可逆，且

第24页,共32页，2024年2月25日，星期天【例7】求解非齐次线性方程组

.

(教材P.79,习题14(3))

解所以，故原方程组有无穷多解

.第25页,共32页，2024年2月25日，星期天且同解方程组为,

令，，则得通解

第26页,共32页，2024年2月25日，星期天【例8】问取何值时，非齐次线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？

（教材P.80,习题16）第27页,共32页，2024年2月25日，星期天解法1

对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵

可见（1）当且时，.此时方程组有唯一解．