矩阵与线性方程组

关于矩阵与线性方程组设n元线性方程组为记，第2页,共28页，2024年2月25日，星期天利用矩阵的乘法，方程组写成矩阵乘法的形式：Ax=b,其中A为线性方程组的系数矩阵，称x为未知列向量，b为右端常向量。当b=0时，方程组为齐次线性方程组。线性方程组的增广矩阵是一个m×(n+1)矩阵第3页,共28页，2024年2月25日，星期天若x1=c1,x2=c2,…,xn=cn是线性方程组的一个解，则它必满足矩阵等式：若记c=(c1,c2,…,cn)T,则上述矩阵等式可简写为：Ac=b.用矩阵的初等行变换求解线性方程组的原理见书中P76第4页,共28页，2024年2月25日，星期天问题：证必要性.(),,nDnAnAR阶非零子式中应有一个则在设=(),根据克拉默定理个方程只有零解所对应的nDn从而第5页,共28页，2024年2月25日，星期天这与原方程组有非零解相矛盾，().nAR<即充分性.(),nrAR<=设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０，即可得方程组的一个非零解.第6页,共28页，2024年2月25日，星期天推论1：含有n个方程的n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是，且当它有非零解时，必有无穷多个非零解。推论2：若方程组Ax=0中方程的个数小于未知量的个数，则方程组必有非零解。第7页,共28页，2024年2月25日，星期天小结有唯一解bAx=()()nBRAR==Û()()nBRAR<=Û有无穷多解.bAx=第8页,共28页，2024年2月25日，星期天齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；第9页,共28页，2024年2月25日，星期天例1

求解齐次线性方程组第10页,共28页，2024年2月25日，星期天解第11页,共28页，2024年2月25日，星期天即得与原方程组同解的方程组第12页,共28页，2024年2月25日，星期天由此即得第13页,共28页，2024年2月25日，星期天例2求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换第14页,共28页，2024年2月25日，星期天故方程组有解，且有第15页,共28页，2024年2月25日，星期天所以方程组的通解为第16页,共28页，2024年2月25日，星期天例3

设有线性方程组解第17页,共28页，2024年2月25日，星期天第18页,共28页，2024年2月25日，星期天其通解为第19页,共28页，2024年2月25日，星期天这时又分两种情形：第20页,共28页，2024年2月25日，星期天见书中例1－3（P76－79）第21页,共28页，2024年2月25日，星期天()()nBRAR==Û()()nBRAR<=Û有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结第22页,共28页，2024年2月25日，星期天思考题第23页,共28页，2024年2月25日，星期天思考题解答解第24页,共28页，2024年2月25日，星期天第25页,共28页，2024年2月25日，星期天第26页,共28页，2024年2月