第02讲一元二次方程的解法（5个知识点8类题型18道强化训练）-八年级数学下册学与练（浙教版）（原卷版）

第02讲一元二次方程的解法（5个知识点+8类题型+18道强化训练）课程标准学习目标1.用开平方法解一元二次方程；2.用配方法解一元二次方程；3.用公式法解一元二次方程；4、用因式分解法解一元二次方程；5、根的判别式的应用；1.掌握用开平方法解一元二次方程；2.掌握用配方法解一元二次方程；3掌握.用公式法解一元二次方程；4、掌握用因式分解法解一元二次方程；5、掌握根的判别式的应用；知识点一：一元二次方程的解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．体会不同解法的相互的联系；4．值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如的方程的解法：当时，;当时，;当时，方程无实数根。【即学即练1】1．（2023下·浙江温州·九年级统考阶段练习）若关于x的方程有实数根，则b的取值范围是（）A． B． C． D．（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。【即学即练2】2．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（）A． B．C． D．（3）公式法：一元二次方程的根当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为；当时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）【即学即练3】3．（2023下·浙江丽水·八年级统考期末）已知关于x的方程，当时，方程的解为（

）A．， B．，C． D．（4）因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则；②因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（5）选用适当方法解一元二次方程①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。（6）解含有字母系数的方程（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。【即学即练4】4．（2023下·浙江·八年级专题练习）方程的解是（）A．， B．，C．， D．，知识点二：根的判别式的应用了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1）=（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（）①当方程有实数根；（当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；）②当方程无实数根；从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2．常见的问题类型（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围（3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况①先计算出判别式（关键步骤）；②用配方法将判别式恒等变形；③判断判别式的符号；④总结出结论.（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧（6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合（7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题【即学即练5】5．（2023下·浙江温州·九年级校联考阶段练习）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（

）A． B． C． D．题型01解一元二次方程——直接开方法1．（2024上·江苏·九年级统考期末）一元二次方程的根是（

）A． B．2 C．或 D．2或2．（2024上·云南昭通·九年级统考期末）方程的根是（

）A． B． C． D．无实数根3．（2024上·北京海淀·九年级统考期末）若关于的一元二次方程有整数根，则整数的值可以是（写出一个即可）．4．（2024上·贵州贵阳·九年级统考期末）一元二次方程的根是．5．（2023上·广西柳州·九年级统考期中）解方程：．题型02解一元二次方程——配方法1．（2023上·湖南衡阳·九年级校考期中）用配方法解方程．下列配方结果正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（）A． B．C． D．3．（2024上·河北邯郸·九年级统考期末）若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为．4、（2022上·陕西咸阳·九年级统考期中）将方程用配方法化为，则．5、（2024上·河南商丘·九年级统考期末）用适当的方法解下列一元二次方程：(1)；(2)．题型03配方法的应用1．（2024上·福建泉州·八年级校考期末）不论x为何值，的值总是（

）A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数2．（2023上·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（

）A．1 B． C．4 D．3．（2024下·全国·七年级假期作业）代数式的最小值是，当取得最小值时，x的值是．4．（2023上·山东青岛·九年级校考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．例如：求代数式的最小值？解答过程如下：解：．，当时，的值最小，最小值是0，，当时，的值最小，最小值是1，的最小值为1．根据上述方法，可求代数式当时有最（填“大”或“小”）值，为．5．（2024上·山西吕梁·九年级统考期末）阅读与思考【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或其某一部分通过恒等变形，化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．【知识运用】周末，明明同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，明明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．明明同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答．（1）求代数式的最小值；（2）求代数式的最值．题型04根据判别式判断一元二次方程根的情况1．（2024上·湖南株洲·九年级统考期末）一元二次方程根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根2．（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）一元二次方程的根的情况是(

)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定3．（2024上·陕西宝鸡·九年级统考期末）一元二次方程根的判别式的值是．4．（2023上·河南驻马店·九年级统考阶段练习）一元二次方程的根的判别式．5．（2024上·福建泉州·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若，且该方程的两个实数根的积为12，求的值．题型05根据一元二次方程根的情况求参数1．（2024上·河南鹤壁·九年级统考期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（

）A．1 B．2 C． D．3．（2024上·江苏常州·九年级统考期末）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为．4．（2024·全国·九年级竞赛）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有个．5．（2024上·山东济南·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根(1)求m的取值范围：(2)当m取最大整数时，求方程的两个根题型06公式法解一元二次方程1．（2024·全国·九年级竞赛）若关于的方程恰有三个根，则的值为（

）A． B．或 C．或 D．或2．（2024上·河南开封·九年级统考期末）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（

）A． B． C． D．3．（2024上·上海普陀·八年级统考期末）在实数范围内分解因式：．4．（2023上·青海果洛·九年级统考期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是．5．（2023·安徽·九年级专题练习）解方程：．题型07因式分解法解一元二次方程1．（2024上·山东聊城·九年级统考期末）方程的解是（

）A． B．C． D．或2．（2024上·江苏宿迁·九年级统考期末）若代数式的值与的值相等，则的值是（

）A． B． C．或1 D．或3．（2024·全国·九年级竞赛）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为．4．（2024·全国·九年级竞赛）若关于的一元二次方程有一个根是0，则．5．（2024上·江苏无锡·九年级统考期末）解下列方程：(1)；(2)．题型08换元法解一元二次方程1．（2024下·全国·七年级假期作业）若实数，满足，则的值为（

）A．5 B．2.5 C．2.5或 D．5或2．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级内蒙古师大附中校考期中）关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（

）A．， B．， C．， D．，3．（2023上·全国·九年级专题练习）设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为．4．（2023上·江苏镇江·九年级校考阶段练习）若，则的值为．5．（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）请阅读下列材料：问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则所以．把代入已知方程，得化简，得故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；(2)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，并写出系数a、c的取值范围．A夯实基础1．（2024上·吉林·九年级校考期末）一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．2．（2022·安徽·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值可以是（

）A． B． C．0 D．43．（2024上·北京密云·九年级统考期末）用配方法解一元二次方程时，将原方程配方成的形式，则k的值为．4．（2024上·陕西西安·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．5．（2024上·江苏连云港·九年级统考期末）（1）

（2）6．（2024上·云南昭通·九年级统考期末）用适当的方法解方程．(1)；(2)．B能力提升1．（2024上·四川宜宾·九年级统考期末）用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（

）A． B． C． D．2．（2024上·四川泸州·九年级统考期末）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（

）A． B． C． D．3．（2024上·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）如果关于的方程没有实数根，那么实数的取值范围是．4．（2024上·重庆潼南·九年级统考期末）方程是关于的一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，原方程可变为，先求解，再求解．在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想，请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题：若，则．5．（20