过程设备机械设计基础：4平面弯曲

4平面弯曲

4.4

平面弯曲梁的变形

4.3平面弯曲梁的应力

4.2直梁弯曲的内力

4.1平面弯曲的概念及实例

4.1平面弯曲的概念及实例F1F2R1R2xyO1O1梁：以弯曲变形（横向力）为主的杆件纵向对称面：对称轴与轴线组成的平面平面弯曲：梁轴线弯曲成此平面内的一条曲线平面弯曲的定义：梁的轴线弯成对称平面内的一条平面曲线。集中载荷P分布载荷q集中力偶m纵向对称面轴线PmPPmq平面弯曲的特点有纵向对称面;

横向力作用：作用在纵向对称面内与杆件轴线相垂直的外力;

轴线在此平面内由直线变成曲线.载荷的简化：集中载荷、分布载荷、集中力偶外伸梁简支梁悬臂梁根据梁固定情况可分为：4.2直梁平面弯曲时的内力求出反力：

NA=NB=P/2采用截面法求内力：以左段为研究对象：

Q＝NA＝P/2M=NA.x=P.x/2

以右段为研究对象：

Q’＝P-NB=P/2M’=NB(L-x)-P(L/2-x)=P.x/2一)横截面的内力——剪力和弯矩剪力和弯矩的符号规定取左段作研究对象：若外力向上，横截面上产生的Q和M为正。横截面上设Q为向下（正），M为逆时针（正）QM横截面上产生的剪力Q的数值为该段上所有外力的代数和。横截面上产生的弯矩M的数值为该段上所有外力对截面形心之矩的代数和。二)剪力方程和弯矩方程--剪力图和弯矩图剪力和弯矩沿着梁轴线分布的数学表达式Q(x)、M(x)为剪力方程和弯矩方程。以x为横坐标、Q和M为纵坐标作图即得剪力图和弯矩图。

画简支梁的剪力图和弯矩图(Q－M图)P/2-P/2例4-2求简支梁的剪力和弯矩图1、求反力：AC段(0<x<a)2、求剪力和弯矩方程以左段作研究对象BC段(a<x<(a+b))3.画简支梁的剪力图和弯矩图(Q－M图)Pb/(a+b)-Pa/(a+b)Pab/(a+b)例4-3求悬臂梁的剪力图和弯矩图剪力方程：

Q(x)=-qx

(0<x<L)弯矩方程：

M(x)=-qx2/2(0<x<L)悬臂梁的剪力弯矩图（Q－M图)例4-3悬臂梁受集中力作用时的剪力弯矩图例4-4：一受均匀载荷作用的简支梁(P66)。430ABq=6

103KN/m430800CDRARB430ABq=6

103KN/m430800CDQMRARB4.2.3载荷集度、剪力和弯矩间的关系叠加法作Q－M图例4-4P66：截面法求Ｑ图、Ｍ图三)剪力、弯矩和载荷集度间的微分关系剪力图上任一点的斜率即为梁上相应点处的载荷集度q弯矩图上任一点的斜率即为梁上相应横截面上的剪力QQ、M图的四点规律1.梁上某段无分布力，Q为水平线，M为斜直线2.有向下的分布力，Q图递减(↘)，M为上凸(⌒)有向上的分布力，Q图递增(↗)，M为下凹(

)如分布力均匀，Q为斜直线，M为二次抛物线3.在集中力作用处，Q图有突变,突变值为集中力

的值，M图有折角。

在集中力偶处，弯矩图有突变，突变值为集中

力的值。4.某截面Q＝0，则弯矩为极值。例4-5：判断Q、M图是否有错?xM60kNmP=70kNq=20kN/m1m2mRA=60kNRB=50KNACBQx60kN50kN例：判断Q、M图是否有错？Qx60kN50kNxM60kNm10kNP=70kNq=20kN/m1m2mRB=50KNACBRA=60kNa)q=15kN/mM0=10kNmACB4m0.5m1mRA=36.4KNRB=23.6KNb)36.4KN23.6KN144.2KN23.6kNmQMq=15kN/mM0=10kNmACB4m0.5m1mRA=36.4KNRB=23.6KN36.4KN23.6KNQ23.6kNmM例4-6：一外伸梁如图，画其剪力和弯矩图。RBEP1=2kNq=1kN/m400400CDM0=10kN-mP2=2kN400300按静力平衡方程求得支反力为：RARARBEP1=2kNq=1kN/m400400CDM0=10kN-mP2=2kN400300按静力平衡方程求得支反力为：EP1=2kNq=1kN/m4m4mCDM0=10kN-mP2=2kN4m3mRARB2kN7kN3kN1kN-3kN(7-4q=3kN)FF5mQ4.2.3载荷集度、剪力和弯矩间的关系RBEP1=2kNq=1kN/m4m4mCDM0=10kN-mP2=2kN4m3m6kN-mMD’=16-M0=6kN-mMD=RA

8-q

8

8/2-P1

4=

16kN-mMmax=?Where?RAF5mMmax=RA

5-P1

1-q

5

5/2=

20.5kN-mM4.2.3载荷集度、剪力和弯矩间的关系平面纯弯曲4.3平面弯曲的正应力2)

纵向直线变弧线，ab缩短，a’b’伸长，o1o2长短不变，该层纤维称中z性层。平面纯弯曲的实验现象1)弯曲后mn不平行m’n’，但仍与纵向轴线垂直；mm1n1nacdbO2O1

刚性平面假设（平面截面假设）：1梁的所有横截面在变形过程中要发生转动，但仍保持平面，且变形后仍与梁轴线垂直。2梁所有与轴线平行的纵向纤维都是轴向拉伸或压缩，没有相互挤压。3纵向纤维的变形量与离开中性轴的距离有关，且沿宽度相等。中性层中性轴一)纯弯曲时梁横截面上的正应力2)

物理方程：1)变形几何方程:3)静力关系:正应力的计算1)变形几何方程:2)物理方程:(((((梁截面上的应力分布3）静力平衡计算弯曲正应力静力平衡方程：定义：则有：轴惯性矩称为整个横截面对中性轴的惯性矩yoxyzdAσdAM从而可推得：横截面上最大的正应力定义：截面的抗弯截面模量轴惯性矩IZ：关于截面几何尺寸的量，

EIZ

：梁的抗弯刚度。代入物理方程4.4常用截面的惯性矩和抗弯截面模量矩形截面惯性矩抗弯截面模量圆形截面惯性矩抗弯截面模量3圆环截面4.5弯曲正应力强度条件若横截面对中性轴不对称，或材料的抗拉、压能力不等时，须分别计算最大拉应力和最大压应力，强度条件为：例3：某梁由工字钢制成，材料为Q345，[σ]=160MPa,P=20KN,q=10KN/m,M=40KN.m,确定工字钢的型号1画受力图2求支座反力x1x2YcYB在AC段：(0<x1<1)

左段作研究对象3列剪力和弯矩方程：分AC和CB段

在CB段：(0<x2<4)，

右段为研究对象x1x2在x=2.5m,|M|max=31.25KN.m4、画

Q/M图5

求最大WZ查表P293，应选用20a工字钢，WZ＝237×103mm3例4-7：P73自学二.(20％)由铸铁制成的槽形截面梁，Jz=40×106mm4，y1=140mm，y2=60mm，

[σ]拉＝40Mpa，[σ]压＝150Mpa，试校核梁的强度。4.6提高梁抗弯强度的主要途径1选择合理截面，增加抗弯模量

(提高截面的抗弯模量W=bh2/6) 以比值WZ/A来衡量截面的合理程度，该值越大，截面越经济合理。矩形截面：圆形截面：工字形截面：材料性能抗拉和抗压不同时，应采用不对称的中性轴，如铸铁：2)合理布置支座和载荷作用位置（减少梁中最大弯矩Mmax)x4.7弯曲变形一)挠度和转角挠曲线：y=f(x)挠度：y(x)转角：

~tg=y’二)刚度条件三)挠曲线微分方程及其积分挠曲线可用y=f(x)表示，则转角挠曲线曲率：数学定义曲率：EIy=

M(x)dx.dx+Cx+D综合两式，得挠曲线近似微分方程：积分一次得转角方程：EI=M(x)dx+C再积分得挠度方程：四)积分法求梁的变形1.列出弯矩方程2.建立挠曲线微分方程积分一次当x=0时，y=0，因此C=0当x=0时，y’=0，因此D=0第二次积分:确定积分常数：3.确定转角和挠度方程发生在x=L处转角方程：挠度方程：4.确定最大转角和最大挠度五)叠加法求梁的变形+=CCCymax=ypc+yqc例：习题3-12（b）ABCFD3aa六）梁的刚度条件七)提高梁抗弯刚度的主要途径1减少垮度，或增加支座；2选用合理截面形状。本章作业：４-１（c,f,b）,4-2a\b,4-7，4-8、4-15（2）惯矩Iz和抗弯截面模量Wz矩形圆形（3）弯曲正应力强度条件第四章的重点与要点（1）掌握Q、M方程的写法，Q、M图的画法,注意内力符号TITANIC的悲剧弯应力最大截面习题4-1(C)剪力和弯矩方程AC段(0<x<L/2)CB段(L/2<x<L)5KN.m4-1(f)1.求支反力NA=12.5KNNC=-12.5KN2.列方程在AC段：(0<x<2a)在BC段：(2a<x<3a)习题4-7最大应力：A点应