余弦定理知识点总结和同步练习

第页余弦定理老师：郭庆友(1)语言表达三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边及它们夹角的余弦的积的两倍．(2)公式表达1,余弦定理：在中，有，，余弦定理证明如上图所示，△ABC，在c上做高，依据射影定理，可得到：将等式同乘以c得到：运用同样的方式可以得到：将两式相加：向量证明2,余弦定理的推论：，，．3,设,,是的角,,的对边，那么：=1\*GB3①假设，那么；=2\*GB3②假设，那么；=3\*GB3③假设，那么．注：此法可以进展三角形形态的判定：主要判定最大角的余弦值的正负号，假设最大角的余弦值为负数，也即最大角为钝角，所以此三角形为钝角三角形；假设最大角的余弦值为0，也即最大角为直角，所以此三角形为直角三角形；假设最大角的余弦值为正数，也即最大角为锐角，所以此三角形为锐角三角形；4,余弦定理的适用范围余弦定理是提示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决两类问题：①三角形两边及夹角求第三边；②是三个边求角的问题.假设对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，那么运用起来更为便利,敏捷。注：在两边一对角的三角问题中，也可以运用余弦定理便利快捷的求出第三边；余弦定理的应用要比正弦定理范围广泛。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值例题：1在ABC中，，，，求b及A；解析：〔1〕∵=COS求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos 解法二：∵sin又∵＞EMBEDEquation.DSMT4＜∴＜，即＜＜例2：思路点拨：由题目可获得以下主要信息：①三边比例；②求三角形的三内角．解答此题可应用余弦定理求出三个角[题后感悟]此题为“三边，求三角形的三个角〞类型问题，根本解法是先利用余弦定理的推论求一个角的余弦，再判定此角的取值，求得第一个角，再用正弦定理求出另一个角，最终用三角形内角和定理，求出第三个角(一般地，先求最小角，再求最大角)例3：[题后感悟]可比拟两种方法，从中体会各自的优点，三角形中两边及一角，有两种解法，从而摸索出适合自己思维的解题规律和方法．方法一利用余弦定理列出关于a的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出a边的长，这样可免去推断取舍的麻烦．方法二直接运用正弦定理，先求角再求边．假设将题中条件改为“b＝3，c＝2，A＝30°〞，应如何求解三角形？考点二：推断三角形的形态例5：在△ABC中，假设，试推断三角形的形态思路点拨：由题目可获得以下主要信息：①边角之间的关系：；②确定三角形的形态．解答此题先由正弦定理将边转化为角，然后由三角恒等式进展化简，得出结论；也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确定三角形形态．[题后感悟]推断三角形的形态应围绕三角形的边角关系进展思索，可用正,余弦定理将条件转化为边边关系，通过因式分解,配方等方式得出边的相应关系，从而推断三角形的形态，也可利用正,余弦定理将条件转化为角及角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而推断三角形形态4．在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形态．1．余弦定理及勾股定理之间的联系(1)对于余弦定理中，假设C＝90°，那么，此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊状况．(2)余弦定理提示了随意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具．①在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．②余弦定理也为求三角形的有关量(如面积,外接圆,内切圆等)供应了工具，它可以用来判定三角形的形态，证明三角形中的有关等式，在肯定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛．[特殊提示]在利用余弦定理求三角形的边长时简单出现增解，缘由是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需特殊留意三角形三边长度所应满意的根本条件．2．解三角形问题的类型解三角形的问题可以分为以下四类：(1)三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．此种状况的根本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，留意推断解的个数．(2)三角形的两角和任一边，解三角形．此种状况的根本解法是假设所给边是角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边.假设所给边不是角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．(3)两边和它们的夹角，解三角形．此种状况的根本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最终用三角形内角和定理求第三个角．(4)三角形的三边，解三角形．此种状况的根本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最终用三角形内角和定理，求出第三个角．要解三角形，必需三角形的一边的长．假设条件中一条边的长也不给出，三角形可以是随意的，因此无法求解◎钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围【错因】忽视隐含条件k＋(k＋2)>k＋4，即k>2，而不是k>0.1.1.2余弦定理同步练习选择题1．在△ABC中，，那么角Ｃ为〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．２．在△ABC中，ＡＢ＝，，ＡＣ边上的中线ＢＤ＝，那么sinＡ的值为〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．３．在△ABC中，假设，并有sinA＝２sinBcosC,那么△ABC是〔〕Ａ．直角三角形Ｂ．等边三角形Ｃ．等腰三角形Ｄ．等腰直角三角形二,填空题４．△ABC中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，Ｓ△ABC＝４