安徽省示范高中培优联盟2023-2024学年高三年级上册秋季联赛数学试题

姓名座位号

（在此卷上答题无效）

绝密★启用前

安徽省示范高中培优联盟2023年秋季联赛（高三）

数学

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第3页，第n卷第4至

第6页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上

所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第n卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清

晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清

楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答

题无效。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。）

1.若a（2+i）+Z?（l—2i）=4—3i,其中beR,i是虚数单位，则+历|=

A.2B.A/5C.3D.5

2.已知集合4=卜]（》+1）（4—2,）>0卜集合3=«xcos['x]<0>,则AB=

A.（-1,2）B.（0,2）C.（1,2）D.（2,3）

3.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁T8岁的男生体重（kg）,

得到频率分布直方图如下：

根据上图可得这100名学生中体重在［56.5,64.5）的学生人数是

A.20B.30C.40D.50

4.若/（x）=（a+丁=］为偶函数，则。=

'711+3*J3x+l

,1

A.1B.0C.—1D.--

2

2222

5.若双曲线「I：T—2r=1（a>0,b>0）的离心率为2,则双曲线「2：与—［=1的离心率为

abba

A.!B.A/2C.A/3D.y/5

6.已知曲线尸靖在点A（a,e"）,B仅，a）处的切线分别为/r12,记与x轴的交点的横坐标分别为

x,,x2,若％,+%2=—1，则a+b=

A.0B.1C.2D.3

7.设公差为2的等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若对于任意正整数〃，都有反为定值，则品）=

S"

A.60B.80C.100D.120

8.已知sin5a=5sina-20sin3（z+16sin5a,则sin72。cos18。=

V5+1V5-15-V55+V5

A.-----B.-----C.———D.------

4488

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9.在平面直角坐标系x°y中，A、8两点的坐标分别为（-2,0）、（2,0）,则下列结论正确的是

A.若942_依2=2,则点尸的轨迹为直线B.若NAPB=45°,则点尸的轨迹为圆

C.若Q4+?B=4,则点p的轨迹为椭圆D.若P到=2,则点P的轨迹为双曲线

10.投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示.

表1股票甲收益的分布列

收益X（元）—102

概率0.10.30.6

表2股票乙收益的分布列

收益Y（元）012

概率0.30.40.3

关于两种股票，下列结论正确的是

A.E（2X+1）=32B.£＞（27+1）=22

C.投资股票甲的期望收益较大D.投资股票甲比投资股票乙风险高

11.已知函数/（x）=e8sx—*，，其中e是自然对数的底数，则下列说法中正确的有

B./（x）的图像关于点0）对称

A./（x）为周期函数

D.关于尤的方程“x）=e—L有实数解

C./（x）在区间上是减函数

e

12.在三棱锥尸-ABC中，与△ABC都是边长为2百的正三角形，且二面角尸-A8-C为直角，则下列结

论正确的有

A.PCLABB.PC与平面ABC所成角为45°

C.上存在一点0,使得/PQC为钝角D.三棱锥P-A8C的外接球表面积为20万

（在此卷上答题无效）

第II卷（非选择题共90分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.已知向量a,人满足卜-0=卜|,[2。-0=3,则.

14.一个正四棱台形油槽可以装煤油190L,假如它的上下底面边长分别为60cm和40cm,则该油槽的深度为

15.函数/'（x）=sinx—cos2x的所有正零点从小到大依次记为％],x2,…，则为+々++x26=

16.已知一组圆G，。2,…，聂均与三个定圆三+产=4,必+/=64,（%—5丫+丫2=3相切，则圆G，

G，…，c*的面积和为.

四、解答题(本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.(10分)

20.

记△ABC的二个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=5,c=3,且cosB=—sinC.

9

B

(1)求tan—的值；

2

(2)求a的值.

18.(12分)

记Sn为等比数列｛4｝的前w项和，几=7&.

(1)若5口=12,求S24的值；

(2)若§6>0,求证：S6n+6>2S6„.

19.(12分)

甲和乙每人掷五枚硬币，每个硬币正面朝上或反面朝上的概率相等，且每个结果相互独立，如果甲的硬币正面

朝上的数量比乙的多，那么这个游戏甲获胜.如果甲乙两人正面朝上的硬币数量相同，那么这个游戏就是平局.

(1)求甲乙两人平局的概率P1；

(2)求甲获胜的概率P2.

20.(12分)

如图，设E-A8CZ)与广ABC。为两个正四棱锥，且NE4尸=90°,点P在线段AC上，且CCP=3PA.

第20题图

一ccos(a+?)

(1)记二面角E-BC-A,P-BC-A的大小分别为a,夕，求一——V的值;

cos(cr-p)

(2)记取与尸5所成的角为6,求cos。的最大值.

21.（12分）

22](3、

已知椭圆r：=+3=1(。>>>0)的左右焦点分别为片，F,,离心率为一，且经过点1,—.

矿厅2V2J

第21题图

(1)求椭圆r的方程;

(2)若经过耳的直线人与椭圆「交于A,C,经过歹2的直线4与椭圆「交于8,D,4与6交于点尸(点P在

椭圆r内)，求证：1—[-+-：—r=1—：+■；—：.

\PA\\PC\\PB\\PD\

22.(12分)

2

已知函数〃x)=—x+ax+ln(l-x),其中a>0.

(1)当a=2时，若点尸为函数/(x)图像上的任意一点，求尸点处切线斜率的最大值;

(2)若函数/(x)在区间0,1上单调递增.

①求实数a的取值范围；

②证明：+—|^(n+l)lnn-n+2,neN*.

k=\\k)

培优联盟2023高三秋赛数学参考答案

题号123456789101112

答案BCCDABCDADACDABCABD

1.【答案】B

,,、/、2a+Z?=4口[a—\

【解析】：由（2a+〃）+（a-2Z?）i=4-3i,得《，解得《

I7v7[a-2b=-3[b=2

所以|l+2i|=君.

2.【答案】C

【解析】：A=(-1,2),5=(4左+1,4左+3),k&Z,所以AB=(l,2).

3.【答案】C

【解析】：(0.03+0.05x2+0.07)x2xl00=40.

4.【答案】D

【解析】：函数定义域为

因为函数/(X)为偶函数，所以/■(_%)=/(X),

/3%、3x+l13x-l

即a-\-------InCL+In

3X+1J3x-l3V+13x+l

3X1

所以a+二­a—

3A+13A+1

可得a=_L

2

5.【答案】A

【解析】：因为双曲线「的离心率6=J—2=2,所以廿=3二,

Va

石

所以双曲线「2的离心率02=血一丁

6.【答案】B

aa

【解析】：由题意知4：y—e—e^x—a）,l2：y—e"=/（%—/?）,

所以项=〃一1,x2=b-l,

所以a+〃=l.

7.【答案】C

3n（3n-l）

3na}H-------------x2吗〃（〃）〃

【解析】：注12_3+33-1_9+3%-3

n（n-l]nan+a—l

na.H——------x2xx

12

设~^=9"+3’3_卜,可得（左_9）〃+（左一3）（q-1）=0,

S〃〃+4—1

>-9=0>=9

若等式对任意正整数"都成立，贝h可得《

（左—3）3-1）=0=1

所以%=100.

8.【答案】D

【解析】：由题意知sinl8°=^^,UZsin72°cos18°=cos218°=1-sin218°=.

48

9.【答案】AD

【解析】:

选项A：设点P（x,y）,可得x=:,轨迹为直线；

选项氏点2轨迹为圆£+（3；—2）2=8上的一段弧（y>0）；

选项C：点P轨迹为线段A8；

选项D：点尸轨迹为双曲线，轨迹方程为必一乙=1.

3

10.【答案】ACD

【解析】：

E（x）=l.l,E（y）=l,O（x）=1.29,D（Y）=0.6,

E（2X+1）=2E（X）+1=3.2,

D（2r+l）=4D（y）=2.4.

11.【答案】ABC

【解析I

选项A：/（x+2»）=eO°s（A2"）—/n（x+2"）=e8sx—esmx=/G）,是周期函数；

选项B：—1=/H=esinx-ecosx=-/（%）,所以函数/（x）关于点\,01中心对称；

选项C：4寸，尸（x）=—sinx/°s「cosx/mx=—kin_vec°”+cos;p/x）<0,所以函数/（x）

在区间上为减函数；

111

选项D：e8sx_,e,esiax-,e,当且仅当产°"=6,e^'J—时方程有解，即cosx=l,sinx=—1同时

_e]Je

兀

成立时方程有解，但x=2Qr和x=2br—-无法同时满足，所以方程没有实数解.

2

12.【答案】ABD

【解析】：取48中点则A3,平面尸MC,

'-7--4---r----J

B

所以A8_LPC,且NPCM为直线PC与平面ABC所成的角，

因为9=CM,所以NPCM=45°.

故A、B选项正确.

在AB上任取一点。（不同于M）,则

PQ2^PM2+QM2,

CQ2CM2+QM2,

在△CPQ中，由余弦定理可得

PQ-+CQ2-PC2=2QM->0,

所以/PQC为锐角，故C选项不正确.

记H为△ABC的中心，在平面PMC内，过H引CM的垂线与CP的中垂线交于点。，则。为三棱锥P-ABC

外接球的球心，易知CO=jMf2+CF/2=5所以三棱锥尸-ABC外接球表面积为20万，故选项D正确.

13.【答案】3

a—2a-b=0.2-2

【解析】：由题意知《22，消去可得2〃+Z?=9,

4〃一4〃•/?+/?=9

I•I/•21.2I*2-2

所以〃+/?=#〃+2a-b+b=y2a+b=3.

14.【答案】75

【解析】：正四棱台体积V=g(s上+Js上.S下+S下)/1,1L=1000ml=1000cm3,代入数据可得〃=75cm.

15.【答案】221万

【解析】：4'/(x)=sinx-cos2x=2sin2x+sinx-l=(2sin%-l)(sinx+l)=0,

_.1,、.y广广,.二匚।sr兀57r37r13zr17TC77r

可付Zasm%=—或—1,所有的正差点为一，—，—，-----,------,—,…

2662662

则为+%2++々6=221〃.

16.【答案】136万

【解析】：设C］：/+丁2=4,6：/+,2=64,G：(x—5了+/=3,

若圆与G，G内切，与内切时，设圆心为(加,〃)，半径为「，可得

Jm2+"=r-2

<J(m-5)2+加?=r-C，由8—〃=〃-2可知，r=5,且有两个；

y/m2+n2=8-r

同理，若圆与G，C3外切，与。2内切时，可得〃=3,且有两个；

若圆与G内切，与。3外切，与。2内切时，可得〃=5,且有两个；

若圆与G内切，与G外切，与G内切时，可得〃=3,且有两个；

综上所述，共有8个圆满足题意，面积和为136万.

17.解：

(1)由正弦定理可得

sinBb_5

sinCc3

20

又因为cos_B=—sinC，

9

3

所以tan8=一,且8为锐角,

4

34

所以sin8=—,cosB=—,

55

.Bsinj?1

所cri以tan—=-------

21+cosB3

(2)由余弦定理可知/+。2-2accosB=/，

24

所以。2——。—16=0,

5

4(3+阴)4(3-后)

解得-------^或。二二-------(舍去)

55

4(3+庖)

故a=---------.

5

18.解:设等比数列｛4｝的公比为q,则

由几=7S6可得S6_6)=0,

所以4=0或^=2,

所以q=—1或/=2,

(1)因为工2=12,所以qw—l,即/=2,

所以S24=Si2(l+/2)=5S12=60.

(2)因为"〉0,所以qw—l,即1=2,

6〃+6_1

所以S6“+6=§6•=E,•产6—$6=2(S6n+6-S6n)-S6<2(S6n+6-S6n),

q一1

故S6"+6〉2s6”.

19.解:

52

(l)甲乙两人的硬币正面朝上的数量相同共有Z(C)一=252等可能的情形，

1=0

每种情形发生的概率为

2525210

。二a

故甲乙两人平局的概率Pi=f=——

2256

(2)注意到甲获胜的概率与乙获胜的概率相同,

所以Pi+20=1，

193

进一步解得.2=近

20.

(1)解:记正方形ABCD的中心为。，则EF经过点O,

所以有EFLOA,又因为NE4F=90°,所以OE-OF=Q42,

记BC的中点为连结EM,FM,OM,则

EM±BC,FMLBC,OM±BC,

所以/EMO,NFMO分别为二面角E-BC-A,DBC-A的平面角,

OEOFOA2

所以tanatan/=丝•丝=2,

OMOMOM2OM2

cos(o+/?)_cosacosj3-sinasinf3_1-tancrtan/?£

所以

cos(cif-/?)cosorcos/3+sinasin(31+tanitan/?3

(2)以。为空间坐标原点，OA,OB,OE方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

不妨设A(、&,0,0bB(0,V2a,0),E(0,0,e),尸(0,0"),则团=2〃,

坐,(4

由CP=3PA可知产为AO的中点，则尸

I2J

,FB=(0,V2tz,-/j,

2

3

2

所以当历=2同时，cos。取到最大值丁

21.解：

(1)因为椭圆「的禺心率为一，

2

b2

所以彳=3

a4

又因为椭圆r经过点

19

所以/+元=1'

解得Y=4,b2=3,

22

故椭圆「的方程为土+匕=1.

43

(2)设点尸的坐标为(5,%)，直线4的斜率为自(i=l，2),

则直线4的方程为y=kl(x-x0)+y0,

22

代入椭圆「的方程工+匕=1,

43

消去y得到—+MG-/)+%]=],

43

刖[(九一5)+%T[占(％一%)+%],

即-----------------1---------------------------------------二1，

43

整理可得3+牛卜/+2二+警卜―/)+4+0_1=0,

2+(VoJo)2

J_+J_=回=|(/fHx「xc)|=V4f-12-1

网+西—I叫尸丁口+弓(x°f)(%—%「i工C

43

因为4经过片（一1,0）,所以%-左玉）=匕,

1

所以1---F+1---T

附因

43

11

同理可得---1---=

\PB\\PD\y；