三角形内切圆与内心九年级数学上学期期末考试真题汇编（苏科版）

专题08三角形内切圆与内心

一.选择题（共4小题）

1.（2020秋•赣榆区期末）RfZXABC中，ZC=90o,AB=5,内切圆半径为1,则三角形

的周长为（）

A.12B.13C.14D.15

【分析】作出图形，设内切圆。。与aABC三边的切点分别为D、E、F,连接OE、OF

可得四边形OECF是正方形，根据正方形的四条边都相等求出CE、CF,根据切线长定

理可得AD=AF,BD=BE,从而得至∣JAF+BE=AB,再根据三角形的周长的定义解答即

可.

【解答】解：如图，设内切圆。O与AABC三边的切点分别为D、E、F,连接OE、OF,

VZC=90o,

.∙.四边形OECF是正方形，

ACE=CF=L

由切线长定理得，AD=AF,BD=BE,

.∙.AF+BE=AD+BD=AB=5,

三角形的周长=5+5+1+1=12.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，作辅助线构造出正方形是解

题的关键，难点在于将三角形的三边分成若干条小的线段，作出图形更形象直观.

2.（2020秋•鼓楼区期末）如图所示，在4X4的网格中，A,B,C,D,O均在格点上，则

点O是（)

A.AACD的外心B.Z∖ACD的内心C.ZsABC的内心D.A1ABC的外心

【分析】根据网格利用勾股定理得出OA=OD=OC,进而判断即可.

【解答】解：由勾股定理可知：

OA=OD=OC=√12+22=√5,

所以点0是aACD的外心，

故选：A.

【点评】此题考查三角形的外接圆与外心问题，关键是根据勾股定理得出OA=OD=OC.

3.（2021秋•镇江期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点E、F分另IJ是AD、

BC的中点，点P在线段EF上，ZM3AB内切圆半径的最大值是（）

【分析】由三角形APB的面积为12,可知AP+BP最小时，r有最大值，连接CA与EF

交于点P',求出AC=I0,由三角形面积公式可得出答案.

【解答】解：•.\卢£、F分别是AD、BC的中点，四边形ABCD是矩形，

ΛEF√AB,

:P在EF上，AB=8,BC=6,

1

.∙.SΔPAB=^×8×3=12,

设aPAB内切圆半径是r,

1

VSΔPAB=^（AP+PB+AB）∙r=12,

・・・AP+BP最小时,r有最大值,

如图，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CA与EF交于点P',

D

VAP+BP=AP+CP≥CA,

・・・此时CA即为AP+BP最小值，

∙.'AB=8,AD=6,

ΛAC=√62+82=10,

ΛAPiBP最小值为10,

.∙.PA=PB=5,

Ill

Λ-×5×r+-×5×r+-×8×r=12,

222

解得胃5,

故选：D.

【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称求最短距离；能

够将AP+BP最小值转化为CA的长是解题的关键.

4.（2019秋•海陵区校级期末）下列说法正确的是（）

A.三角形的外心一定在三角形的外部

B.三角形的内心到三个顶点的距离相等

C.外心和内心重合的三角形一定是等边三角形

D.直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为125°

【分析】利用三角形内心以及三角形外心的性质判断得出即可.

【解答】解：A、三角形的外心不一定在三角形的外部，错误；

B、三角形的内心到三个边的距离相等，错误；

C、外心和内心重合的三角形一定是等边三角形，正确；

D、直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为135°,错误；

故选：C.

【点评】此题主要考查了三角形内外心的区别，正确把握相关性质是解题关键.

二.填空题（共4小题）

5.（2021秋・邢江区期末）如图所示，点。是aABC的内切圆的圆心，若∕BAC=76°,

则NBOC的度数为128°.

11

【分析】由点O是4ABC的内切圆的圆心，可得NoBC=WNABC,NOCBENACB,

又由NBAC=76°,可求得NABC+/ACB的度数，再利用三角形内角和定理即可求得

答案.

【解答】解：•；点O是AABC的内切圆的圆心，

ΛB0>CO分别平分NABC、ZACB,

11

ΛZOBC=∣ZABC,∕OCB=RACB,

∙.∙∕BAC=76°,

ΛZABC+ZACB=180q-NBAC=I04°,

ΛZBOC=180o-(ZOBC+ZOCB)=180o-ɪ(ZABC+ZACB)=J80o-∣×104o

=128°.

故答案为：128°.

【点评】本题考查了三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理.注意掌握数形结合思

想与整体思想的应用.

6.(2020秋•滨湖区期末)设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径

长分别为R和r,则R-r=1.5.

【分析】利用三角形的外心与内心的性质即可进行计算.

【解答】解：因为直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，

所以R=*√32+42=2.5：

若RfZlABC的边AC=3,BC=4,

根据勾股定理，得AB=√AC2+BC2=5,

其内切圆。O分别切AB、BC、Ae于D、E、F.

设OE=OF=OD=八

，S∆ABC=S∆A0B÷S∆B0C+S∆A0C»

Iiii

即一AC∙BC=怖AB∙OD+^BC∙OE+之AC∙OF,

22ZZ

Illl

-×3×4=⅛×5×r+⅛×4×r+⅛x3×r,

2222

1

6=W(5+4+3),

6=6r,

r—1,

则R-r=2.5-1=1.5.

故答案为：1.5.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心关系，牢记这些定

义和计算方法是解答本题的关键.

7.(2019秋•鼓楼区期末)已知三点A(0,0),B(5,12),C(14,0),则AABC内心的

坐标为(6,4).

【分析】作BQLOC,由题意可得BQ=12,根据勾股定理分别求出OB的长，利用面积

法可得aABC内切圆半径，设AD=AE=X,则CD=CF=I4-χ,BE=BF=13-χ,由

BC=BF+CF列方程，解之求出X的值，从而得出点P的坐标，即可得出答案.

【解答】解：如图，过点B作BQLOA于点Q,连接PA,PB,PC,

则OQ=5,BQ=12,

ΛOB=√0Q2+BQ2=√52+122=13,CQ=AC-AQ=14-5=9,

BC=√CQ2+BQ2=√92+122=15,

设G)P的半径为r,

过点P作PDj_AC于D,PF_LBC于F,PE_LOB于E,

1ill

SΔABC=2OC∙BQ—2AB∙r+AC∙r+BC∙r

14x12一

则r=14+13+15=%

设AD=AE=x,则CD=CF=I4-X,BE=BF=I3-x,

,.∙BC=BF+CF,

二13-x+14-x=15,

解得：x=6,

，点P的坐标为（6,4）.

故答案为：（6,4）.

【点评】本题主要考查勾股定理、三角形的内切圆的性质及切线长定理，根据面积法及

切线长定理求出点P的坐标是解题的关键.

8.（2021秋•鼓楼区期末）AABC中，AB=AC=13,BC=24,点I是AABC的内心，点

O是AABC的外心，则Ol=14.3.

【分析】设Be边的中点为D,连接AD,根据等腰三角形的性质得到ADLBC,ZDAB

=ZCAD,得到内心I和外心O都在直线AD上，根据勾股定理得到AD=5,i5ΔABC

的内切圆半径为〃外接圆半径为R,则IO=Dl+OD,根据勾股定理列方程得到R=16.9,

求得OD=II.9,根据三角形的面积公式得到∕∙=2.4,于是得到结论.

【解答】解：设BC边的中点为D,连接AD,

：AB=AC=13,

ΛAD±BC,ZDAB=ZCAD,

；点0为aABC的外心，点I为AABC的内心,

，内心I和外心0都在直线AD上，

VAB=AC=13,BC=24,

ABD=CD=I2,

ΛAD=√AB2-BD2=5,

设AABC的内切圆半径为r,外接圆半径为R,则IO=Dl+OD,

连接0B,在Rr△()DB中，C)D=R-5,OB=R,DB=12,

由勾股定理得(R-5)2+122=R2,

/.R=16.9,

ΛOD=AO-AD=16.9-5=11.9,

VSΔABC=∣BC∙AD=∣(AB+BC÷AC)∙r,

._BCAD_24×5_12

，∙r≡AB+BC÷AC=13+24+13=^5"=2,4

Λr=DI=2.4,

ΛI0=DI+0D=2.4+11.9=14.3.

故答案为：14.3.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面

积的计算，正确作出辅助线是解题的关键.

三.解答题（共4小题）

9.（2018秋•武进区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，以A（3,0）为圆心，5为半

径作。A,与y轴的正半轴交于点B.

（1）点B的坐标为（0,4）；

（2）Z∖AOB的内切圆半径为1个单位长度;

（3）将。A在平面直角坐标系内平移，使其与X轴、y轴都相切，记平移后的圆的圆心

为Ai,则AAl为旧或屈个单位长度.

【分析】（1）连接AB,利用勾股定理计算出OB即可得到B点坐标;

（2）利用直角三角形内切圆的半径=巴方（。、h为直角边，。为斜边）进行计算即可；

（3）根据切线的性质可判定Ai的坐标为（5,5）或（-5,5）或（-5,-5）或⑸

-5）,然后利用两点间的距离公式计算AAi的长即可.

【解答】解：（1）连接AB,如图，

在RrΔOAB中，OB=√AB2-OA2=√52-32=4,

，B点坐标为（0,4）；

（2）AAOB的内切圆半径=丐口=1；

（3）；OAi与X轴、y轴都相切，

而OAi的半径为5,

ΛA∣的坐标为（5,5）或（-5,5）或（-5,-5）或（5,-5）,

若Al的坐标为（5,5）,则AAI=J（5_3尸+52=闻:

若Al的坐标为（-5,5）,则AAI=J（-5-3尸+5?=磁；

若Ai的坐标为（-5,-5）,则AAi=√（-5-3）2+52=√89;

若Al的坐标为（5,-5）,则AAl=J（5—3）2+52=旧；

综上所述，AAl为啰或惋个单位长度.

【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三

角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了切线的性质.

10.（2010秋•灌云县期末）AABC外切于。O,切点分别为点D、E、F,NA=60°,BC

=7,G）O的半径为百.求：

（1）求BF+CE的值；

（2）求AABC的周长.

【分析】（1）根据切线长定理得到BF=BD,CE=CD,代入求出即可；

（2）根据切线长定理得到AE=AF,求出∕OAE=30°,根据含30度得直角三角形和

勾股定理求出OA、AE,即可求出答案.

【解答】解：（1）;ZSABC外切于。O,切点分别为点D、E、F,

.∙.BF=BD,CE=CD,

BF+CE=BD+CD=BC=7,

答：BF+CE的值是7.

(2)连接OE、OF,OA,

；AABC外切于ΘO,切点分别为点D、E、F,

ΛZOEA=90o,ZOAE=∣ZBAC=30o,

ΛOA=2OE=2√3,

由勾股定理得：AE=AF=√0A2-OE2=J(2√3)2-(√3)2=3,

Λ∆ABC的周长是AB+BC+AC=AF+AE+CE+BF+BC=7+7+3+3=20,

答：^ABC的周长是20.

【点评】本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，切线长定理，三角形的内

切圆与内心等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键.

11.(2012秋•徐州期末)如图，在RfzλABC中，ZABC=90o,BC=5cm,AC-AB=Icm.

(1)求AB、AC的长；

(2)求AABC内切圆的半径.

【分析】(1)设AB=XCτn,则AC=(x÷l)cm,根据勾股定理得出方程(x+l)2-%2=

52,求出X即可；

(2)设内切圆的半径为y,根据三角形面积公式得出SΔΛBC=∣×5X12=

∣×5∕∙+∣×12r+∣×13r,求出即可.

【解答】解：(1)设AB=Xa则AC=(x+l)cm,

：在RfZXABC中，由勾股定理得：AC2-AB2=BC2,

(X+1)2-X2=52.

解得：x=12,

即AB=12tw,AC=13cm；

连接AO、BO,CO、OD.OE>OF,

1111

设内切圆的半径为y,根据题意，得SAABC=2x5X12=]x5r+zxl2r+zxl3r,

解得：r=2,

即所求内切圆的半径为2cw.

【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的内切圆和内心，勾股定理的应用，用了方

程思想.

12.(2010秋•海陵区期末)如图，I是AABC的内心，NBAC的平分线与AABC的外接圆

相交于点D,与BC相交于点E.

(1)写出图中与ACAE相似的所有三角形；

(2)求证:DI=DB;

(3)求证：DI2=DE∙DA.

D

【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等，得NC=ND,ZCAE-ZDBE,再由角平分

线定义，贝IJz^DBEs∕∖ABC,∆DAB^∆ABC;

(2)连接BI,CLCD,求证aBCD为等腰三角形，再利用Bl为NABe平分线，求证

△DBI为等腰三角形，利用等量代换即可证明；

(3)i!E∆DBE^∆DAB,得DB?=DE・DA,再由(2)得DF=DE∙DA.

【解答】(1)解：与ACAE相似的所有三角形：ADBE,∆DAB;

VZC=ZD,ZCAE=ZDBE,

Λ∆DBE^ΔCAE;

VZC=ZD,AD是/BAC的平分线，

ΛZBAD=ZEAC,

Λ∆DAB^∆CAE;

(2)证明：连接BI,CI,CD,

TI为内心，

JAI为/BAC角平分线，

Bl为/ABC平分线，

ΛZABI=ZCBI,ZBAD=ZDAC,

YNBID=NABHNBAL

NCBD=ZDAC=ZBAl,

ΛZBID=ZCBI+ZCBD=ZDBI,

为等腰三角形，

/.DB=DI；

(3)证明：VZDBE=ZCAD,NBAE=NCAE,

.'.ZBAE=ZEBD,

ΛΔDBE^ΔDAB,

•_DBDE

••—,

DADB

ΛDB2=DE∙DA,

又；DB=Dl(已证)，

【点评】本题考查了三角形的相似和性质以及三角形的内切圆与内心，证明此题的关键

是连接BLCI,CD,求证aBCD为等腰三角形，再利用BI为NABC平分线，求证△

DBI为等腰三角形.

Q

一.选择题（共4小题）

1.（2022秋•鼓楼区期中）如图，在一张RfZ∖ABC纸片中，ZACB=90o,BC=3,AC=4,

。。是它的内切圆.小明用剪刀沿着。O的切线DE剪下一块三角形ADE,则aADE的

周长为()

A.4B.5C.6D.8

【分析】设AABC的内切圆切三边于点F,H,G,连接OF,OH,0G,得四边形OHCG

是正方形，由切线长定理可知：AF=AG,根据DE是。。的切线，可得MD=MF,EM

=EG,根据勾股定理可得AB=5,再求出内切圆的半径=；(AC+BC-AB)=1,进而

可得aADE的周长.

【解答】解：如图，设aABC的内切圆切三边丁点F,H,G,连接OF,OH,0G,

四边形OHCG是正方形，

由切线长定理可知：AF=AG,

：DE是(DC)的切线，

MD=MF,EM=EG,

VZACB=90o,BC=3,AC=4,

.∙.AB=√4C2+"2=5,

•.•(DO是AABC的内切圆，

二内切圆的半径=W(AC+BC-AB)=1,

.∙.CG=1,

.∙.AG=AC-CG=4-1=3,

∆ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=2AG=6.

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键

是掌握切线的性质.

2.(2022秋•海陵区校级期中)如图，Z∖ABC中，ZC=90o,AC=4,BC=3,I为aABC

的内心，ID〃AC,IE〃BC,则AIDE的周长为()

C

【分析】先解直角三角形得到AB=5,连接IA、IB,如图，利用三角形的内心的性质得

到∕1=N2,再证明/2=/3得到DA=DI,同理可得EI=EB,所以aIDE的周长=AB

=5.

【解答】解：VZC=90o，AC=4,BC=3,

ΛAB=√32+42=5,

连接IA、IB,如图，

即Nl=∕2,

VID/7AC,

.∙.N1=∕3,

ΛZ2=Z3,

ΛDA=DI,

同理可得EI=EB,

，ZUDE的周长=ID+DE+IE=DA+DE+EB=AB=5.

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切

圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.三角

形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.

3.（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，已知AB是Θ0的直径，CD,CB是。O的切线，D,

B为切点，OC交。。于点E,AE的延长线交BC于点F,连接AD,BD,给出以下四个

结论：①AD〃0C；②E为aCDB的内心：③FC=FE.其中正确的结论是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【分析】①利用切线长定理和等腰三角形三线合一证明即可；

②由垂径定理得/&=丽，再由切线性质推角相等，进一步证明DE平分NCDB,BE平

分NCBD,最后证点E为ACDB的内心；

③利用①的结论AD〃OC推/NDA=/NCM,再根据切线性质推角相等，等量代换后

推NMCB=NDBA,由询不一定等于历⅛,推角也不一定相等.

【解答】解：①；AB为。。的直径，

ΛZADB=90°,

：CD、CB为。。的切线，

ΛCD=CB,Co平分/DCB,

.,.CO±BD,

ΛZOHB=90°,

ΛZOHB=ZADB,

...AD〃OC,故①正确；

②连接DE、BE,

VCD为。O的切线,

.∙.ZCDE=ZDAE,

VCO±BD,

：.DE=BE,

ΛZDAF=ZEDB,

NCDE=NEDB,

ΛDE平分/CDB,

同理可证BE平分∕CBD,

：CO平分NDCB,

/.点E为ACDB的内心，故②正确；

③；AD〃OC,

.,.ZNDA=ZNCM.

；CO平分NDCB,

.∙.ZDCM=ZMCB,

VCD为。O的切线，

.∙.ZNDA=ZDBA,

NMCB=/DBA,

VZCEF=ZAEM,

而不一定等于回，

ΛZCFE,/AGB不一定相等

,FC、EF也不一定相等，故③不正确，

正确的结论是①②.

故选：A.

【点评】本题考查了切线长定理、圆周角的性质定理、外角性质，掌握这些性质定理的

综合应用，辅助线的作法是解题关键.

4.（2022•祁江区校级开学）如图，点I和O分别是AABC的内心和外心，若NAlB=I25°,

则NAOB的度数为（）

【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用NC表示出“AIB和NAoB,即

可得到两个角的关系.

【解答】解：：点O是AABC的外心，

ΛZA0B=2ZC,

1

.∙.NC=*NAOB,

・・・点I是AABC的内心,

ΛZlAB=∣ZCAB,ZIBA=∣ZCBA,

...NA出=180°-(ZIAB+Z1BA)

=180。-∣（NCAB+NCBA）,

=180。-ɪ（180o-ZO

=90°+∣ZC,

Λ2ZAIB=180o+ZC,

VZA0B=2ZC,

1

o

ΛZAIB=90+44ZA0B,

Λ4ZAIB-NAOB=360°.

VZAIB=125o,

ΛZAOB=140o.

故选：D.

【点评】本题考查了三角形的内接圆与内心，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键

是正确利用/C表示NAlB的度数.

二.填空题（共4小题）

5.（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，。。是等边AABC的内切圆，切点分别为D、E、F,

若等边AABC的边长为8,则阴影部分的面积是16K-能.

【分析】连接OE、OB、OC,根据等边三角形的性质得NABC=∕ACB=60°,BC=8,

再利用切线的性质和内心性质得到OE_LBC,BO平分NABC,OC平分NACB,从而得

到NOBE=∕OCE=30°,再计算OE,然后根据扇形的面积公式，利用SgJ影部分=SAABC

-SΘO=3SΔOBC-Soo进行计算即可.

【解答】解：如图，连接OE、OB、OC,

V∆ABC为等边三角形，

ΛZABC=ZACB=60o,BC=8,

；OO是等边AABC的内切圆，

ΛOE±BC,BC)平分NABC,C)C平分/ACB,

NOBE=/OCE=30°,

VOB=OC,OElBC,

二BE=CE=BBC=4,

在RfZXOBE中，OE=孚BE=竽，

β

∙∙S阴影部分=Sz2iABC-SoO

=3SΔOBC-S0O

14∖∕34√3ɔ

=3×4×8×ɪɔ——π×(-----)J

233

=16√5-竽n.

故答案为：16∙∖∕5-竽n.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，切线的性质，解决本

题的关键是掌握内心定义.

6.(2022秋•云龙区校级月考)如图，圆O是AABC的内切圆，若∕ABC=60°,ZACB

=50°，则NBoC=125°.

【分析】根据三角形的内心的概念得到NC)BC=&ABC=30°,ZOCB=∣ZACB=

25°,根据三角形内角和定理计算即可.

【解答】解：是aABC的内切圆，

ΛZOBC=∣ZABC=ɪ×60o=30o,ZOCB=∣ZACB=ɪ×50o=25o,

ΛZBOC=180o-ZOBC-ZOCB=125o,

故答案为：125.

【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形的内心

是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键.

7.（2020秋•亭湖区校级月考）如图，已知圆。为RfZ∖ABC的内切圆，切点分别为D、E、

F,且NC=90°,AB=13,BC=12,则圆O的半径为2.

【分析】设BF=BD=x,利用切线长定理，构建方程先求出证明四边形OECF是矩形,

推出OE=CF即可解决问题.

【解答】解：在Rr∆ABC中，

VZC=90o,AB=13,BC=12,

ΛAC=-JAB2-BC2=5,

；。。为RfAABC的内切圆，切点分别为D,E,F,

BD=BF,AD=AE,CF=CE,

如图，连接OE,OF,

，NOEC=/C=∕OFC=90°,

，四边形OECF是正方形，

设OE=OF=CE=CF=x,则AD=AE=5-X,BF=BD=I2-x,

VAD+BD=13,

Λ5-x+12-x=13,

∙'x=2,

则圆O的半径为2.

故答案为：2.

【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键

是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

8.（2021秋•高新区校级月考）如图，在aABC中，I是aABC的内心，O是AB边上一点，

744

G）O经过点B且与Al相切于点I,若S"/BAC=苛，则si"∕ACB的值为F.

【分析】连接01,BI,作OEJ_AC,可证AAOD是等腰三角形，然后证明OD〃BC,进

而NADO=NACB,解三角形AoD即可.

【解答】解：如图，

连接OI并延长交AC于D,连接BI,

VOI与。0相切，

ΛAll0D,

ΛZAIO=ZAID=90o,

VI是AABC的内心，

ΛZOAI=ZDAL/ABI=/CBI,

VAI=AL

Λ∆AOI^∆ADI(ASA),

ΛAO=AD,

VOB=OI,

ΛZOBI=ZOIB,

ΛZOIB=ZCBI,

ΛOD√BC,

ΛZADO=ZC,

作OE_LAC于E,

OE24

Y必〃NBAC=浣=竽

.∙.不妨设OE=24&,AE=lk,

.∙.OA=AD=25k,

ΛDE=AD-AE=18%,

ΛOD=y∕OE2+DE2=30⅛,

.∙/AZ_OE_24k_4

,∙S"i∕ACB-oo-30fc-s>

4

故答案是：--

【点评】本题考查课圆的切线性质，内心性质，全等三角形判定和性质，解斜三角形等

知识，解决问题的关键是有机地组合条件，发现特殊性.

≡.解答题（共4小题）

9.（2022•鼓楼区二模）如图，AABC内接于。0,/BAC的平分线AF交。O于点G,过

G作DE〃BC分别交AB,AC的延长线于点D,E.

（1）求证：DE是。O的切线：

_BF3

（2）已知AG=8,—=-，点I为AABC的内心，求Gl的长.

DG4

【分析】（1）连接OG,根据角平分线的定义得到NBAG=∕CAG,根据垂径定理得到

OGlBC,根据平行线的性质得到OG_LEF,根据切线的判定定理得到结论；

（2）连接BI,BG,根据角平分线定义得到NBAl=NCAI,ZABI≈ZCBI,推出/BIG

=ZGBL得到BG=IG,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接OG,

,.∙ZBAC的平分线AF交。O于点G,

ΛZBAG=ZCAG,

：.BG=CG,

ΛOG±BC,

VDE√BC

ΛOG±EF,

；OG是OO的半径,

ΛDE为。O的切线;

(2)解：连接BLBG,

••点I为AABC的内心，

:BI平分NABC,AG平分NBAC,

•・NBAI=NCAI,ZABI=ZCBI,

・•NBIG=NBAl+NABI,ZGBI=ZGBC+ZCBI,ZGBC=ZGAC,

∖ZBAI=ZCBG,

*.ZBIG=ZGBI,

∙.BG=IG,

.,BC√DE,

,.∆ABF^∆ADG,

tAFBF3

9AG~DG~4

.∙AG=8,

∙.AF=6,

β.FG=2,

・・NBGF=NAGB,NGBF=NBAG,

β.∆BGF^∆AGB,

.BGAG

FG~BG

BG8

2BG

*.BG=4(负值舍去),

∙.GI的长为4.

【点评】本题考查了切线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟

练掌握.

10.(2022秋•泰州月考)如图,O是AABC的外心，I是4ABC的内心，连接Al并延长交

BC和。。于D,E.

(1)求证：EB=EI;

(2)若AB=8,AC=6,BE=4,求Al的长.

E

【分析】（1）根据1是AABC的内心，于是得到AE平分NCAB,Bl平分NABc根据

角平分线的定义得到NBAE=NCAE,ZABI=ZCBI,根据等腰三角形的性质可得到结

论；

（2）连接EC根据已知条件得到BE=EC=4,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】（1）证明：Tl是AABC的内心，

・・・AE平分/CAB,BIWZABC,

ΛZBAE=ZCAE,ZABI=ZCBI,

•.・ZBIE=ZBAE+ZABI,ZIBE=NIBD+NEBD,

•：ZCBE=ZCAE,

・・・NBIE=NEBI,

：・EB=EI;

（2）解：连接EC.

VZBAE=ZCAE,

：.BE=EC,

ΛBE=EC=4,

YNADB=NCDE,ZBAD=ZDCE,

Λ∆ADB<^∆CDE,

BDADAB8

/.—=—=—=—=2,设DE="?,CD="r,ι则lBD=2m，AD=2〃,

DEDCEC4

同法可证：Z∖ADCs∕∖BDE,

.ADAC

•.=,

BDBE

.2n6

•∙-—,

2m4

•∙/7：〃7=3：2,设"=3k,m=2k,

VZCED=ZAEC,