高考数学导数复习

第三章一元函数的导数及其应用

§3.1导数的概念及其意义、导数的运算

【考试要求】1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用

导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如貝ax+b))的导数.

■落实主干知识

佚口识梳理】

1.导数的概念

⑴函数y=/(x)在x=xo处的导数记作f(xo)或y]_跖.

f(X。尸妈好回假管细

(2)函数y=/(R)的导函数

貝x+Ax)~/(x)

Ax

2.导数的几何意义

函数y=/U)在x=xo处的导数的几何意义就是曲线y=/(x)在点p(xo,/(Xo))处的切线的斜峯，相应的切线方

程为y—/Lm)=G(M))(X—XO).

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数基本初等函数导函数

x

J(x)=c(c为常数)fW=QJ(x)=a(a>Of且aWl)f(x)=a^n_a

y(x)=xa(aeQ,且aWO)/(x)=ax°~lfix)=ef(x)=h

y(x)=sinxf(x)=cosjfJ(x)=logaX(a>0,且aW1)f(x).

xlna

/(x)=cosxf(x)=—sin_x/(x)=lnxfw=-

X

4.导数的运算法则

若/(x),g'(x)存在，则有

口＞)土g(x)]'=£_厶曲丄3；

[/(x)g(x)]'=/'(x)g(x)+"x)g'(x)；特别的=£3；

圈,厶笔絹白%(但)；

时)]2

1

5.复合函数的定义及其导数

复合函数y=/(g(x))的导数和函数y=/(w),〃=g(x)的导数间的关系为y'x—yL,.-u't,即y对x的导数等于

F对〃的导数与"对x的导数的乘积.

【常用结论】

1.区分在点处的切线与过点处的切线

(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.

(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(l)f(xo)是函数yfx)在x=xo附近的平均变化率.()

(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()

(3K(xo)=[/(xo)l，.()

(4)若y(x)=sin(―x),则/(x)=cos(—x).()

【教材改编题】

I.函数/)=e、+l在x=l处的切线方程为.

2.已知函数/(x)=jdnx+ax2+2,若，(e)=0,则a=.

3.若/(x)=ln(l—x)+eL,则/(x)=.

■探究核心题型

题型一导数的运算

例1(1)(多选)(2022・济南质检)下列求导运算正确的是()

A.Gnx)z=——vB.(x2e')；=2x+e<

xln2x

c以及制一sEu)D[T=i+士

2

(2)函数人》)的导函数为，(x),若人%)=/+/日sinx,则尤)=.

【教师备选】

1.函数y=sin2x—cos2x的导数y'等于()

A.B.cos2x+sinx

D.23cos卜+力

C.cos2x-sin2x

2.(2022•济南模拟)已知函数，(X)=e^sinx+ercosx,则｛2021)一/(0)等于()

A.e202lcos2021B.e202lsin2021

c.-D.e

2

思维升华(l)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

跟踪训练1⑴若函数/(X),g(x)满足］力+咫(力=/-1,且则，(l)+g'⑴等于()

A.1B.2C.3D.4

(2)已知函数/(x)=ln(2x—3)+〃林一匕若/(2)=1,则。=.

3

题型二导数的几何意义

命题点1求切线方程

例2(1)(2021•全国甲卷)曲线了2=幺r-亠1在点(一1,一3)处的切线方程为

x+2

(2)已知函数外)=xlnx,若直线/过点(0,-1),并且与曲线y=/(x)相切，则直线/的方程为

命题点2求参数的值(范围)

例3(1)(2022•青岛模拟)直线夕=履+1与曲线./(x)=Hnx+6相切于点尸(1,2),则2a+b等于()

A.4B.3C.2D.1

⑵Q022・广州模拟)过定点P(l,e)作曲线y=ae3>0)的切线，恰有2条，则实数。的取值范围是

【教师备选】

1.已知曲线/(x)=x3—x+3在点尸处的切线与直线x+2y—1=0垂直，则P点的坐标为()

A.(1,3)B.(-1,3)

C.(1,3)或(一1,3)D.(1,-3)

4

2.(2022•哈尔滨模拟)已知例是曲线y=lnx+$2+(1一如上的任一点，若曲线在A/点处的切线的倾斜角

均是不小于工的锐角，则实数。的取值范围是()

4

A.[2,+8)B.[4,+8)

C.(一8,2]D.(-8,4]

思维升华(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程:

①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

(2)注意区分“在点尸处的切线”与“过点尸处的切线”.

跟踪训练2(1)(2022・南平模拟)若直线y=x+M与曲线夕=铲一2”相切，则()

A.机+"为定值为定值

2

C.m+丄〃为定值D.机+丄〃为定值

23

(2)若函数Xx)=lnx+2%2-ax的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是

题型三两曲线的公切线

例4(1)(2022・邯郸模拟)己知函数火x)=xlnx,g(x)=x2+ar(aeR),直线/与貝x)的图象相切于点/(1,0),

若直线/与g(x)的图象也相切，则。等于()

A.0B.-1C.3D.-1或3

(2)(2022•韶关模拟)若曲线Ci：了二加伍〉。)与曲线C2：y=e〈存在公共切线，则a的取值范围为

5

延伸探究在本例(2)中，把“存在公共切线"改为'’存在两条公共切线”，则a的取值范围为

【教师备选】

1.若Xx)=lnx与虱幻=r+如两个函数的图象有一条与直线y=x平行的公共切线，则。等于()

A.1B.2C.3D.3或一1

2.已知曲线夕=心.在点(xi，e*)处的切线与曲线y=lnx在点(X2,lnx2)处的切线相同，则(xi+1)(x2—1)等

于()

A.-1B.-2C.1D.2

思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关

切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.

跟踪训练3(1)(2022•青岛模拟)已知定义在区间(0,+8)上的函数/(x)=-2/+加，g(x)=-31nx—x,若

以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则用的值为()

A.2B.5C.1D.0

(2)已知道x)=e，(e为自然对数的底数)，g(x)=lnx+2,直线/是寅x)与g(x)的公切线，则直线/的方程为

6

课时精练

。基础保分练

1.（2022・营口模拟）下列函数的求导正确的是（）

A.（x-2）r=-2xB.（xcosx）r=cosx-xsinx

C.（In10）'=*D.（»<）'=2^

2.（2022•黑龙江哈师大附中月考）曲线y=2cosx+sinx在（兀，-2）处的切线方程为（）

A.x—y+兀-2=0B.x—y—兀+2=0

C.x+y+兀—2=0D.x+y-兀+2=0

3.(2022•长治模拟)已知y=/(x)是可导函数，如图，直线y=fcv+2是曲线y=/(x)在％=3处的切线，令g(x)

=於),g'(X)是g(x)的导函数，则g'(3)等于()

A.-1B.0C.2D.4

4.已知点1是函数负x)=N—lnx+2图象上的点，点8是直线y=x上的点，则|/用的最小值为()

A./B.2

C逮

D

3T

5.设曲线｛x)=ae'+b和曲线g(x)=cos号+c在它们的公共点加(0,2)处有相同的切线，则h+c-a的值为

()

A.0B.nC.-2D.3

6.(2022•邢台模拟)设点尸是函数;(x)=2er-f(0)x+/(1)图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为a,

则角a的取值范围是()

Ab7]B[。目ET

向3叫In13冗]

ch7JD.[0>2MTJ

7

7.(多选)已知函数/(x)的图象如图，/(x)是/(x)的导函数，则下列结论正确的是(

A.f(3)岁(2)

B.f(3)<f(2)

C.貝3)一人2)岁1(3)

D.貝3)一｛2)勺■'(2)

8.(多选)(2022•重庆沙坪坝区模拟)若函数外)在。上可导，即，(x)存在，且导函数/(x)在。上也可导,

则称兀0在。上存在二阶导函数，记，’(x)=『(X)]'.若/'(x)v0在。上恒成立，则称貝x)在。上为凸函

数.以下四个函数在O'%]上是凸函数的是()

A.j[x)=-x3+3x+4

B.f(x)=\nx+2x

C.,/(x)=sinx+cosx

D.危)=北

9.(2022,马鞍山模拟)若曲线y(x)=xcosx在工=兀处的切线与直线or—y+l=0平行，则实数〃=.

10.已知函数/(工)=-----l-eYcosx,若，(0)=—1,则。=________.

ax~1

11.(2022•宁波镇海中学质检)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计

算，用正〃边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率兀的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科

学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附

近的曲线来近似计算.设“r)=e?,则/(x)=，其在点(0,1)处的切线方程为.

12.已知函数/(x)=x3—ax2+t"+\L(〃eR),若曲线y=/(x)存在两条垂直于y轴的切线，则。的取值范围

为.

8

应技能提升练

13.拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平

均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若貝x）在口，6］上满足以下条件：①在［。，切

上图象连续，②在（a,6）内导数存在，则在（a,b）内至少存在一点c,使得/（〃）=/'匕）（6—々）/（x）为

/（x）的导函数）.则函数,/（%）=心厂1在［0,1］上这样的。点的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

14.（2021・新高考全国I）若过点（a,b）可以作曲线歹=e^的两条切线，则（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ehD.0<b<ea

q拓展冲刺练

15.若曲线y=；sin2x+?cos2%在力（xi，y\）,8（x2,歹2）两点处的切线互相垂直，则忻一词的最小值为（）

A兀D兀C2兀T-^

A-B-C.—D.兀

323

9

16.（2022・南昌模拟）已知曲线G：C2：若恰好存在两条直线厶，厶与G，。2都相切，则

实数m的取值范围是.

10

§3.2导数与函数的单调性

【考试要求】1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系2能利用导数研究函数的单调性,

会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

■落实主干知识

佚口识梳理】

1.函数的单调性与导数的关系

条件恒有结论

f(x)>0段)在区间(a,6)上单调递增

函数y=/(x)在区

f(x)<0/(x)在区间(a,b)上单调递减

间(a,b)上可导

f(x)=0火X)在区间他，6上是常数函数

2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域:

第2步，求出导数，(第的零点:

第3步，用/(x)的零点将貝x)的定义域划分为若干个区间，列表给岀，(x)在各区间上的正负，由此得出

函数y=/(x)在定义域内的单调性.

【常用结论】

1.若函数人x)在(“，6)上单调递增，则xC(“，b)H寸，/(x)20恒成立；若函数人x)在(“，与上单调递减，

则xG(a,6)时，，(x)WO恒成立.

2.若函数貝x)在(a,6)上存在单调递增区间，则xC(a,6)时，，(x)X)有解；若函数危)在36)上存在单调递

减区间，则xG(a,b)时，/(x)<0有解.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)如果函数段)在某个区间内恒有/(x)=0,则次x)在此区间内没有单调性.()

(2)在(a,6)内/(x)WOJL/(x)=0的根有有限个,则於)在(a,b)内单调递减.()

(3)若函数Hx)在定义域上都有/(x)>0,则/(X)在定义域上一定单调递增.()

(4)函数负x)=x-sinx在R上是增函数.()

【教材改编题】

1.f(x)是人外的导函数，若，(x)的图象如图所示，则及)的图象可能是()

11

2.函数J(x)=(x—2険的单调递增区间为

3.若函数/)=53—|/+依+4的单调递减区间为则实数a的值为.

・探究核心题型

题型一不含参数的函数的单调性

例1(1)函数/(x)=x2-21nx的单调递减区间是()

A.(0,1)B.(1,+8)

C.(一8,|)D.(-1,1)

(2)若函数次外=地上也，则函数於)的单调递减区间为

e1

【教师备选】

(2022・山师附中质检)若募函数外)的图象过点停'9,则函数g(x)，区的单调递增区间为()

ev

A.(0,2)B.(一8,0)U(2,+8)

C.(-2,0)D.(-8,-2)U(0,+00)

思维升华确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数

的定义域,二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.

12

跟踪训练1(1)已知定义在区间(0,兀)上的函数./(x)=x+2cosx,则人外的单调递增区间为

(2)函数负x)=(x—1)H—x2的单调递增区间为,单调递减区间为

题型二含参数的函数的单调性

例2已知函数y(x)=；ax2—(a+l)x+lnx,。＞0,试讨论函数y=/(x)的单调性.

延伸探究若将本例中参数。的范围改为aGR,其他条件不变，试讨论/(X)的单调性？

13

【教师备选】

讨论下列函数的单调性.

(l)/(x)=x—alnx；

(2)g(x)=(x—a—l)er—(A：—a)2.

思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.

14

跟踪训练2已知函数貝x)=x—Z+a(2—Inx),。>0.讨论於)的单调性.

x

题型三函数单调性的应用

命题点1比较大小或解不等式

例3⑴已知函数貝x)=xsinx,xdR,则/⑴，/(T的大小关系为(

A./HL)/B.[-O]

C.

(2)己知函数人工)=廿一er-2x+l,则不等式貝合-3)>1的解集为

命题点2根据函数的单调性求参数的范围

,[12一

例4已知函数寅x)=y+2办一Inx,若贝x)在区间日’」上单调递增，则实数的取值范围为

15

1J1J

12-2.

延伸探究在本例中，把“/(X)在区间3'上单调递增”改为“/(X)在区间3'上存在单调递增区间

求a的取值范围.

【教师备选】

_7t吧

(-5'引上单调递增，则实数”的取值范围是()

A.(1,+8)B.[2,+8)

C.[1,+8)D.(一/，+8)

2.(2022•株州模拟)若函数人》)=以3+尤恰有3个单调区间，则°的取值范围为

思维升华根据函数单调性求参数的一般思路

(1)利用集合间的包含关系处理：V=/(x)在(a,b)上单调，则区间(a,6)是相应单调区间的子集.

(2求制为增(减)函数的充要条件是对任意的xcg,%)都有/a)2o(/‘a)wo),且在(a,6)内的任一非空子

区间上，/(x)不慎为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

跟踪训练3(1)已知定义域为R的连续函数火x)的导函数为/(x),且满足/，⑴＜0,当机＜0时，下列关

系中一定成立的是()

A.貝1)十穴3)=〃(2)B.負0)沢3)=0

C.火4)+人3)＜贺2)D,貝2)+次4)＞道3)

16

（2）（2022•安徽省泗县第一中学质检）函数负丫）=皿在3，°+1）上单调递增，则实数。的取值范围为

X

课时精练

”础保分练

1.函数/(x)=xlnx+l的单调递减区间是()

r-co,na,+T

A.lejB.leJ

"丄

C.lejD.(e,+8)

2.己知函数/（力三对廿一e'）,则兀v）（）

A.是奇函数,且在（0,+8）上单调递减

B.是奇函数,且在（0,+8）上单调递增

C.是偶函数，且在（0,+8）上单调递减

D.是偶函数，且在（0,+8）上单调递增

3.（2022・长沙调研）已知函数（x）的图象如图所示（其中/（x）是函数外）的导函数）.下面四个图象中

y=/（x）的图象大致是（）

4.（2022・深圳质检）若函数貝x）=-x2+4x+4nx在区间（0,+8）上是减函数，则实数6的取值范围是（）

A.[―1,+°°）B.（—8,—1]

C.（一8,-2]D.[-2,+8）

17

5.(多选)如果函数段)对定义域内的任意两实数X2grX2)都有皿匕切典0,则称函数尸危)为“F

X]~X2

函数”.下列函数不是“尸函数”的是()

A.貝x)=dB.貝

C.J(x)=\nxD./(x)=sinx

6.(多选)(2022•河北衡水中学月考)下列不等式成立的是()

A.21n^<-ln2B.®n&4n価

22

C.51n4<41n5D.7u>elnn

7.(2022•长沙月考)已知函数貝x)=$3+机N+〃x+i的单调递减区间是(一3,1),则，〃+〃的值为

8.(2021•新高考全国H)写出一个同时具有下列性质①②③的函数外)：.

®/(XlX2)=/(X|)/(X2)；

②当xd(o,+8)时，f(x)>0；

③(x)是奇函数.

9.己知函数2alnx+(a—2)x.

(1)当。=-1时，求函数;(x)的单调区间；

18

(2)若函数g(x)=/(x)—ax在(0,+8)上单调递增，求实数。的取值范围.

10.已知函数貝x)=1+"+a,aGR.

⑴若负x)在x=l处的切线与直线y=x-l垂直，求a的值;

(2)讨论人m的单调性.

立技能提升练

11.若函数Mx)=lnx—2x在［1,4］上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为()

-7丄］

----,+00I

A.L16JB.(-1,+8)

J,+T

C.［-1,+°°)D.I16J

19

12.（2022•南京师范大学附属中学月考）设函数y（x）=cosx+lx2,若a=/（lc）g[2）,Z?=/（log52）,c=/©2）,

25

则a,b,c的大小关系为（）

A.b<a<cB.c<a<h

C.b<c<aD.a<b<c

13.函数y（x）=2sinx—cos2x,%e[—71,0]的单调递增区间为

14.(2022・丽水模拟)设函数｛x)=ln(x+4)+x2.若4)为定义域上的单调函数，则实数。的取值范围为

ET拓展冲刺练

15.(2022•景德镇模拟)设函数义x)=sinx+e<-e-'—x,则满足.4x)+/(5—3x)<0的x的取值范围为()

—°°,

J'+TB.I9

—°°,

cE+TDJ9

20

16.(2022•合肥质检)已知函数道x)=^.

X

⑴若加＞0,求―)的单调区间；

(2)若对\/巾，为右口,3],xi¥的都有曲匕皿2恒成立，求实数。的取值范围.

X\~X2

21

§3.3导数与函数的极值、最值

【考试要求】1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件2会用导数求函数的极大值、极

小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.函数的极值

(1)函数的极小值

函数y=/(x)在点x=a的函数值(”)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，/(。)=0；而且在点x=a附

近的左侧，(x)<0,右侧f於)>0,则。叫做函数夕=/)的极小值点，/⑷叫做函数y=«r)的极小值.

(2)函数的极大值

函数了=危)在点x=6的函数值/(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f(6)=0；而且在点x=6附

近的左侧/(幻>0,右侧,行)<0,则6叫做函数y=/(x)的极大值点，貝b)叫做函数y=/(x)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

2.函数的最大(小)值

⑴函数段)在区间［a,们上有最值的条件：

如果在区间口，6］上函数》=於)的图象是一条连续丕断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y=/(x)在区间口，々上的最大(小)值的步骤：

①求函数y=/(x)在区间(a,Q上的极值;

②将函数丫=①)的各极值与端点处的函数值〃")，比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小

值.

【常用结论】

对于可导函数/(x),V(xo)=0"是"函数/(x)在x=xo处有极值”的必要不充分条件.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)函数沢x)在区间(a,6)上不存在最值.()

(2)函数的极小值一定是函数的最小值.()

(3)函数的极小值一定不是函数的最大值.()

(4)函数(x)的零点是函数y=«0的极值点.()

【教材改编题】

1.如图是貝X)的导函数/(X)的图象，则人X)的极小值点的个数为()

22

2.函数/(x)=V-"2+2x—1有极值，则实数。的取值范围是()

A.(—8,—+0°)

B.(—8,—#)U(#,+8)

C.(一巫,北)

D.［一朮,峋

3.若函数人x)=$3—4x+机在［0,3］上的最大值为4,则加=,

■探究核心题型

题型一利用导数求函数的极值问题

命题点1根据函数图象判断极值

例I(2022•广州模拟)设函数人x)在R上可导，其导函数为/(x),且函数y=(x-l/(x)的图象如图所示,

则下列结论中正确的是()

A.函数貝x)有极大值人—3)和犬3)

B.函数/(x)有极小值/(—3)和貝3)

C.函数人x)有极小值貝3)和极大值大一3)

D.函数人x)有极小值4-3)和极大值貝3)

命题点2求已知函数的极值

例2已知函数/(x)=x—1+彳QeR,e为自然对数的底数).

(1)若曲线y=/(x)在点(1,犬1))处的切线平行于x轴，求。的值;

(2)求函数负x)的极值.

23

命题点3已知极值（点）求参数

例3（1）（2022・大庆模拟）函数兀0=43+收+6工+42在工=1处取得极值10,则a+b等于（）

A.-7B.0

C.-7或0D.—15或6

（2）（2022•南京模拟）己知函数犬x）=Mlnx-ox）在区间（0,十8）上有两个极值，则实数。的取值范围为（)

A.(0,e)B.I1。3

亚3DJ(。3

【教师备选】

1.（2022・榆林模拟）设函数/（x）=xcosx的一个极值点为则tanJ等于（）

、m—\门加+1

A.-------B.-------

m+1m—\

C口D."

m+1\-m

2.已知4,bWR,若X=Q不是函数/（x）=（x—4）2（x—6），（已门一1）的极小值点,则下列选项符合的是（）

A.TWb〈aB.b〈aWT

C.这bD.a<b^：1

24

思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领

(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解：

(2)验证：求解后验证根的合理性.

跟踪训练1(1)(2022•长沙模拟)若x=l是函数貝》)=停+"-l)e「i的极值点，则貝x)的极大值为()

B.一2-3

C.

(2)(2022・芜湖模拟)函数/(x)=lnx+$2一以。＞0)在5'3:上有且仅有一个极值点，则实数。的取值范围是

AEf)

3_

题型二利用导数求函数最值

例4已知函数g(x)=alnx+x2—(a+2)x(aeR).

(1)若a=l,求g(x)在区间［1,e］上的最大值;

(2)求風x)在区间口，e］上的最小值h(a).

25

【教师备选】

已知函数/(x)=lnx—ax—2(aW0).

(1)讨论函数｛x)的单调性；

(2)若函数人x)有最大值"，且">〃一4,求实数。的取值范围.

思维升华(1)求函数/(x)在闭区间［。，切上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值/(4，

人6)与./)的各极值进行比较得到函数的最值.

(2)若所给的闭区间口，切含参数，则需对函数./(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而

得到函數大x)的最值.

26

跟踪训练2某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池的底面半径为厂米，高为/7

米，体积为修立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本

为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000兀元（兀为圆周率）.

（1）将夕表示成，•的函数以，•），并求该函数的定义域；

（2）讨论函数■&）的单调性，并确定r和力为何值时该蓄水池的体积最大.

课时精练

ET基础保分练

1.若函数/（x）=L二上的极大值点与极小值点分别为。，4则。+6等于（

A.-4BS

2.如图是函数y=/（x）的导函数的图象，下列结论中正确的是（

A./（x）在［-2,—1］上单调递增

B.当x=3时，_Ax）取得最小值

C.当x=-l时，.危）取得极大值12\\I3//45x

D.貝x）在［—1,2］上单调递增，在［2,4］上单调递减

27

3.已知函数貝x）=21nx+or2—3工在x=2处取得极小值，则.危）的极大值为（）

A.2B.--

2

C.3+ln2D.-2+21n2

4.（2022•重庆联考）函数/）=x+2cosx在［0,网上的最大值为（）

A.兀一2B.-

6

C.2D.匹+毡

6

5.（多选）已知x=l和x=3是函数人*）="3+6/—3x+4（a,bWR）的两个极值点，且函数有且仅有两

个不同零点，则％值为（）

44

A.--B.-

33

C.11D.0

6.（多选）已知函数y（x）=x+sinx—xcosx的定义域为［―2兀，2兀），则（）

A./（X）为奇函数

B./（X）在［0,无）上单调递增

C./（x）恰有4个极大值点

D.貝x）有且仅有4个极值点

28

7.(2022•潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数道x)=.

8.(2021・新高考全国I涵数/(x)=|2x—1|-21nx的最小值为

9.已知函数貝x)=lnx---------.

x+1

(1)求函数/(x)的单调区间；

4-4-a

(2)设g(x)=/(x)-------+2(«eR),若X1，X2是函数g(x)的两个极值点，求实数4的取值范围.

x+1

29

10.(2022•珠海模拟)已知函数y(x)=lnx—ax,xG(0,e］,其中e为自然对数的底数.

(1)若x=l为貝x)的极值点，求/(x)的单调区间和最大值；

(2)是否存在实数a,使得外)的最大值是一3?若存在，求出”的值；若不存在，说明理由.

q技能提升练

11.若函数«c)=(x2-a)e■，的两个极值点之积为一3,则左)的极大值为()

4

C.-2eD.三

12.函数兀0="3—6«r+6在区间［-1,2］上的最大值为3,最小值为一29(a>0),则a,b的值为()

A.4=2,b——29B.a=3,b=2

C.。=2,b=3D.以上都不对

30

13.（2021•全国乙卷）设QWO,若x=。为函数,危）=〃（上一。）2（工一6）的极大值点，则（）

A.a<bB.a>b

C.ab<a2D.ah>a1

14.（2022•河南多校联考）已知函数<x）=21nx,g（x）=x+2,若外1）=g（x2），则加一制的最小值为

立拓展冲刺练

15.（多选）已知函数｛x）=xlnx+/,xo是函数7（x）的极值点，以下几个结论中正确的是（）

A.O<xo<~B.xo>^-

ee

C.人工0）+2*）<0D./（》o）+2xo>O

16.已知函数火工）=/—2x+alnx（a>0）.

⑴求函数/⑴的单调递增区间；

31

(2)若函数/(X)有两个极值点XI，X2,»q2,不等式/(X。2加X2恒成立，求实数，”的取值范围.

32

.

§3.4函数中的构造问题

题型一导数型构造函数

命题点1利用/(X)与X构造

例1(2022・湘豫名校联考)已知定义在R上的函数人X),其导函数为/(X),当x>0时，，(x)-^>0,若

X

。=41),b=/(2),c=4/'日，则a,b,c的大小关系是()

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<a<cD.a<b<c

思维升华⑴出现駅x)+w。)形式，构造函数尸(工尸的⑴；

(2)出现叶(x)—“/(X)形式，构造函数尸(x)=4.

跟踪训练1设外)为定义在R上的奇函数，人-3)=0.当x>0时，xf(X)+2/(A-)>0,其中/(x)为寅x)的导

函数，则使得Hx)>0成立的x的取值范围是()

A.(-8,-3)U(0,3)B.(-3,0)U(3,+«>)

C.(一3,0)U(0,3)D.(-8,-3)U(3,+°°)

命题点2利用JU)与e'构造

例2(多选)已知/(X)是定义在(一8,+8)上的函数，导函数/(X)满足/(X)勺(X)对于xCR恒成立，则

()

A.X2)<e2/(0)B.貝2)>eR0)

2

c.ey(-i)>/(i)D.e/(-1)</(1)

思维升华(1)出现，(力+研力形式，构造函数尸(x)=e"7(x);

(2)出现，(x)—”/(x)形式，构造函数尸(x)=^.

enx

跟踪训练2若定义在R上的函数人x)满足，(x)+〃(x)>0,且负0)=1,则不等式_/(x)W的解集为

33

.

命题点3利用人x)与sinx、cosx构造

例3(多选)(2022•重庆模拟)定义在(0'力上的函数貝x),已知，(x)是它的导函数，且恒有cosx/(x)+sin

»火》)<0成立，则有()

思维升华函数段)与sinx,cosx相结合构造可导函数的几种常见形式

F(x)=/(x)sinx,F'(x)=/(x)sinx+/(x)cosx;

F(x)=©~/(x)sinx-/(x)cosx

sinxsin2x

F(x)=/(x)cosx,F'(x)=f(x)cos/(x)sinx:

J(x)cosx+y(x)sinx

P(x)

cosxCOS2X

跟踪训练3已知R上的奇函数/(x),其导函数为/(x),且当工£(0,+8)时，/(x)sinx+/(x)cosx<0,

则。与b的大小关系为

题型二同构法构造函数

例4(1)若存在x,y£(0,+8)使得xin(2Qx)+y=Kny,则实数。的最大值为()

A.-B.—

e2e

cD.-

ie

34

.

（2）（2022•河北联考）已知当xNe时，，不等式F+丄-ev^ainx恒成立，则正实数a的最小值为（）

x

A.1B.-C.eD.丄

ee2

思维升华