黑龙江省普通高等学校2024届数学高二年级上册期末考试模拟试题含解析

黑龙江省普通高等学校2024届数学高二上期末考试模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知椭圆方程为：三+匕=1,则其离心率为()

m3m

A2新

33

C.-D.—

33

2.若数列｛a.｝满足0102a3…a”="2(“》2),则/=()

A.9B.3

94

C.一D.一

49

3.已知三棱锥O—ABC,点M,N分别为线段AB,OC的中点，且Q4=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示

MN>则MN等于()

A.,(c—a-b)B.—-a-c)

C.Q(a-c-b)D.](c+a+6)

4.不等式3%+2<0的解集是()

A.{X|1<%<2}B.{X[1<X<2}

C.{X|X<1或x>2}D.{X|X<1或x22}

5.若。，瓦c构成空间向量的一组基底，则下列向量不共面的是()

A.Z?+2C，3b，b-2cB・a+b，a+b-2cc

C.3a+2b9c—3a，-2cD.2。，a-bfb+2a

6.如图，正方形ABC。与矩形ACE尸所在的平面互相垂直，A3=J5,AR=1,“在所上，且。0，平面皮)石,

则M点的坐标为()

、

1比1

'2'

7

’受受叵

c.D.(1,1,D

S-2na,

7.设等差数列{4},{bn}前"项和分别是s”,7；,若，则皆=O

3〃+7b

Tn3

5

A.lB.—

11

22

C.—D.-

178

8.执行如图所示的程序框图，若输出的y=2,则输人的％=()

A.-72B.也或—6

11-L

C-~2D.一万或一夜

22

9.设《，耳是双曲线C：=-A=l（a>0,b>0）的左、右焦点，。是坐标原点.过工作。的一条渐近线的垂线，

ab

垂足为尸.若I。耳卜布则。的离心率为

A.岳B.石

C.2D.72

10.若2=二，则复数z2-Z在复平面内对应的点在（）

1-1

A.曲线>=必上B.曲线>上

C.直线丁=一次上D.直线y=-2x上

11.如图，在正方体ABC。-A6G，中，P是侧面内一动点，若P到直线CG与直线A5的距离相等，则

动点P的轨迹所在的曲线是（）

A.直线B.圆

C.双曲线D.抛物线

22

12.已知双曲线0-与=l(a>0,b>0)的离心率为班，则该双曲线的渐近线方程为()

ab

A.y=±A/3XB.y=+^-x

JI

C.y=±yflxD.y=±-----x

'2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.矩形ABC。中，AB=2AD,在CD边上任取一点M,则的最大边是的概率为

14.已知｛4,｝是首项为。，公差为1的等差数列，数列｛〃｝满足2=白，若对任意的〃eN*，都有仅24021成立,

则实数a的取值范围是

15.在等差数列｛%｝中,q+%=4,那么4+%+---卜%等于,______.

16.已知直线/过点4(3,2,1),5(222),且：=(2,0,x)是直线/的一个方向向量，则彳=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数"x)=21nx-x.

(1)求曲线y=/(x)在x=1处的切线方程；

e

(2)求曲线y=/(x)过点(0,0)的切线方程.

18.(12分)如图，在四棱锥P-A5C。中，B4_L平面ABC。，AD//BC,AB=BC=CD=1,AD=2,直线3C与平面

PCD所成角的正弦值为I.

4

(1)求证：平面PCDJ_平面协C；

(2)求平面与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

19.（12分）如图1,四边形ABC。为直角梯形，AD//BC,AD±AB,AD=1,BC=2,£为CD上一点，F

为防的中点，且£>E=1,EC=2,现将梯形沿9折叠（如图2）,使平面平面ABED.

（1）求证：平面ACEL平面BCE.

（2）能否在边A3上找到一点P（端点除外）使平面ACE与平面PCN所成角的余弦值为逅?若存在，试确定点P的

3

位置，若不存在，请说明理由.

22

20.（12分）已知椭圆。：三+与=l（a〉6〉0）与直线2y+/z=0相切，点G为椭圆上任意一点，^（-1,0）,

a2b2

G2（l,o）,且GG/GG2的最大值为3

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）设直线/：y=履+m与椭圆C交于不同两点E,F,点O为坐标原点，且OM=g（OE+Ob）,当△EOE的面

积取最大值时，求％=就外一2|MG21的取值范围

21.（12分）如图甲，在直角三角形ABC中，已知BC=4,A3=8,O,E分别是AB,AC的中点.将ADE

沿OE折起，使点A到达点A，的位置，且用£>，5£）,连接A'5A'C,得到如图乙所示的四棱锥A—BDEC,M为

（1）证明：平面A'O5_L平面&5EC；

（2）过5,C,M三点的平面与线段HE相交于点N,从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线ON与平面

⑷5c所成角的正弦值.

①BM=BE;②直线EA1与所成角的大小为45°；③三棱锥/—5DE的体积是三棱锥E-A'BC体积的1

4

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

22.(10分)已知函数八x)=2d—x+3

(1)求函数八x)在x=l处的切线方程；

(2)求证：/(x)<2x3+2-lnx

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】根据椭圆的标准方程，确定计算离心率即可.

Y22

【题目详解】由上+匕V=1知，

m3m

a1=3m,b2=m,

c2=a2—b2=2m,

e2=^=-,即6=亚，

a233

故选：B

2、C

【解题分析】利用前〃项积与通项的关系可求得结果.

【题目详解】由已知可得==

44224

故选：C.

3、A

【解题分析】利用空间向量基本定理进行计算.

【题目详解】MN=0N-OM=；OC-

故选：A

4、A

【解题分析】确定对应二次方程的解，根据三个二次的关系写出不等式的解集

【题目详解】X2-3X+2<0,即为（x-1）（%—2）K。，1<X<2

故选：A

5、C

【解题分析】根据空间向量共面的条件即可解答.

-2

【题目详解】对于A,由〃+2。+/?—2。=§-36,所以b+2c，3b，Z?—2c共面;

对于B,由—人一2c）=2c,所以Q+b，a+b—2c，c共面；

一3

对于D,a—b+b+2a=­-2a,所以2a，a—b,/?+2〃共面，

故选：C.

6、A

【解题分析】设M点的坐标为（尤由平面瓦花，可得出血,金，日防,，利用空间向量数量积

为o求得不、y的值，即可得出点四的坐标.

【题目详解】设“点的坐标为（无,y,l）,C（0,0,0）,D（V2,0,0）,B（0,V2,0）,£（0,0,1）,则DE=（—0,0,1）,

DB=(-母,6,CM=(%,y,l),

CM，平面6£）石,

CM

工DE,CM±DB,即血，品，血，法,，

正

X二

—yf2x+1=02

所以，Ll)解得＜所以，加点的坐标为,

-J2x+J2y=0叵I22J

y=

2

故选：A.

7、B

【解题分析】根据等差数列的性质和求和公式变形求解即可

【题目详解】因为等差数列｛4｝,也“｝的前”项和分别是5“7；,

%+〃55(〃I+〃5)

所以&=_2_=___2___=邑=1°=A

所以仇一,+々—5色+&)-7；~15+^11，

22

故选：B

8、A

---,x>0

【解题分析】根据题意可知该程序框图显示的算法函数为y=%+l,分工>。和兄(。两种情况讨论即可得解.

x2,x<0

【题目详解】解：该程序框图显示得算法函数为丁=X+1,

x2,x<0

由y=2,

当尤>0时，—=2,方程无解；

x+1

当工<0时，f=2,解得x=—形,

综上，若输出的y=2,则输入的％=—夜.

故选：A.

9、B

【解题分析】分析：由双曲线性质得到|%|="|PO|=a然后在Rt.FOE和在Rt/XPK反中利用余弦定理可得

详解：由题可知|%|=4闾=c

|PO|=a

\PFAb

在Rt.PO8中，cosZP7sO=^=-

\OF2\C

2

_b

在APg中,cos/P^O=［用：闺［尸用

-2附||F耳周c

b2+4c2-(na)

2nc2=3a2

2b-2cc

e=y/3

故选B.

点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题

10>B

【解题分析】根据复数的除法运算，先化简Z,进而求出z2-z，再由复数的几何意义，即可得出结果.

【题目详解】因为匚=,，所以z2_z=『T・=-!—3

1-i2

因此复数z2-z在复平面内对应的点为(-1,-1)，可知其在曲线y=x3±.

故选：B

11、D

【解题分析】由P到直线AB的距离等于P到点B的距离可得P到直线CG的距离等于P到点B的距离，然后可得答

案.

【题目详解】因为P到直线A5的距离等于尸到点3的距离，

所以尸到直线CG的距离等于p到点B的距离，

所以动点P的轨迹是以3为焦点、eq为准线的抛物线

故选：D

12、C

b

【解题分析】求得一，由此求得双曲线的渐近线方程.

a

【题目详解】离心率e=£=则2=力吁-1=0,所以渐近线方程y=+sflx.

aa)

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、6—1

【解题分析】先利用勾股定理得出满足条件的长度，再结合几何概型的概率公式得出答案.

【题目详解】设=2,当|AM|=2时，|Z)M|=V22-12=2-Q；当||=2时，||=2-也，

所以当/到。，。的距离都大于2-6时，的最大边是48,所以的最大边是AB的概率为

pj-2(2-出):也几

2

故答案为：^3—1

14、(-2022,-2021)

【解题分析】先求得凡，再得出“，对于任意的“eN*，都有228021成立，说明仇。21是｛2｝中的最小项

11

【题目详解】由题意4=。+〃一1,:也=---7

4+1〃+〃

易知函数/(“)=-^―在(-8,-a)和(-a,+8)上都是减函数,

n+a

且〃e(-oo,—a)时，f(n)<0,即2=—^<。，

«„+1

“e(-a,+8)时，/(«)>0,bn=>0,

%+1

由题意对于任意的〃eN*，都有2>b202］成立，则d021是最小项，，2021<-a<2022,解得一2022<a<—2021,

故答案为：(-2022,-2021)

15、14

【解题分析】根据等差数列的性质得到4+佝=2%=4,求得出=2,再由生+%+…T=7%,即可求解.

【题目详解】因为数列｛4｝为等差数列，且4+为=4,

根据等差数列的性质，可得%+为=2%=4,解答%=2,

又由生+4Z3H-----\-as=7%=7x2=14.

故答案为：14.

16、-2

【解题分析】由题得6，解方程组即得解.

【题目详解】解：由题得低=(-1,0,1)，

因为W=(2,0,x)是直线/的一个方向向量，

所以】=46，所以(2,0,%)="-1,0,1),

2=—4

所以〈,:.x=-2.

x=£

故答案为：—2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2—e

17>(1)y=(2e-l)x-4；(2)y=------x.

【解题分析】（1）首先求导函数/'（x）=j-l（x>0）,计算=接着根据导数的几何意义确定切线的

斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可；

（2）因为点（0,0）不在曲线上，所以设切点为夕（为，儿），根据导数的几何意义写出切线的方程

（2、

y-（21nx0-x0）=--1（x-x0）,代入点（0,0）求解/=e,最后写出切线方程即可.

2

【题目详解】（1）（（x）=-—1（%>0）.

所以曲线在X='处的切线方程为V-

e

即y=（2e—l）x—4

i2

（2）设切点为月（毛，方），则曲线在点P处的切线方程为y—（21n%-％）=——1（x-x0）,

代入点（。,。）得出与=1,%=2—e.

所以曲线y=/（x）过点（0,0）的切线方程为y一（2—e）=1j—"（x—e）,

2-e

即nny=------x.

e

18、（1）证明见解析

⑵-

4

【解题分析】⑴取AD的中点E,连接CE,证明CD，ACCD，必，由线面垂直的判定定理可证明CDJ_平面上4C,

再利用面面垂直的判定定理可证得结论，

（2）过点3作LAD于“，以河为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设丛=机（7找>0）,先根据直线

BC与平面PCD所成角的正弦值为且，求出加，然后再求出平面的法向量，利用向量的夹角公式可求得结果

4

【小问1详解】

证明：取A。的中点E,连接CE,因为AD〃8C,AB=3C=C£)=1,AO=2,

所以AE=3C,AE//BC,

所以四边形ABCE为平行四边形，

所以CE=AB=LAD=I,所以CDLAC,

2

因为私_1_平面ABC。，CDu平面ABC。，

所以CDLB4,

因为PAAC=A,所以CD,平面A4C,

因为CDu平面PC。，

所以平面PCD，平面PAC,

【小问2详解】

过点8作BNLAD于以M为原点，建立空间直角坐标系，如图所示,

在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=5C=CZ>=1,40=2,

则AM，,BM=叵,DM二,

222

所以3号

设PA=m(m>0)

因为PA,平面ABC。，所以P[O,一；,加

(后3、一

所以3C=(0,l,0),PC=-^-,--,777,CD=-^-,-,0,

\J\J

设平面PCD的法向量为〃=(x,y,z),贝！)

.“63工八

n-PC=----x——(r-\

<2,令％=1,贝!|〃=1,A/3,-----

J311加1

n-CD------x+—y-0

I22，

因为直线BC与平面PCD所成角的正弦值为旦,

4

BCn6

所以cos（BC”解得m=l,

MHlxJl+3+与4

Vm

所以—〃=(1,6,20),

设平面PAB的法向量为m=(a,b,c),

因为A3=^-,-,0,PA=(0,0,-1),

I22J

AD617n

所以j22，令a=l,贝！］加=(1,一13,0),

m-PA=—c=0

~।/\m-n21

所以cos(m,n)=---..,=/=~-j^==-

'/|m||n|71+3+12x717349

所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为4

19、（1）证明见解析.（2）存在点，P为线段A3中点

【解题分析】（1）根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可证得平面ACEL平面BCE；

（2）以歹为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面ACE和平面PC尸的法向量，利用向量的夹角公式,

即可求解.

【题目详解】（1）在直角梯形ABC。中，作于于连接AE,

则CA/=2—1=1,CD=DE+CE=1+2=3,则DM=AB=2^/^，cosC=,

则BE=VCE2+CB2-ICE-CBcosC=L+4-2x2x2x1=孚,

在直角ACDM中，可得sinNCDM=q@='，

CD3

则AE=VAD2+DE2-2AD-DEcosZADE=^l+l+2xlxlx|=,

所以=初2,

故AEl.班，且折叠后AE与BE位置关系不变.

又因为平面BCE，平面ABED,且平面BCE平面ABED=3E,

所以平面BCE,

因为AEu平面ACE,所以平面ACE_L平面BCE.

（2）在_5。£中，由5C=CE=2,尸为比的中点，可得CbLBE.

又因为平面BCE，平面ABED,且平面BCE平面ABED=班，

所以Cb，平面ABED,则以R为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则A（平，—孚,0），C（0,0,孚），£（0,-竽,0），

则市=（一乎乎乎,S=（o,一半—半）,

“2c2732y/6.

m-AC=-------x+------yH-------Z=0

333

设平面ACE的法向量为m=（x,y,2）,贝（1

，CE=-^^y-2屈八

m-----z=0

I33

令z=1,可得平面ACE的法向量为m=（0,—A/2,1），

、6uumuum

假设AB存在点P使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为—,且AP=2AB(4£R)，

•B(0,—^,0),..A5=(--—,^-,0)»故AP=(--—2,^-2,0)，

又由FC=(0,0,

|M=0

3

设平面PC尸的法向量为〃=（x,y,z）,可得＜

2瓜八八,2同”八2«,

3———(2z-l)y----z=0

^x=22-1=(22-1,72(2-1),0),

II|2(2-1)|

.加＜小＞卜瓦RMET5A/'6解得I

因此存在点P且P为线段AB中点时使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为亚

3

本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解及应用，意在考查学生的空间想

象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键,

同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

22

20、(1)—+^=1

42

(2)2A/2,1—A/2j

【解题分析】（1）设点G（x,y）,根据题意，得到a=4ib，根据向量数量积的坐标表示，得到PPX-PP,=-/+。2—1,

根据其最小值，求出。=2力=挺，即可得出椭圆方程；

（2）设£（%,%）,F（x2,y2）,〃（/，兀），联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由弦长公式，以及点到直线距

离公式，求出/XEOE的面积S的最值，得到m2=2^+1；得出点M的轨迹为椭圆G：］+y2=i（〉w0）,且点

']_、

GG为椭圆G的左、右焦点，记f=则fe（行-1,行+1）,得到X=2|MG21=2t+--4A/2,

k7

根据对勾函数求出最值.

【小问1详解】

设点G（x,y）,由题意知〃=

222

所以：C:x+2y=a9贝（）GG；・GG；=d+y2—1=一/十/—匕

当y=。时，GG^GG2取得最大值，即/—1=3=>Q=2，b—V2

22

故椭圆c的标准方程是L+2L=1

42

【小问2详解】

|%2+2/=4

设£（和乂），F（x2,y2）,〃（叼兀），则由<,得

y=kx+m

2

（2左2+1）%2+4mkx+2m-4=0^>%,+^2=一,

2m2-4\m\

,点。到直线/的距离d=

4mkI2“2m2-4

S=--d-\AB\=1IE

2k2+1

+2-m2

后HT…2F+1

对加2（4左2+2一加2）用均值不等式，贝心病（俅212疝）三（"/+（妹2+2—〃/））=（4父+2）一

V44

当且仅当m2=4左2+2—m2即加2=2左？+1,①

4左2+2

%+%22mk2k

S<02=£，S取得最大值夜•此时，x

022k2+1m

~2^+1-

Q721]^22v2

y0=bc0+m=-—+m=-,即加=一，左=一丁玉）=一”代入①式整理得为+y；=l（y°W

°°mmy022%2°'°

即点M的轨迹为椭圆G：5+>2=l（ywO）

且点G］,&为椭圆G的左、右焦点，即|MGj+|MG』=2后

记日同勾，则re（行-1,行+1）于是：

八意-2厩|="（2后一）,

（］_、

=-+2t-4^2=2f+2-472

tt

由对勾函数的性质：当/=受时，4nhi=—20，

2

K2（V2-1）=-A/2-1<2（V2+1）=1-72,

故2的取值范围为［-272,1-72）

21、（1）证明见解析

⑵叵

5

【解题分析】（1）由线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得证；

（2）分别选①，②，③可求得“为AO的中点，再