四川省普通高中2024届高三年级上册学业水平考试数学试题（解析版）

四川省普通高中2024届高三上学期学业水平考试数学试题

一、选择题

已知集合人卜叫，，={-则

1.1"2,0,2,4},AB=()

A{0,2}B.{0,2,4}

C.{-2,0,2}D.{-2,0,2,4)

【答案】C

【解析】集合A={X[T<X<4},3={-2,0,2,4},则AB={-2,0,2}.

故选：C.

2.已知i是虚数单位，贝u(—2+i)-i=()

A.l-2iB.-l-2i

C.l+2iD.-l+2i

【答案】B

【解析】(—2+i>i=—l—2i,

故选：B.

3.已知向量a=(-l,3),b=(5,l),则&力=()

A.-2B.14

c.(-5,3)D.(-1,15)

【答案】A

【解析】因向量a=(-L3),b=(5,l),

所以a»=—5+3=-2.

故选：A.

4.已知直线/的方程为y=-2尤+1,则直线/的斜率为()

A.-2B.--C.ID.2

22

【答案】A

【解析】由线/的方程为y=-2尤+1可知，斜率左=—2.

故选：A.

5.某高中一、二、三年级学生参加社团活动的人数分别为500,300,200,现用分层抽样

的方法从中抽取100人参加艺术节表演，则抽出的高一年级学生人数为（）

A.20B.30C.40D.50

【答案】D

500

【解析】抽出的高一年级学生人数为：100x=50.

500+300+200

故选：D.

6.已知cosa=一,则sin«的值为（）

3

A,正B.一逅c.土手-4

33

【答案】C

【解析】因为cosa=」,

3

所以sina=±\/l-cos2a-±J1--=+>

V93

故选：C.

7.某同学计划在四大名著《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》中随机选一本作为

课外读本，则《红楼梦》恰好被选中的概率为（

A>B.1

42

【答案】D

【解析】《红楼梦》恰好被选中的概率为夕=4.

4

故选：D.

8.函数/（尤）=|lnH的图象是（）

【解析】因为/(X)=|lnx|的定义域为(0,+8),故BD错误；

又/(x)=|lnx|?0,故C错误；故A正确.

故选：A

9.若球的表面积为48兀，则顶点均在该球球面上的正方体体积为()

A.256B.64C.27D.8

【答案】B

【解析】因为球表面积为48兀，

所以4兀叱=48兀，解得R=2百,

设正方体的棱长为。，

因为正方体外接球的直径为正方体的体对角线，

所以y/3a=2R，即a=4,

所以丫=々3=43=64.

故选：B.

10.若函数/(x)=gx3-以在R上是增函数，则实数。的取值范围为(

)

A.«>1B.a<1C.a<\D.a>l

【答案】D

【解析】函数/(x)=gx，-必+以，/f(^)=x2-2x+a,

若/(x)在R递增，则f―2%+々之0在R恒成立，

可得/=4—4a<0,解得,

故选：D.

第II卷(非选择题)

二、填空题

11.若x?+y2-2x-4y=0,求圆心坐标为.

【答案】(1,2)

【解析】由必+丁―2x—4y=0,可得圆的标准方程为(x—1)2+(y—2)2=5,

所以圆心坐标为(1,2).

故答案为：(1,2).

9

12.已知尤＞0,则丫=》+一的最小值为.

x

【答案】6

9/~9

【解析】尤＞0,y=x+—＞2.x--=6,

x\x

当且仅当％=3时，取“=”，

9

所以y=x+—的最小值为6,

x

故答案为：6

13.函数/(x)=sin2x+cos2x的最小正周期是.

【答案】兀

【解析】函数/(x)=sin2x+cos2x=^2sin^2x+^,

最小正周期是@=限

2

故答案为：兀.

14.如图，在正方体ABC。-A耳GR中，直线BD1与平面A5CD所成角的正切值为

【答案】q

2

【解析】设正方体的棱长为1,

在正方体中，平面ABCQ,

故在平面A5C。上的射影为BD，

所以为直线BD】与平面ABCD所成角，

故tanN。］8。=型=；=也.

1BD丘2

故答案为：巫.

2

三、解答题

15.已知数列｛4｝等差数列，且4=1,g+%=18.

(1)求数列｛4｝的通项公式4；

(2)求数列｛4｝的前w项和S”.

解：⑴设等差数列｛4｝的公差为"，

则6+3d+6+5d=18,即4+4d=9,

9-1

所以d=一1=2,

4

所以=%+(〃—l)d=1+2(〃-1)=2〃—1.

⑵由⑴知，S/(…)=〃(1+2〃-1)二

"22

16.已知.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB=JOcosA.

(1)求角A的大小；

(2)若b=2,c=3,求〃.

解；(1)由正弦定理可得：sinAsinB=J^sinBcosA，

由3£(0,兀)知sin5wO,可得sinA=gcosA，

即tanA=G，

由Ae（O,;i）知，A=-1.

（2）由余弦定理可得：6=/+。2—2灰:cosA=4+9—12义工=7,

解得a=不■

17.如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为4的正三角形，且Q4=2,

PB=PC=2百.

（1）求证：24,平面ABC；

（2）求点A到平面PBC的距离.

（1）证明：PA=2,PB=PC=2q，AB=AC=BC=4,

P^+AB1=PB1，：.PA±AB,

PA2+AC2=PC2，s.PALAC,

又ABAC=A,A3,ACu平面ABC,

平面ABC.

（2）解：设点A到平面PBC的距离为/?,P3C中BC边上的高为

在PBC中，边上的高〃=J。"—［与］=720-4=4,

所以SAPBC=；3C/'=；X4X4=8,

又5*=9叱=4百，

所以Vp-ABC=匕-PBC,即§*「4S^ABC=^乂"，S/\pBC，

所以2x4百=8〃，解得％=6.

即点A到平面PBC的距离为73.

22

18.已知点尸(—2,0),Q(0,血)在椭圆0:三+今=1(4>6〉0)上.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)过点尸的直线/与椭圆的另一个交点为R,当.POR(O为坐标原点)的面积最大

时，求直线/的方程.

解：⑴因为点P(—2,0),。(0,码在椭圆上，

所以a=2,b=，

所以02=02—82=2,即c=

所以椭圆离心率6=£=立.

a2

(2)设如图，

由R在椭圆上可知—0V为<JE，所以

所以当闻=&时，S*OR=|%|有最大值，

此时R(0,—J5)或7?(0,V2),

xyxy

所以直线/的方程为三+方=1或37+奇=1,

即直线/为x-岳+2=0或x+0y+2=O.

19.已知函数/'(九)=依一Inx,aeR.

⑴当。=1时，求函数的单调区间;

(2)若不等式〃x)20恒成立，求实数。的取值范围.

解：(1)当