高中数学：定积分及其应用

高中数学：定积分及其应用

1、基本积分表

(1)JO"=c

(2)，欧=x+c

(3)=

(4)J-L/x=In|x|

(5)Jsinxdx--cosJ-be

(6)Jcosxdx=sinx+c

(7)j/dx=&K+c

(8)…j

2、运算公式

(1)[北•/⑴&=可MSMx

(2)f⑶±g(x)]dx=J:/⑶dx+[加㈤dx

(3)J：/(x)dx=[/@)dx+[_/(T)dx(其中a<cv毋

3、[)(x)dx=?\x)|：=?@)-F(a)

Jr3=lim:£-b----a，⑹

J»-4»)l-l题"

例1、若曲线y=/(x)在X处的导数为才且曲线经过点A

(1,3),求了㈤解析式。

33

解：/(J)=x+e,过Ae=2•,*/(x)=X+2

例2、求下列不定积分。

rJ1c*sin2x-、，

(----3+-----------1-lWx

(1)JX5^2cosx

]--

=J-Hx-Jx13”於+J2sin差欧+Jldx

x

K

=ln|j|-3V^-Flog3e-3-2cos仄+贡+c

dx

(2)/十2x-3

=〕(-7一一^灿

A-lx+3

=J---dx

x-1x+3

=21n|x-1|-31n|x+3|-l-t:

例3、求下列定积分

T

(1)j-^(2sinx4-cos

XX

=2sinxdx+\cosxdx

ar

=-2cos|o4-sinKR

=-2(0-1)+(1-0)=3

(2)用x，-收

I2p2-l1<X<2

••y=工-1=f

.11[1-x20<x<1

/；卜2-ipx=j;a——)石十j;y—1心

=(x--y-)Io+(-y-x)『

1Q1

=2

例4、M=「］(/-以+方尸小，a力为何值时,M最小。

解：河=【上(/一ax)2+28(1—ax)+方'］小

=2JQ(x6-2aj/+//十V)dx

/--^+-a2?+/初:

53

21

=2(———a+—0

753

2r3、a.28

=35^+2白175

38

。=5力二°时，小175

例5、已知J；(3ax+l)(x+W&x=0,a.beR,试求°包的取值范

围。

解：J；(3ax+l)(x+B)dx

=乳3«+(3油+1)x+司杰="+*如匕+D+匕=°

艮口3油+2(a+S)+l=0

&曳+1

设a七=fAa+6=--。，上为方程

2至+1门

X+十*+£=°两根

人一"0

*t工一口v

4,,9块此1

•a.8e(-0□,一]u[l,+oo)

例6、求抛物线/=x与直线x-2>-3=0所围成的图形的面

积。

y2=x

解：由[-2y-3=oA(1,-1)B(9,3)

2K

例7、求由抛物线，=5,/="］所围成图形的面积。

V=-5151

,50乂勺,万"勺,一万)](10)

解:

例8、由抛物线y=*+4”3及其在点A(0,-3),B

(3,0)处两切线所围成图形的面积。

3_

解：，WA：3=4X-3,?皿：了=-2无+6P(亍3)

5

s=J祖4x-力一(一一+4x-3)此+1[(—2x+6)-(-A2+4x—3)防

2

_9

-4

例9、曲线C:y=2/-3x-2、1,点吗•⑼,求过P的切

线?与C围成的图形的面积。

解:设切点昂。0Jo),则1/=6X；-6XQ-2

切线？：JH2x；-3君-2%+l]=(6君-6xo-2)(Lx())过P(如)

•-[2年-3x；-2x0+1]=[6x；-6x0-2].[1-x0]

••2

丽(4x；_6%+》=0

...频=0,%=1A(0,1)

\e，切：1-1=-2(工-0)/.2大+了-1=0

3

y=2/-3/一2汗+1X=—

23.

•[y=~l-2x/=-2B(2'2)

•S=J2(3X2-2X3)^=—

例10、抛物线y=苏+以在第一象限内与直线x+y=4相

切。此抛物线与X轴所围成的图形的面积记为So求使

S达到最大值的a,b值，并求］。

解：依题设可知抛物线为凸形，它与X轴的交点的横坐

标分别为勺=0为=-/",所以$=*（#+附必=白.⑴

又直线X+y=4与抛物线y=以2+取相切，即它们有唯一的

公共点

x+了=4

由方程组y=加+E

得&炉+9+1力-4=0,其判别式必须为0,即9+1）2+16”。

12

于是°=-记9+D，代入（1）式得:

112砧“3T）

朋）=------96对@