中考数学解题技巧 29二次函数与直角三角形存在性问题

直角三角形存在性问题一、方法突破【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例：【构造三垂直】求法相同，以为例：构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股还剩下待求，不妨来求下：（1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；（2）表示线段：，，；（3）分类讨论：当为直角时，；（4）代入得方程：，解得：．二、典例精析例一：如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，．（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点坐标．【分析】（1）直线BC：抛物线：；（2）将军饮马问题，考虑到M点在对称轴上，且点A关于对称轴的对称点为点B，故MA+MC=MB+MC，∴当B、M、C三点共线时，M到A和C的距离之后最小，此时M点坐标为（-1，2）；（3）两圆一线作点P：以为例，构造△PNB∽△BMC，考虑到BM=MC=3，∴BN=PN=2，故点坐标为（-1，-2）．易求坐标为（1,4）．、求法类似，下求：已知PN=1，PM=2，设CN=a，BM=b，由相似得：，即ab=2，由图可知：b-a=3，故可解：，（舍），对应坐标为．类似可求坐标为．例二：通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转得到AD，过点D作DE⊥AC于点，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数的图像交轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒．（1）求二次函数的表达式；（2）在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标．

【分析】（1）；（2）本题直角顶点P并不确定，以BC为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P点，再过点P作水平线，得三垂直全等．设HP=a，PQ=b，则BQ=a，CH=b，由图可知：，解得：．故D点坐标为（1,3）．同理可求此时D点坐标为（3,2）．思路2：等腰直角的一半还是等腰直角．如图，取BC中点M点，以BM为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P点．根据B点和M点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P点坐标易求．P点横坐标同D点，故可求得D点坐标．

还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1．考虑到直线与AB互相垂直，，可得：，又直线过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3，所以与x轴交点坐标为，即坐标为．确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~【小结】几何法：（1）“两线一圆”作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．代数法：（1）表示点A、B、C坐标；（2）表示线段AB、AC、BC；（3）分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²；（4）代入列方程，求解．三、中考真题对决1.（2018·怀化中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；（2）请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，，为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）抛物线：，直线AC：y=3x+3；（2）看图，M点坐标为（0,3）与C点重合了．（3）考虑到AC为直角边，故分别过A、C作AC的垂线，与抛物线交点即为所求P点，有如下两种情况，先求过A点所作垂线得到的点P：设P点坐标为，则PM=m+1，AM=，易证△PMA∽△ANC，且AN=3，CN=1，∴，解得：，（舍），故第1个P点坐标为；再求过点C所作垂线得到的点P：，CN=m，，解得：，（舍），故第2个P点坐标为．综上所述，P点坐标为或．2．（2021•巴中）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，求点的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点作轴的垂线，在上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点、、代入，得，解得，；（2）如图1，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，，，设直线的解析式为，，，，设，则，，，，，，当时，有最大值，；（3），点在上，如图2，当时，过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，，，，，，即，，；如图3，当时，过点作轴交于点，，，，，，即，，；如图4，当时，线段的中点，，设，，，或，或；综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或．3．（2021•毕节市）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴为直线，顶点为，点的坐标为．（1）填空：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的解析式为；（3）是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对称轴为直线，，，点是抛物线与轴的交点，，，，令，，或，，是抛物线的顶点，，故答案为，，；（3）存在，理由如下：，，，的中点为，，设，是以为斜边的直角三角形，，，或，或，使是以为斜边的直角三角形时，点坐标为或．4.（2019·鄂尔多斯中考）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点．（1）求抛物线的解析式．（2）是直线下方抛物线上的一个动点，作于点，求的最大值．（3）以点为圆心，1为半径作圆，上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）；（2）过点P作x轴的垂线交EF于点Q，所谓PH最大，即PQ最大，易解．（3）CM为直角边，故点C可能为直角顶点，点M也可能为直角顶点．①当为直角时，如图：：不难求得CF=1，BF=2，∴，又，可得：，．故坐标为；同理可求坐标为．②当∠BMC为直角时，如图：：不难发现CM=1，BC=，∴，即△MEC∽△BFM，且相似比为1：2，设EC=a，EM=b，则FM=2a，BF=2b，由图可知：，解得：．故点的坐标为．至于坐标，显然．综上所述，M点坐标为或或或．5.【2019阜新中考】如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值．（3）点为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）；（2）连接AC，将四边形面积拆为△