![湘教版九年级上册数学教案(全册)_第1页](http://file4.renrendoc.com/view2/M00/2B/26/wKhkFmYS5yiAOxYyAAHOnNnK-2k674.jpg)
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文档简介
第1章反比例函数
1.1反比例函数
教学目标
【知识与技能】
理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式.
【过程与方法】
经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力.
【情感态度】
培养观察、推理、分析能力,体会由实际问题转化为数学模型,认识反比例函数的应用价值.
【教学重点】
理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式.
【教学难点】
能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想.
教学过程
一、情景导入,初步认知
1.复习小学已学过的反比例关系,例如:
(1)当路程S一定,时间t与速度V成反比例,即Vt=S(S是常数)
(2)当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即ab=S(S是常数)
2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时,请你用含R的代数式表
示I吗?
【教学说明】对相关知识的复习,为本节课的学习打下基础.
二、思考探究,获取新知
探究1:反比例函数的概念
(1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时,各选手的平均速度v(m∕s)与所用时间t(s)
之间有怎样的关系?并写出它们之间的关系式.
(2)利用(1)的关系式完成下表:
所用时间MS)121137139143149
平均速度√m∕s)
(3)随着时间t的变化,平均速度V发生了怎样的变化?
(4)平均速度V是所用时间t的函数吗?为什么?
(5)观察上述函数解析式,与前面学的一次函数有什么不同?这种函数有什么特点?
【归纳结论】一般地,如果两个变量x,y之间可以表示成y=l(k为常数且k≠0)的形式,
X
那么称y是X的反比例函数淇中X是自变量,常数k称为反比例函数的比例系数.
【教学说明】先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言
说明两个变量间的关系为什么可以看作函数,了解所讨论的函数的表达形式.探究2:反比例函
数的自变量的取值范围思考:在上面的问题中,对于反比例函数v=3OOO∕t,其中自变量t可以取
哪些值呢?分析:反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数,但是在实际问题中,应该根
据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间,且时间不能为负数,所
有t的取值范围为t〉0.
【教学说明】教师组织学生讨论,提问学生,师生互动.
三、运用新知,深化理解
1.见教材P3例题.
2.下列函数关系中,哪些是反比例函数?
(1)已知平行四边形的面积是12cπΛ它的一边是acm,这边上的高是hem,则a与h的函数
关系;
(2)压强P一定时,压力F与受力面积S的关系;
(3)功是常数W时,力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系.
(4)某乡粮食总产量为m吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数X的函数关系式.
分析:确定函数是否为反比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=k(k是常
X
数,k≠0).所以此题必须先写出函数解析式,后解答.
解:
(l)a=12∕h,是反比例函数;
(2)F=pS,是正比例函数;
(3)F=W∕s,是反比例函数;
(4)y=m∕为何值时,函数y=3是反比例函数,并求出其函数解析式.分析:由反比例函
数的定义易求出m的值.解:由反比例函数的定义可知:2m—2=1,m=3∕2.所以反比例函数
的解析式为y=-.
X
4.当质量一定时,二氧化碳的体积V与密度P成反比例.且V=5π?时,ρ=l.98kg/m3
(1)求P与V的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
(2)求V=9π?时,二氧化碳的密度.
解:略
5.已知y=y1+y2,yι与X成正比例,y2与x2成反比例,且x=2与x=3时,y的值都等于
19.求y与X间的函数关系式.
分析:yl与X成正比例,则yl=klx,y2与x2成反比例,则y2=k2x2,又由y=yl+y2,
可知,y=klx+k2x2,只要求出kl和k2即可求出y与X间的函数关系式.
解:因为yι与X成正比例,所以yι=kιx;因为y2与x2成反比例,所以y2=∙⅛,而y=yι
+y2,所以y=kιx+*,当x=2与x=3时,y的值都等于19.
x'
rA-,
所以]19=2A-,+√∙,
19=3A-,+y.
(A-,=5
角军得
IA-,=36
所以y=5γ+9
【教学说明】加深对反比例函数概念的理解,及掌握如何求反比例函数的解析式.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题1.1”中第1、3、5题.
教学反思
学生对于反比例函数的概念理解的都很好,但在求函数解析式时,解题不够灵活,如解答第
5题时,不知如何设未知数.在这方面应多加练习.
1.2反比例函数的图象与性质
第1课时反比例函数的图象与性质(1)
教学目标
【知识与技能】
1.会用描点法画反比例函数图象;2.理解反比例函数的性质.
【过程与方法】
观察、比较、合作、交流、探索.
【情感态度】
通过对反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质.
【教学重点】
画反比例函数的图象,理解反比例函数的性质.
【教学难点】
理解反比例函数的性质,并能灵活应用.
教学过程
一、情景导入,初步认知
你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢?一次函数有什么性
质呢?反比例函数的图象又会是什么样子呢?
【教学说明】在回忆与交流中,进一步认识函数,图象的直观有助于理解函
数的性质.
二、思考探究,获取新知
探究1:反比例函数图象的画法画出反比例函数y=9的图象.分析:画出
X
函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.
(1)列表:取自变量X的哪些值?
X・・・-6-3-2-1・•・1236・・・
y・・,-1-2-3—6・・・6321•••
X是不为零的任何实数,所以不能取X的值为零,但仍可以以零为基准,左
右均匀,对称地取值.
(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点(一6,
—1)、(―3,—2)>(—2,—3)等.
(3)连线:用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个
分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一个分支.这两
个分支合起来,就是反比例函数的图象.
思考:
(1)观察上图,y轴右边的各点,当横坐标X逐渐增大时,纵坐标y如何
变化?y轴左边的各点是否也有相同的规律?
(2)这两条曲线会与X轴、y轴相交吗?为什么?探究2:反比例函数所在
的象限画出函数y=』的图形,并思考下列问题:
X
(1)函数图形的两个分支分别位于哪些象限?
(2)在每一象限内,函数值y随自变量X的变化是如何变化的?
【归纳结论】一般地,当k〉0时,反比例函数y=&的图象由分别在第一、
X
三象限内的两支曲线组成,它们与X轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值
y随自变量X的增大而减小.
探究3:反比例函数y=-9的图象.可以引导学生采用多种方式进行自主
X
探索活动:
(1)可以用画反比例函数y=—9的图象的方式与步骤进行自主探索其图象;
X
(2)可以通过探索函数y=9与y=-9之间的关系,画出y=一£的图象.
XXX
【归纳结论】一般地,当k<0时,反比例函数y=2k的图象由分别在第二、
X
四象限内的两支曲线组成,它们与X轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值
y随自变量X的增大而增大.
探究4:反比例函数的性质反比例函数y=-9与y=9的图象有什么共同特
XX
征?
【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象
“曲线”及“两支”的特征.
【归纳结论】反比例函数y=&(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当
X
k>0时,图象在一、三象限;当k<0时,图象在二、四象限.反比例函数y=±与
X
y=--(k≠0)的图象关于X轴或y轴对称.
X
【教学说明】学生动手画反比函数图象,进一步掌握画函数图象的步骤.观
察函数图象,掌握反比例函数的性质.
三、运用新知,深化理解
1.教材P9例1.
2.如果函数y=2χk+∣的图象是双曲线,那么k=.
【答案】-2
3.如果反比例函数y=±口的图象位于第二、四象限内,那么满足条件的正
X
整数k的值是.
【答案】1,2
4.已知直线y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则函数y=®的图象在
X
第象限.
【答案】二、四
5.反比例函数y=L的图象大致是图中的().
解析:因为k=l>O,所以双曲线的两支分别位于第一、三象限.
【答案】C
6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是()
,mn+1
A.V=-b.y=-------
“XX
21
m+11n-m
C.y=---------U.y=-----
XX
【答案】C
7.已知函数y=("L2)χ3->为反比例函数.
(1)求m的值;
(2)它的图象在第几象限内?在各象限内,y随X的增大如何变化?
(3)当一3≤x≤-L时,求此函数的最大值和最小值.
2
«:(1)由反比例函数的定义可知:
■I1=-1,
解图,E=-2.
2≠0.
(2)因为上*-4<0,所以反比例函融的图象
在第二、四象*内,在各象限内随a的增大而
增大.
(3)因为在每个叙限内“Ut的增大而增大,
所以当X=时/最大值==
一2
当K=-3时.,最小值=-ʌɪɪ
-33
所以当-3W*W时,此函数的最大值为
8,最小值为
19
8.作出反比例函数y="的图象,并根据图象解答下列问题:
X
⑴当x=4时,求y的值;
(2)当y=-2时,求X的值;
⑶当y>2时,求X的范围.
解:列表:
由图知:
d)y=3;
(2)x=-6;
(3)0<x<6
9.作出反比例函数y=一士的图象,结合图象回答:
X
(1)当x=2时,y的值;
(2)当1VXW4时,y的取值范围;
(3)当l≤yV4时,X的取值范围.
解:列表:
X•・・-4»2—1124・・・
y・・・124-4-2-1••・
由图知:
d)y=-2;
(2)-4<y≤-1;
(3)-4≤x<-l.
【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题,在研究每一
题时,要紧扣性质进行分析,达到理解性质的目的.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.
课后作业
布置作业:教材“习题1.2"中第1、2、4题.
教学反思
通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质,并掌握了用描点
法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看,学生掌握的
不够好,应多加练习.
第2课时反比例函数的图象与性质(2)
教学目标
【知识与技能】
1.会求反比例函数的解析式;2.巩固反比例函数图象和性质,通过对图象的
分析,进一步探究反比例函数的增减性.
【过程与方法】
经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.
【情感态度】
提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.
【教学重点】
会求反比例函数的解析式.
【教学难点】
反比例函数图象和性质的运用.
教学过程
一、情景导入,初步认知
1.反比例函数有哪些性质?2.我们学会了根据函数解析式画函数图象,那么
你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗?
【教学说明】复习上节课的内容,同时引入新课.
二、思考探究,获取新知
L思考:已知反比例函数y=A的图象经过点P(2,4)
X
(1)求k的值,并写出该函数的表达式;
(2)判断点A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上;
(3)这个函数的图象位于哪些象限?在每个象限内,函数值y随自变量X
的增大如何变化?
分析:
(1)题中已知图象经过点P(2,4),即表明把P点坐标代入解析式成立,这
样能求出k,解析式也就确定了.
(2)要判断A、B是否在这条函数图象上,就是把A、B的坐标代入函数解析
式中,如能使解析式成立,则这个点就在函数图象上.否则不在.
(3)根据k的正负性,利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y
随X的值的变化情况.
【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.
2.下图是反比例函数y=&的图象,根据图象,回答下列问题:
(1)k的取值范围是k〉0还是k<0?说明理由;
(2)如果点A(-3,yι),B(-2,y2)是该函数图象上的两点,试比较yι,y2的大小.
分析:
(1)由图象可知,反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象
限内,在每个象限内,函数值y随自变量X的增大而减小,因此,k>0.
(2)因为点A(-3,y∣),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0,-2<0.所以点A、B
都位于第三象限,又因为-3<-2,由反比例函数的图像的性质可知:y.>y2.
【教学说明】通过观察图象,使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方
法.
三、运用新知,深化理解
L若点A(7,yι),B(5,y2)在双曲线y=--±,则yi、y2中较小的是.
X
【答案】y2
2.已知点A(xι,yι),B(X2,y2)是反比例函数y=勺(k>0)的图象上的两点,
X
若XlV0<X2,则有().
A.y1<O<y2B.y2<O<y∣C.y1<y2<OD.y2<y∣<O
【答案】A
3.若A(aι,bi),B(a2,b2)是反比例函数图象上的两个点,且aι<a2,则b∣
与b2的大小关系是()
A.bι<b2B.bι=b2C.b1>b2D.大小不确定
【答案】D
4.函数y=-L的图象上有两点A(xι,yι),B(x2,y2),若OVXlVX2,则()
X
A.y1<y2B.yι>y2C.yι=y2D.yi'y2的大小不确定
【答案】A
k
5.已知点P(2,2)在反比例函数y=-(kW0)的图象上,
X
⑴当x=-3时,求y的值;
(2)当l<x<3时,求y的取值范围.
解:(1):点P(2,2)在反比例函数V=&的图
X
象上,
2=ʒ-,≡PA-=4,
反比例函数的解析式为v=Λ
*X
当X=-3时,y=-ɪ.
(2),.∙当X=I时,>=4;当x=3时,「二?,
又反比例函数V=土在X>0时T值随Λ值的
X
增大而减小,
当1<x<3时,1的取值范围为WC<4.
3,
k
6.已知产一(k≠0,k为常数)过三个点A(2,-8),B(4,b),C(a,2).
X
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求a与b的值.
解:
(1)将A(2,-8)代入反比例解析式得:k=-16,则反比例解析式为y=-3;
X
(2)将B(4,b)代入反比例解析式得:b=-4;将C(a,2)代入反比例
解析式得:2=-3,即a=-8∙
a
7.已知反比例函数的图象过点(1,一2).
(1)求这个函数的解析式,并画出图象;
(2)若点A(—5,m)在图象上,则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在
图象上?
分析:
(1)反比例函数的图象过点(1,一2),即当x=l时,y=-2.由待定系数法可
求出反比例函数解析式;再根据解析式,通过列表、描点、连线可画出反比例函
数的图象;
(2)由点A在反比例函数的图象上,易求出m的值,再验证点A关于两坐标
轴和原点的对称点是否在图象上.
解:
(1)设:反比例函数的解析式为:y=-(k≠0).而反比例函数的图象过点(1,
X
-2),即当x=l时,y=-2.所以-2=彳,k=-2.即反比例函数的解析式为:
X999-4_ɔ—1-0.5♦♦・0.5124999
y・・♦0.5124・・・-4-2-1-0.5♦・・
ɔɔɔ
(2)点A(—5,m)在反比例函数y=——图象上,所以m=--=—,点A的
X-55
ɔ2
坐标为(一5,;).点A关于X轴的对称点(一5,一;)不在这个图象上;点A关于
ɔɔ
y轴的对称点(5,;)不在这个图象上;点A关于原点的对称点(5,一士)在这个图
象上;
【教学说明】通过练习,巩固本节课数学内容.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.
课后作业
布置作业:教材“习题1.2"中第7题.
教学反思
教学中,我深深地体会到:要想让学生真正掌握求函数解析式的方法,教师
应在给出相应的典型例题的条件下,让学生自己去寻找答案,自己去发现规律.
最后,教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围,以及一般应告知的
条件.在信息社会飞速发展的今天,教师要从以前的教师教、学生学的观念中解
放出来,教会学生如何学,让学生自己去探究,自己去学习,去获取知识.在《中
学数学课程标准》中明确规定:教师不仅是学生的引导者,也是学生的合作者.
教学中,要让学生通过自主讨论、交流,来探究学习中碰到的问题、难题,教师
从中点拨、引导,并和学生一起学习,探讨,才能真正做到教学相长,也才能真
正让每一个学生都学有所获.
第3课时反比例函数的图象与性质(3)
教学目标
【知识与技能】
1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题;
2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题.
【过程与方法】
经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.
【情感态度】
能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题,培养学生看图(象)、
识图(象)能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.
【教学重点】
理解并掌握一次函数,反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综
合问题.
【教学难点】
学会从图象上分析、解决问题,理解反比例函数的性质.
教学过程
一、情景导入,初步认知
1.正比例函数有哪些性质?
2.一次函数有哪些性质?
3.反比例函数有哪些性质?
【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习,让学生对它们的性质有系
统的了解.
二、思考探究,获取新知
1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P(-3,4),试求出它们
的表达式,并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解:设正比例函数,反比
例函数的表达式分别为y=k∣x,y=2淇中,kι,k2是常数,且均不为0.
X
由于这两个函数的图象交于P(-3,4),则P(-3,4)是这两个函数图象上的
点,即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此,4=kιX(-3),4=且解得,k>=--
—33
412
k2=-12所以,正比例函数解析式为y='x,反比例函数解析式为y=-上.函数图象
3X
如下图.
【教学说明】通过图象,让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用2
在反比例函数y=9的图象上取两点P(1,6),Q(6,1),过点P分别作X轴、
X
y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为Sl=;过点Q分别作X轴、y
轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2=;Sl与S2有什么关系?为
什么?
【归纳结论】反比例函数y=8(k≠0)中比例系数k的几何意义:过双曲
X
线y=8(k≠0)上任意一点引X轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积
X
为k的绝对值.
【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质,同时鼓
励学生用自己的语言进行表述,从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.
三、运用新知,深化理解
1.已知如图,A是反比例函数y=kx的图象上的一点,AB_LX轴于点B,且
△ABO的面积是3,则k的值是()
A.3B.-3C.6D.-6
分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所
围成的直角三角形面积S是个定值,即S=LIkI.
2
解:根据题意可知:SAAOB=Llkl=3,又反比例函数的图象位于第一象
2
限,k>0,则k=6.
【答案】C
2.反比例函数y=9与y=2在第一象限的图象如图所示,作一条平行于X轴
XX
的直线分别交双曲线于A、B两点,连接0A、0B,则AAOB的面积为()
A.-B.2C.3D.1
2
分析:分别过A、B作X轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BeLy轴,
点C为垂足,再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△
AOE.aBOC的面积,进而可得出结论.
解:分别过A、B作X轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BCjLy轴,点
C为垂足,Y由反比例函数系数k的几何意义可知,S四边形OEAC=6,SMOE=3,
,
SΔBOC=1,∙∙SΛAOB=S四边形OEAC-SΔAOE-SΛBOC=6-3-1=2.
【答案】B
3.已知直线y=x+b经过点A(3,0),并与双曲线y=&的交点为B(—2,m)
和C,求k、b的值.
解:点A(3,0)在直线y=x+b上,所以O=3+b,b=-3.一次函数的解析
式为:y=)也在直线y==—2—3=—5,即B(―2,-5).而点B(—2,—5)又在反
k
比例函数y=—上,所以k=—2X(—5)=10.
X
4.己知反比例函数y=∙^L的图象与一次函数y=k2X—1的图象交于A(2,l).
X
(1)分别求出这两个函数的解析式;
(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.分析:
(1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上,把A点的坐标代入这两个
解析式即可求出ki、k2的值.
(2)把点A关于坐标原点的对称点A'坐标代入一次函数和反比例函数解析
式中,可知A'是否在这两个函数图象上.
解:
(1)因为点A(2,l)在反比例函数和一次函数的图象上,所以kl=2×1=2.
l=2k2-l,k2=l.所以反比例函数的解析式为:y=4;一次函数解析式为:y
X
=X-1.
(2)点A(2,l)关于坐标原点的对称点是A'(—2,-1).把A'点的横坐标代入
反比例函数解析式得,y=2=-l,所以点A在反比例函数图象上.把A'点的
-2
横坐标代入一次函数解析式得,丫=-2—1=-3,所以点A'不在一次函数图象
上.
5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,l)和点B(a,-3a),a<0,且点B
在反比例函数的y=-3的图象上.
X
⑴求a的值.
(2)求一次函数的解析式,并画出它的图象.
(3)利用画出的图象,求当这个一次函数y的值在一lWyW3范围内时,相应
的,yi)、Q(m+l,y2)是这个一次函数图象上的两点,试比较yl与y2的大小.
分析:
(1)由于点A、点B在一次函数图象上,点B在反比例函数图象上,把这些
点的坐标代入相应的函数解析式中,可求出k、b和a的值.
(2)由(1)求出的k、b、a的值,求出函数的解析式,通过列表、描点、连线
画出函数图象.
(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题.
解:(1)反比例函数的图象过点Q(α,-3幻,
7
—3a=——a-土1,因为“<0,所以。=—
Cl1
1.B(-1,3).
又因为一次函数图象过点4(0,1)和
点B(-1,3).
所以(1=6,解得-=-2
pn,iλ,
l3=-k+b,^lb=ι,
即:一次函数的解析式为]∙=-2Λ+1.
一次函数和反比例函数的图象为:
(3)从图象上可知,当一次函数y的值在一lWy<3范围内时,相应的一1所
以yι-y2=(-2m÷1)—(—2m—1)=2>0,即yj>y2.
6.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y="的图象交于A、B两
X
点.
(1)利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的X的取值范围.
分析:
(1)把A、B两点坐标代入两解析式,即可求得一次函数和反比例函数解析式.
(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的,一次函数值大于反比
例函数值,反映在图象上,自变量取相同的值时,一次函数图象上点的纵坐标大
于反比例函数图象上点的纵坐标.
解:(1)观察图象可知,反比例函数7二:的
图象过点」(-2,1)M=-2x1=-2.
所以反比例函数的解析式为:y=二2.又点、B
'X
(1,Q)也在反比例函数图象上,Q=;=-2.即5
(1,-2).
因为一次函数图象过点4、R所以
卜-2Eμ=-ι,
∖-2=k+b,
一次函数解析式为:>=-Λ--1.
(2)观察图象可知,当:r<-2或0<“<l时,
一次函数的值大于反比例函数值.
【教学说明】检测题采取多种形式呈现,增加了灵活性,以基础题为主,也
有少量综合问题,可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.
课后作业
布置作业:教材“习题1.2”中第6题.
通过本节课的学习,发现了一些问题,因此必须强调:
教学反思
1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式,往往用待定系数
法.
2.观察图象,把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解
题.
1.3反比例函数的应用
教学目标
【知识与技能】
经历通过实验获得数据,然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程,体
会建模思想.
【过程与方法】
观察、比较、合作、交流、探索.
【情感态度】
体验数形结合的思想.
【教学重点】
建立反比例函数的模型,进而解决实际问题.
【教学难点】
经历探索的过程,培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.
教学过程
一、情景导入,初步认知
复习回顾
L什么是反比例函数?
2.反比例函数的图象是什么?
3.反比例函数图象有哪些性质?
4.反比例函数的图象对称性如何?
【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.
二、思考探究,获取新知
1.某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地,为了安
全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时
通道,从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗?
⑴根据压力F(N)、压强P(Pa)与受力面积S(π?)之间的关系式P=£,请你判
S
断:当F一定时,P是S的反比例函数吗?
(2)如人对地面的压力F=450N,完成下表:
受力面积S(m?)0.0050.010.020.04
压强P(Pa)
(3)当F=450N时,试画出该函数的图象,并结合图象分析当受力面积S
增大时,地面所受压强P是如何变化的,据此,请说出它们铺垫木板通过湿地的
道理.解:
(1)对于p=5,当F一定时,根据反比例函数的定义可知,p是S的反比
例函数.
(2)因为F=450N,所以当S=O.OO5m2时,由p=(得:p=450∕0.005=90000
(Pa)类彳以的,当S=0.0lm2⅛,p=45000Pa;当S=OQZn?时,p=22500Pa;当S=0.04m2
时,p=11250Pa
⑶当F=450N时,该反比例函数的表达式为p=450∕S,它的图象如下图所示,
由图象的性质可知,当受力面积S增大时,地面所受压强P会越来越小,因此,
该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强,从而可
2.你能根据玻意耳定律(在温度不变的情况下,气体的压强P与它的体积V
的乘积是一个常数K(K>0),即PV=K)来解释:为什么使劲踩气球时,气体会爆炸?
【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力,提高感知水平;
此外,在解决实际问题时,要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.
三、运用新知,深化理解
1.教材P15例题.
2.一个水池装水12π√,如果从水管中每小时流出xπ?的水,经过yh可以把
水放完,那么y与X的函数关系式是,自变量X的取值范围
是
【答案】y=匕;χ>0
X
3.若梯形的下底长为X,上底长为下底长的工,高为y,面积为60,则y与
X的函数关系是(不考虑X的取值范围).
【答案】y=-
X
4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进
行展示•设矩形的宽为,那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽X(Cm)之间
的函数关系的图象大致是()
【答案】A
5.下列各问题中两个变量之间的关系,不是反比例函数的是()
A.小明完成百米赛跑时,所用时间t(s)与他的平均速度v(m∕s)之间的关系
B.长方形的面积为24,它的长y与宽2)之间的关系
D.一个容积为25L的容器中,所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间
的关系
【答案】D
6.在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,测出每
一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表:
体积x/mL10080604020
压强τ∕kPa6075100150300
则可以反映y与X之间的关系的式子是().
“CCC∕~sC3000r6000
Aλ.y=3000xB.y=6000xC.y=-------D.y=------
XX
【答案】D
7.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案,如图所
示,设小矩形的长和宽分别为x、y,剪去部分的面积为20,若2WxW10,则y
与X的函数图象是()
【答案】A
8.一个长方体的体积是IOOCm3,它的长是y(cm),宽是5cm,高是)关于高
X(Cm)的函数关系式,以及自变量时,求长.
解:
20
d)y=-(χ>0);
X
(2)图象略;
(3)长为型cm.
3
【教学说明】用函数观点来处理实际问题的应用,加深对函数的认识.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.
课后作业
布置作业:教材”习题1.3”中第1、2、4题.
教学反思
本节课通过学生自主探索,合作交流,以认知规律为主线,以发展能力为目标,
以从直观感受到分析归纳为手段,培养学生的合情推理能力和积极的情感态度,促
进良好的数学观的形成.在教学手段上,本节课大量使用多媒体辅助教学,既能体
现知识的背景材料,又能一下子引起学生的注意力,有效地节省了时间,增大了课
堂容量.生动形象的动画演示,动感强,直观性好,既加深了学生的理解,又培养了学
生的抽象思维能力,同时也向学生渗透了归纳类比,数形结合的数学思想方法.
第2章一元二次方程
2.1一元二次方程
教学目标
【知识与技能】
探索一元二次方程及其相关概念,能够辨别各项系数;能够从实际问题中抽
象出方程知识.
【过程与方法】
在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型,体会方程
与实际生活的联系.
【情感态度】
通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生
学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
【教学重点】
一元二次方程的概念.
【教学难点】
如何把实际问题转化为数学方程.
教学过程
一、情景导入,初步认知
问题1:已知一矩形的长为200cm,宽150cm.在它的中间挖一个圆,使剩余
部分的面积为原矩形面积的34,求挖去的圆的半径xcm应满足的方程.(口取3)
问题2:据某市交通部门统计,前年该市汽车拥有量为75万辆,两年后增加到
108万辆,求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率X应满足的方程.你能列出相
应的方程吗?
【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境,又是本课一种很自然的
引入,为本课的探究活动做好铺垫.
二、思考探究,获取新知
1.对于问题1:找等量关系:矩形的面积一圆的面积=矩形的面积X3/4
列出方程:200X150-3X2=200×150×3/4①
对于问题2:
等量关系:两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量X(1+年平均增长率)2
列出方程:75(l+x)2=1082②
2.能把①,②化成右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形
式吗?让学生展开讨论,并引导学生把①,②化成下列形式:
①化简,整理得χ2-2500=0③
②化简,整理得25χ2+50x-11=0④
3.讨论:方程③、④中的未知数的个数和次数各是多少?
【教学说明】分组合作、小组讨论,经过讨论后交流小组的结论,可以发现
上述方程都不是所学过的方程,特点是两边都是整式,且整式的最高次数是2
次.
【归纳结论】如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边是只含有一个
未知数的二次多项式,那么这样的方程叫作一元二次方程,它的一般形式是:
ax2+bx+c=0,(a,b,c是常数且a≠0),其中a,b,c分别叫作二次项系数、一
次项系数、常数项.
4.让学生指出方程③,④中的二次项系数、一次项系数和常数项.
【教学说明】让学生充分感受所列方程的特点,再通过类比的方法得到定义,
从而达到真正理解定义的目的.
三、运用新知,深化理解
1.见教材P27例题.
2.下列方程是一元二次方程的有.
(1)X2+——5=0(2)X2-3xy+7=
X
(3)%+∖]x2-1=4(4)ms-2m+3=0
(5)ɪʌ-2-5=0(6)ax^-bx=4
【答案】(5)
3.已知(m+3)χ2-3m的取值范围是.
分析:一元二次方程二次项的系数不等于零.故mW—3.
【答案】m≠-3
4.把方程(l-3x)(x+3)=2χ2+l化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,
二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.
解:原方程化为一般形式是:5χ2+8χ-2=0(若写成一5x2—8x+2=0,则不符合
人们的习惯),其中二次项是5χ2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数
项是一2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式
系数的负号)∙
5.关于X方程m应满足什么条件?
分析:先把这个方程变为一般形式,只要二次项的系数不为O即可.
解:由m—3)-1≠0.
即mWL所以关于X的方程m应满足m≠l.
6.一元二次方程(x+l)2—χ=3(X2—2)化成一般形式是.
分析:一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=O(a≠0),对照一般形式可先去
括号,再移项,合并同类项,得2χ2-χ-7=0.
【答案】2X2-X-7=0
7.把方程一5χ2+6x+3=0的二次项系数化为1,方程可变为()
A.X2+6∕5X+3∕5=0B.X2-6χ-3=0
C.X2-6∕5X-3/5=0D.X2-6∕5X+3∕5=0
【答案】C
注意方程两边除以一5,另两项的符号同时发生变化.
8.已知方程(m+2)满足时,它是二元一次方程.
分析:当m+2=0,m=—2时,方程是一元一次方程;当m+2≠0,m≠
一2时,方程是二元一次方程.
【答案】m=-2m≠-2
9.某型号的手机连续两次降价,每个售价由原来的1185元降到了580元,
设平均每次降价的百分率为X,则列出方程为
【答案】1185(1-X)2=580
10.当常数a,b,c满足什么条件时,方程(a-l)χ2-bx+c=0是一元二次方程?
这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当常数a,b,c满足什么条件
时,方程(a-l)χ2-bx+c=0是一元一次方程?
解:当a≠l时是一元二次方程,这时方程的二次项系数是a-l,一次项系数
是-b;当a=l,b≠0时是一元一次方程.
【教学说明】这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中几个特征的
理解.进一步巩固学生对一元二次方程的基本概念.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.
课后作业
布置作业:教材“习题2.1”中第1、2、6题.
教学反思
本节课是一元二次方程的第一课时,通过对本节课的学习,学生将掌握一元
二次方程的定义、一般形式、及有关概念,并学会利用方程解决实际问题.在教
学过程中,注重重难点的体现.本节课内容对于学生整个中学阶段的数学学习有
着重大的意义,能否学好关系到日后学习的成败,因此必须要让学生吃透内容并
且要真正能消化.
2.2一元二次方程的解法
2.2.1配方法
教学目标
【知识与技能】
1.知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方
程.
2.学会用直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(Q0)的方程∙
3.理解“配方”是一种常用的数学方法,在用配方法将一元二次方程变形的过
程中,让学生进一步体会化归的思想方法.
【过程与方法】
通过探索配方法的过程,让学生体会转化的数学思想方法.
【情感态度】
学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦,并体验数学的价值,增强学
生学习数学的兴趣.
【教学重点】
运用配方法解一元二次方程.
【教学难点】
把一元二次方程转化为形如(x+n)2=d(dK))的过程.
教学过程
一、情景导入,初步认知
1.根据完全平方公式填空:
(1)x2+6x+9=()2
(2)x2-8x+16=()2
(3)x2÷10x÷()2=()2
(4)X2—3x÷()2=()2
2.前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法,解二元一次方
程组的基本思路是什么?(消元、化二元一次方程组为一元一次方程).由解二元一
次方程组的基本思路,你能想出解一元二次方程的基本思路吗?
3.你会解方程χ2+6)2=n(n为非负数)的形式吗?试试看.如果是方程2χ2
+l=3x呢?
【教学说明】学会利用完全平方知识填空,初步配方为后面学习打下基础.
二、思考探究,获取新知
1.解方程:X2-2500=0.
问:怎样将这个方程“降次”为一元一次方程?
把方程写成X2=2500
这表明X是2500的平方根,根据平方根的意义,得
X=J2500或X=-√2500
因此,原方程的解为xι=50,χ2=-50
【归纳结论】一元二次方程的解也是一元二次方程的根.
2.解方程(2x+l)2=2
解:根据平方根的有意义,得
2x+l=√∑或2x+l=-√Σ
因此,原方程的根为
3.通过上面的两个例题,你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程
呢?
【归纳结论】对于形如(x+n)2=d(d≥0)的方程,可直接用开平方法解.
直接开平方法的步骤是:把方程变形成(x+n)2=d(d>0),然后直接开平方
得x+n=G'和x+n=-√J,分别解这两个一元一次方程,得到的解就是原一元二
次方程的解.
4.解方程x2+4x=12
我们已知,如果把方程χ2+
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