高中数学-立体几何专项练习（含解析）

专题三立体几何专题

【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间

点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算.既有以选择题、填空题形式出现的

试题，也有以解答题形式出现的试题.选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、

空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载

体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，

综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.试题在突出对空间想象能力考查的

同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究.

【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视

图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空

间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等.

【例题解析】

题型1空间几何体的三视图以及面积和体积计算

例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为J7,在该几何体的正视图中，这

条棱的投影是长为痛的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是

长为。和力的线段，则a+匕的最大值为

A.2A/2B.2百C.4D.2旧

分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决.

解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为

m,n,k,由题意得J+左2=S，yjnr+k2=V6=>/?=1,

y/l+k2=a,Vl+m2=h,所以（4—1）+（〃-1）=6

=>a2+h2=8,•,.（a+。）2=a2+2ab+b2=8+2。。<8+。？+b2—16=。+/?<4当

且仅当。=〃=2时取等号.

点评：本题是课标高考中考查三视图的试题中难度最大的一个，我们通过移动三个试图

把问题归结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影，使问题获得了圆满的解决.

例2（2008高考山东卷、2009年福建省理科数学高考样卷第3题）下图是一个几何体

的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

A.9兀B.10兀C.11KD.12K

正视图侧前图

o

俯视图

分析：想像、还原这个空间几何体的构成，利用有关的计算公式解答.

解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是1,母线长是3,球的

半径是1,故其表面积是2%X1X3+2X%X『+4»XF=12〃，答案D.

点评：由三视图还原空间几何体的真实形状时要注意“高平齐、宽相等、长对正”的规则.

例3（江苏省苏州市2009届高三教学调研测试第12题）已知一个正三棱锥P-ABC的

3

主视图如图所示，若AC=BC=2,

2

pc=4e,则此正三棱锥的全面积为

分析：正三棱锥是顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心的三棱锥，根据这个主试

图知道，主试图的投影方向是面对着这个正三棱锥的一条侧棱，并且和底面三角形的一

条边垂直，这样就知道了这个三棱锥的各个棱长.

解析：这个正三棱锥的底面边长是3、高是指，故底面正三角形的中心到一个顶点的

距离是gx曰*3=百，故这个正三棱锥的侧棱长是+#2=3,由此知道这个

正三棱锥的侧面也是边长为3的正三角形，故其全面积是4x—x32=96，答案96.

4

点评：由空间几何体的一个视图再加上其他条件下给出的问题，对给出的这“一个视图”

要仔细辨别投影方向，这是三视图问题的核心.

题型2空间点、线、面位置关系的判断

例4（江苏苏州市2009届高三教学调研测试7）已知根，〃是两条不同的直线，aR为

两个不同的平面，有下列四个命题：

①若m_La,〃_L/?,mJ_〃，则aJL/；

②若相〃a,〃〃小，则a〃小

③若m1a,nllp,mLn,则a〃尸；

④若ml.a,n//1/0,则加_L〃.

其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）.

分析：根据空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐个作出判断.

解析：我们借助于长方体模型解决.①中过直线发〃作平面可以得到平面a,万所

成的二面角为直二面角，如图（1）,故aJL/?①正确；②的反例如图（2）；③的反例如

图（3）；④中由m_La,a/可得mJL/?,过〃作平面/可得〃与交线g平行，由于

根_Lg,故〃答案①④.

点评：新课标的教材对立体几何处理的基本出发点之一就是使用长方体模型，本题就是

通过这个模型中提供的空间线面位置关系解决的，在解答立体几何的选择题、填空题时

合理地使用这个模型是很有帮助的.

例5（浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第5题）设加方是两条不同的

直线，/，是两个不同的平面，下列命题正确的是

A.若工a,n///3,则a〃/?B.若机〃a,〃〃尸,a〃△则加〃〃

C.若〃z〃⑸a〃尸，则D.若机〃〃，机〃a,〃〃⑸则a〃/

分析：借助模型、根据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判断.

解析：对于a〃夕，结合机J_a,〃〃/，则可推得m_L〃.答案C.

点评：从上面几个例子可以看出，这类空间线面位置关系的判断类试题虽然形式上各异,

但本质上都是以空间想象、空间线面位置关系的判定和性质定理为目标设计的，主要是

考查考生的空间想象能力和对线面位置关系的判定和性质定理掌握的程度.

题型3空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算（文科解答题的主要题型）

例6.（2009江苏泰州期末16）如图所示，在棱长为2的正方体A6CO—中，E、

产分别为。08的

中点.

（1）求证：EF7/平面A3CQ］；

（2）求证：EF±B,C；

（3）求三棱锥Vq-EFc的体积.

分析：第一问就是找平行线，最明显的就是BQ；第二问转化为线面垂直进行证

明；第三问采用三棱锥的等积变换解决.

解析：（1）连结如图，在AOnB中，

E、F分别为RO,03的中点，则

EFHD}B

28<=平面48£2>=>成7//平面450〃.

EF<Z平面A3G4

(2)

B，上Bq6c，平面ABCQj

A6,4Cu平面48GRBQu平面ABCQjEF/1BD,1

ABBC\=B

(3)•.。尸，平面5。〃4，，。/?人平面67里且。尸=6/=血，

EF=；BD[=6B[F=《BF?+BB；=J(夜)2+*=娓,

4E=dB[D：+Df=J『+(2扬2=3

AEF2+B,F2=B[E2即NEFB1=90,

:・V斤EFC=VCTEF=1•SWKF,CF=；x；.EF♦B\F♦CF=；x；x6X娓XC=1

点评：这个题目也属于文科解答题的传统题型.空间线面位置关系证明的基本思想是转

化，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第二问是证

明线线垂直，但问题不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这

些线平行的直线归结到某个平面上，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但

证明线面垂直又得借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的.立体几何中的

三棱柱类似于平面几何中的三角形，可以通过“换顶点”实行等体积变换，这也是求点面

距离的基本方法之一.

例7.(江苏省苏州市2009届高三教学调研测试第17题)在四棱锥P-A6c。中，

ZABC=ZACO=90,NB4C=NC4D=60,%，平面ABC。，E为尸。的中

点，PA=2AB=2.

(1)求四棱锥P—A6C。的体积V；

(2)若尸为PC的中点，求证PC_L平面AE产；

(3)求证CE〃平面Q4B.

分析：第一问只要求出底面积和高即可；第二问的线面垂直通过线线垂直进行证明；第

三问的线面平行即可以通过证明线线平行、利用线面平行的判定定理解决，也可以通过

证明面面平行解决，即通过证明直线CE所在的一个平面和平面Q46的平行解决.

解析：(1)在RtAABC中，AB=l,NBAC=60,，8C=6，AC=2.

在RtAACO中，AC=2,NACZ)=60,二CO=2G,AO=4.

S^CD=3AB.BC+；AC.CD=^xlxV3+^x2x2>/3=|>/3.

则V=,X3G*2=3G.

323

(2)VPA=CA,R为PC的中点，AFLPC.

•••弘，平面ABC。，PA^CD,VACLCD,PAAC=A,.•.8_1_平面

PAC,：.CD±PC.

为尸。中点，尸为PC中点,EF//CD,则所J_CD,•；AFEF=F,

PC_L平面AE/7.

(3)证法一：

取A£>中点M,连EM,CM.则£M〃Q4,YEM平面243,PAu平面

PAB,

：.EM〃平面

在RtMCD中，NC4£>=60,AC=AM=2,：.ZACM=60.而N84C=60,

MC//AB.

•：MC(Z平面B4B,ABu平面B45,

...MC〃平面Q45.

VEM{MC=M,二平面EMC〃平面B4B.

ECu平面EMC>EC//平面PAB.

证法二：延长。C,A8,设它们交于点N,

连PN.NNAC=NDAC=6D,ACVCD,

••.C为NO的中点.•:E为PD中点、，：.EC〃PN.

•：EC<Z平面PAB,PNu平面PAB,

...EC〃平面PAB.

点评：新课标高考对文科的立体几何与大纲的高考有

了诸多的变化.一个方面增加了空间几何体的三视图、

表面积和体积计算，拓展了命题空间；另一方面删除了

三垂线定理、删除了凸多面体的概念、正多面体的概念

与性质、球的性质与球面距离，删除了空间向量，这就给立体几何的试题加了诸多的枷

锁，由于这个原因课标高考文科的立体几何解答题一般就是空间几何体的体积和表面积

的计算、空间线面位置关系的证明（主要是平行与垂直）.

题型4空间向量在立体几何中的应用（理科立体几何解答题的主要题型）

例8.（2009年福建省理科数学高考样卷第18题）如图，在棱长为2的正方体

ABC。—A4GA中，E、歹分别为和CG的中点.

（1）求证：EF〃平面ACA；

（2）求异面直线即与A5所成的角的余弦值;

（3）在棱上是否存在一点P,使得二面角P—AC—P的大小为30?若存在，求出

8P的长；若不存在，请说明理由.

【解析】解法一：如图分别以所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间

直角坐标系D-xyz,

由已知得0（0,0,0）、A（2,0,0）、6（2,2,0）、C（0,2,0）、与（2,2,2）、

0（0,0,2）E（l,0,2）、、F（0,2,1）.

（1）取AR中点G,则G（l,0,l）,

CG=（1,-2,1）,又所=（-1,2,-1）,

由EF=—CG,

二EF与CG共线.从而EF〃CG,

：CGu平面EFa平面AC。，〃平面4cA.

(2)VAB=(0,2,0),

4V6

cos〈EF,A免

\EF\-\AB\2"一3

.•.异面直线族与知所成角的余弦值为去

(3)假设满足条件的点尸存在，可设点P(2,2j)(0V1W2),平面ACP的一个法向

量为〃=(x,y,z),

,n-AC=0,/、/、-2x+2y=0,

则《,・・AP=(O,2,r)AC=(-2,2,0)

n-AP=0.2y+tz=0,

取〃=2).

t

易知平面ABC的一个法向量=(0,0,2),

依题意知,(3,力=30或150,

—，即£=3(2+4)，解得♦=逅.

cos(88,

2r4r3

半w(0,2],.•.在棱8用上存在一点P,当3P的长为彳时，二面角P—AC—3的

大小为30.

解法二：

(1)同解法一知所=(T,2,—I),明=(—2,0,2),AC=(-2,2,0),

EF=AC-^ADl,EF、AC.AD1共面.又•:跖■平面ACQ,EF//

平面Acq.

(2)^(3)同解法一.

解法三：易知平面ACQ的一个法向量是=(2,2,2).又•••£尸=(—1,2,—1),由

EF•DB]=()•,

EF±DB},而£尸.平面ACQ,ER〃平面ACQ.

(2)、(3)同解法一.

点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；

考查空间想像能力、推理论证能力和探索问题、解决问题的能力.利用空间向量证明线

面平行的方法基本上就是本题给出的三种，一是证明直线的方向向量和平面内的一条直

线的方向向量共线，二是证明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向量共面、根据

共面向量定理作出结论；三是证明直线的方向向量与平面的一个法向量垂直.

例9(浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第20题)已知几何体A-BCED的三

视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯

形.

(1)求异面直线0E与AB所成角的余弦值；

(2)求二面角A-ED-B的正弦值；

(3)求此几何体的体积V的大小.

【解析】(1)取EC的中点是F,连结则BEOE,.•.NEBA或其补角即为异

面直线DE与AB所成的角.在岫AF中，AB=，O

BF=AF=2卮：.cosNABF=半

.•.异面直线DE与AB所成的角的余弦值为乎.

(2)AC_L平面8C£,过。作CG_LOE交OE于G,连结AG.

可得DEL平面ACG,从而AG上DE,

...NAGC为二面角A-ED-B的平面角.

在RtMCG中，ZACG=90,AC=4,

CG=随tanZAGC=—

E

52

/.sinZAGC=—

3

...二面角A一四一3的的正弦值为好

3

(3)V=；-SBCED-AC=16,...几何体的体积V为16.

方法二：(坐标法)(1)以C为原点，

以C4,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

则A(4,0,0),8(0,4,0),0(0,4,2),£(0,0,4),

DE=(0,-4,2),AB=(-4,4,0),

cos<DE,AB>=--

5

.•.异面直线DE与AB所成的角的余弦值为半

(2)平面3DE的一个法向量为C4=(4,0,0),

设平面AOE的一个法向量为〃=(x,y,z),

n.LAD,nlDE,AD=(-4,4,2),DE=(0,-4,2)

/.小AD—0,〃.DE—0

从而-4x+4y+2z=0,Ty+2z=0,

2

令y=l,则〃=(2/,2),cos〈CA,〃>=—

3

二面角A-ED—3的的正弦值为好.

3

(3)V='SBCEAAC=16,.•.几何体的体积V为16.

点评：本题考查异面直线所成角的求法、考查二面角的求法和多面体体积的求法.空间

向量对解决三类角(异面直线角、线面角、面面角)的计算有一定的优势.对理科考生

来说除了要在空间向量解决立体几何问题上达到非常熟练的程度外，不要忽视了传统的

方法，有些试题开始部分的证明就没有办法使用空间向量.

【专题训练与高考预测】

说明：文科以选择题、填空题和解答题前三题为主.理科以选择题、填空题和解答题后

三题为主.

一、选择题

1.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为(不考虑接触点)

)

A.6+5/3+71B.18+y/3+4zrC.18+2>/34-7iD.32+%

1*7L।■*1/3*1

2.某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）

A.372+73B.血+36C.272-373D.30-2百

正视图左视图

凶

I•<—指fI

俯视图

3.已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则

此几何体的外接球的表面积为（）

A,幼B.二

33

4.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45,腰和上底长均为1的等腰梯

形，则这个平面图形的面积是（）

A.-+—B.1+—C.1+V2D.2+V2

222

5.一个盛满水的三棱锥容器S—A3C,不久发现三条侧棱上各有一个小洞。,£尸，且知

SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:\,若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（）

6.点尸在直径为2的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的

2倍，则这三条弦长之和为最大值是（）

277037704V1565/15

5555

7.正方体ABQ-4UC'。'中，AB的中点为M,£＞。的中点为N,异面直线B'V与CN

所成的角是（）

A.30B.90C.45D.60

8.己知异面直线。和人所成的角为50,P为空间一定点，则过点尸且与所成角都是30

的直线有且仅有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

9.如图所示，四边形A8CO中，AD//BC,AD=AB,ZBCD=45,ZBAD=90,将

△A5O沿3。折起，使平面上平面3CD,构成三棱锥A—3C。，则在三棱锥

A—6CO中，下列命题正确的是（）

A.平面ABD_L平面ABCB.平面ADCL平面皿C

C.平面ABC,平面BDCD.平面ADC_L平面ABC

10.设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；

②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y.z均为平面.

其中使“XJLz且y_Lz=x〃y”为真命题的是（）

A.③④B.①③C.②③D.①②

11.已知三条不重合的直线加、〃、/两个不重合的平面a、夕，有下列命题

①若，〃//〃,〃cza,则w//a；

②若/_La,4且/m,则a/3；

③若〃2ucr,/nucr,m/3,n\/?,则a（3；

④若aA.p,a（3=m,nu0,nLm,则“_La.

中正确的命题个数是（）

A.1B.2C.3D.4

12.直线AB与直二面角a-/-4的两个面分别交于A,B两点，且A,8都不在棱上，设直

线4?与平面a,4所成的角分别为。,夕，则。+8的取值范围是（）

A.（0,y）B.C.（全乃）D.{y}

二、填空题

13.在三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC=2,ZAPB=ZBPC=ZCPA=30,一只

蚂蚁从A点出发沿三棱锥的侧面绕一周，再回到A点，则蚂蚁经过的最短路程

是.

14.四面体的一条棱长为x,其它各棱长为1,若把四面体的体积V表示成x的函数/（x）,

则“X）的增区间为，减区间为.

15.如图，是正方体平面展开图，在这个正方体中：①与匹平行；②CN与

BE是异面直线；

③CN与8W成60角；④ZW与8N垂直.以上四个说法中，正确说法的序号

依次是.

16.已知棱长为1的正方体A8CD—4用GR中，E是的中点，则直线AE与平面

ABC.D,所成的角的正弦值是

三、解答题

17.已知，如图是一个空间几何体的三视图.

(1)该空间几何体是如何构成的；

(2)画出该几何体的直观图；

(3)求该几何体的表面积和体积.

18.如图，已知等腰直角三角形R8C,其中NRBC=90,RB=BC=2.点分别是

的中点，现将aMD沿着边AO折起到ARW位置，使连结PB、

PC.

(1)求证：BCA.PB；

(2)求二面角A—C。一P的平面角的余弦值.

19.如下图，在正四棱柱—中，点分别为A0,CG的

中点，过点三点的平面A、BMN交G4于点N.

(1)求证：EM平面A,gG2；

(2)求二面角8—AN—片的正切值；

(3)设截面A8MN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为乂,匕(匕＜匕)，求

V,:匕的值.

20.如图，在四棱锥P—A8CD中，底面为直角梯形，AD//BC,NBAD=9W,PA垂

直于底面ABC。，PA=AD=AB=2BC=2,M,N分别为PC,尸8的中点.

(1)求证：PB工DM；(2)求BO与平面AOMN所成的角；(3)求截面ADMN的

面积.

p

21.如图，正方形ACDE所在的平面与平面A6c垂直，M是CE和AO的交点，AC±BC,

且AC=6C.

(1)求证：AM_L平面£8。；

(2)求直线A3与平面EBC所成的角的大小；

(3)求二面角A—£6—C的大小.

22.已知斜三棱柱ABC—A4G，NBC4=90,AC=BC=2,%在底面ABC上的射

影恰为AC的中点。，又知BAt1AQ.

(1)求证：AG_L平面ABC；(2)求Cq到平面AAB的距离;

(3)求二面角A-A/-C的一个三角函数值.

【参考答案】

1.解析：C该几何体是正三棱柱上叠放一个球.故其表面积为

3x2x3+2x立x22+4%x仕］=18+2#+%.

4⑴

2.解析：B这个空间几何体的是一个底面边长为百的正方形、高为百的四棱柱，上半

部分是一个底面边长为行的正方形、高为血的四棱锥，故其体积为

V3x>/3xV3+-xV3xV3xV2=3^+72.

3

3.解析：C由三视图知该几何体是底面半径为1,高为g的圆锥，其外接球的直径为生叵.

3

4.解析：D如图设直观图为O'A'6'C',建立如图所示的坐标系，按照斜二测画法的规则，

在原来的平面图形中OCLQ4,且OC=2,BC=1,Q4=l+2x、一=1+J5,故

2

其面积为g-(l+2+&)-2=2+J5

5.解析：D当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多

A

VF_SDE3s^SD-SEsinZDSE^SD42214

SASB27

"C-SBgs与AB%^-SASBsmZASB^色3

4?3

最多可盛原来水得1-二=上.

2727

6.解析:A设三边长为x,2x,y,则5/+/=4,

令》=Jgcos®,y=2sine,.13x+y=3^cos^+2sin0<-1\/70.

7.解析：B如图，取A4'的中点P,连结BP,在正方形AB3'4中易证

8.解析：B过点P作a'|"，b'b,若Pwa,则取。为a',若Peb,则取匕为这时

屋，〃相交于P点，它们的两组对顶角分别为50和130.记"，//所确定的平面为a,

那么在平面a内，不存在与a，,。'都成30的直线.过点尸与a',〃都成30角的直

线必在平面a外，这直线在平面a的射影是a',6'所成对顶角的平分线.其中射影是50

对顶角平分线的直线有两条/和射影是130对顶角平分线的直线不存在.故答案选

B.

9.解析：D如图，在平面图形中CDL8D,折起后仍然这样，由于平面ABO,平面5CO,

故COJ_平面A8D,8,48,又43_1_4£>,故43，平面4。。，所以平面">。_1_

平面ABC.

10.解析：Cx、y、z均为直线，显然不行；由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故

②，可以使“xJ_z且yJ.z=x〃y”为真命题；又由于垂直于同一条直线的两个平面

平行，故③可以使“x_Lz且y_Lz=x〃y”为真命题；当x、y,z均为平面时，也

不能使“X_Lz且y_Lz=x〃y”为真命题.

11.解析：B①中有mua的可能；人机且/_La,可得小_La，又根■!尸，故a0,

②正确；③中当加|〃时，结论不成立；④就是面面垂直的性质定理，④正确.故两个

正确的.

12.解析：B如图，在A/7XADC中，AD=ABcos0,AC=ABsin(p,而A£>>AC,即

(7T\7TTT7T

cos6>sine=cos——°,故。<——夕，即。+夕<—，而当A8_L/时，9+(p=—.

(2J222

13.解析：2夜将如图⑴三棱锥P-A6C,沿棱Q4展开得图⑵，蚂蚁经过的最短路程

应是A4',又,：ZAPB=/BPC=NCPA=3。，ZA/W=90,A4,=2&.

14.解析:

15.解析：③④如图，逐个判断即可.

解析：孚取CO的中点/，连接所交平面A8GR于。，连40.由已知正方体,

16.

易知EO_L平面ASG",所以/E4O为所求.在RtAEOA中，E0=；EF=小1)=当,

AE=同+俨=且,sinNE4O=g°=典.所以直线AE与平面ABGR所成的角

V22A.E5

的正弦值为典.

5

17.解析：(1)这个空间几何体的下半部分是一个底面边长为2的正方形高为1的长方体,

上半部分是一个底面边长为2的正方形高为1的四棱锥.

(2)按照斜二测的规则得到其直观图，如图.

(3)由题意可知，该儿何体是由长方体ABCD—A'3'C'D'与正四棱锥P—A'3'C'。'

构成的简单几何体.

由图易得：AB=AD=ZAA'=\,PO'=\,取A'B'中点Q,连接PQ,从而

"Q=J尸。'2+。'。2所以该几何体表面积

SB'+B'C'+C'D'+D'A')PQ+(A'B'+B'C'+C'D'+D'A')AA'+AB-AD=472+12.

体积V=2x2xl+」x2x2xl=3.

33

18.解析：(1)..•点A、。分别是R3、RC的中点，...AD〃8C,AD=LBC.

/.ZPAD=ARAD=ZRBC=90APA±AD.：.PA±BC,

•••BC±AB,PAHAB=A,：.BC_L平面PAR：P3u平面PA及BC±PB.

(2)取HZ)的中点尸，连结PF.•：RA^AD^l,：.AF1RC.

•；AP±AR,AP±AD,：.APL平面HBC.

■:HCu平面RBC,：.RCLAP.

AFC]AP=A,：.火。_1平面24F.

PFu平面PAF,：.RC上PF.

NAFP是二面角A—8-P的平面角.

痣

在RtA/M£)中，AF=-RD=-ylRA2-^-AD2=---,

222

在RtA^4F中，PF=VPA2+AF2=—,

2

也

RAB

cosZAFP=^-=.

PF近3

...二面角A—CZ)—P的平面角的余弦值是土

3

/p

19.解析：(1)设A4的中点为尸，连结石£尸6.5

・w

,••七为48的中点，，"』；8片

AB

又三三「：「

C\MBB.EF&MC・・・四边形EMC.F为平行四边形.

：.EM|FC,.VEM<z平面A『CQ,FC,u平面A4GR,

EM平面

(2)作用“于“，连结,•••84，，平面AgGA，BH.

，NBHBi为二面角B-AN-Bi的平面角.

£M〃平面AgCQ,£A7u平面A^BMN,平面A、BMN-平面

：.EM4N.又：EMIFCi,；.ANFC「

又•••A/NG，••.四边形AFJN是平行四边形.NC|=AE.

设AA}-a,则A4=2a,D、N=a.

在RtAAQN中，%N=jAQj+[N?=#>a

sm^.A\NDi=sinAA.ND,———-―—产.

“'AN后

_2__4^

在RtAAA”中,BH=4gsinZ.H\B=2a・

}X军=五

在RtABB,H中，tanZBHB.=毁==—

卮4

(3)延长AN与8c交于P,则Pe平面A8WV,且Pe平面BgGC.

又•.•平面48WV，平面,

:.PwBM,即直线AN,4G,8V交于一点P.

又♦.•平面MNC、11〃平面氏44，.•.几何体MNC「BA'B1为梭台.

；SA418s,=].2a•a=矿，=--a--a=—a',

梭台MNC「BAB1的高为4cl=2a，

20.解析：（1）因为N是尸B的中点，所以ANJ.P8.由Z4_L底面A8CD,

得B4_LAD,

又ZBAD=9(f,即84_LAZ),AO_L平面PAB,所以A£>_LP3，,平

面AOA/V,APBA.DM.

(2)连结。N,因为平面AOMN,即平面ADMN,所以ZBZW是5。

与平面ADMN所成的角.在RtMBD中,BD=yjBA1+AD2=2J5,在RtAE4B

中，PB=\IPA2+AB2=2x/2,故BN=-PB=y/2,在RtABDN中，

2

sinZBDN=—=~,又bWNBDN勺三,故8。与平面AOMN所成的角是乙.

BD226

(3)由M,N分别为PC,PB的中点，得MN"BC,且MN=,BC='，又

22

AD//BC,故MNHAD,

由(1)得AO_L平面PA8,又4Vu平面PA8,故AD_L4V,.•.四边形ADMN是

直角梯形，

在氏AR4B中，PB=yjPA2+AB2=272,AN=-PB=y/2,截面4)肱V的

2

面积S=L(MN+AO)XAN='(4+2)XV^=^.

2224

p

法二：(1)以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A-孙z,如图所示(图略)

由PA=AD=AB=2BC=2,得4(0,0,0)

P(0,0,2),B(2,0,0),M(1,；,1),0(0,2,0)

因为PBDM=(2,0,—2)(l,—3,l)=0,所以PBLDM.

2

(2)因为F5-AD=(2,0,-2).(0,2,0)=0,所以尸3_LAD,又PB工DM,

故，平面ADMN,即P8=(2,0,-2)是平面ADMN的法向量.

设8。与平面ADAW所成的角为6,又5。=(―2,2,0).

则sin0=|cos<8。,PB>|=叩1-41

\BD\\PB\，4+4xJ4+42

又。€[0,工]，故6=工，即8。与平面AOMN所成的角是王.

266

TT

因此8。与平面A£>MN所成的角为一.

6

(3)同法一.

21.解析：法一：(1)•.•四边形ACDE是正方形，：.EA±AC,AM1EC.

•••平面ACOEL平面ABC,又.•.3C_L平面EAC.

•.•4Mu平面EAC,BC1AM.二AM_L平面E8C.

(2)连结BAf,平面EBC,.•.NZBM是直线AB与平面E6C所成的角.

设£A=AC=8C=2a,则AM=亿，AB=2叵a,；.sinZABM=^=L,

AB2

:.ZABM^30°.即直线AB与平面E5C所成的角为30。

(3)过A作AHJ.EB于”，连结HW.•.•A"_L平面ESC,二砂，

平面.•.NAHM是二面角A-£8—C的平面角.

•.•平面ACDEL平面ABC,.・.£XJ_平面ABC.：.EA±AB.

在R腐A3中，AH上EB,有AE，AB=EB-AH.

由(2)所设£A=AC=BC=2a可得AB=20a，EB=243a,

AEAB2y[2a

AH

EB-M

smZAHM=—=—ZAHM^60°.二二面角A—EB-C等于60。.

AH2

法二：•.•四边形ACDE是正方形，：.EA±AC,AM±EC,:•平面AC£>£_1平面

ABC,.・.E4,平面ABC,.•.可以以点A为原点，以过A点平行于8c的直线为x

轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系4-邙.

设EA=AC=BC=