高中数学-19 切比雪夫（以切比雪夫为背景的高中数学考题题组训练）原卷版

【高中数学数学文化鉴赏与学习】

专题19切比雪夫

(以切比雪夫为背景的高中数学考题题组训练)

一、单选题

1.一般地，存在一个〃次多项式与。)，使得cosnx=《(cosx),这些多项式月⑺称为

切比雪夫多项式.如由cos2x=2cos2x-l,知cos2x可以表示为COSX的二次多项式对

于cos3x,通过运算，我们可以得到COS3X=4COS3X-3COSX,从而得到cos3x的切比

雪夫多项式.根据已知结论计算sinl8。的值()

A>/6-\[2口>/5—1「\[5+1

D-772-1

448

2.在平面直角坐标系中，定义或48)=|百一々|+»-%1为两点44)1)、的

“切比雪夫距离”，又设点P及直线/上任意一点Q,称或只。)的最小值为点P到直线/

的''切比雪夫距离”，记作“(户,/),给出下列三个命题：

①对任意三点A、B、C,都有d(GA)+d(C,B)Zd(A8)；

②已知点P(3,l)和直线/：2x-y-l=0,则d(P,/)=34；

③定义。(0,0),动点P(x,y)满足以尸,。)=1,则动点P的轨迹围成平面图形的面积是

4；

其中真命题的个数()

A.0B.1C.2D.3

3.切比雷夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差E:对任意的函数

y=|/(x)-(6+力|的最大值为E,即£=探凶/(》)-3+。)|,把使E取得最小值时的

直线y=6+〃叫切比雪夫直线，已知/(x)=Y,xe[-l,2],有同学估算出了切比雪夫

直线中x的系数〃=1,在这个前提下，6的值为()

I_711

A.-B.1C.-D.—

488

4.由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式，对于

cos3%,我们有

cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx=(2cos2x-1)cosx-2sinxcosxsinx=4cos3x-3cosx

,可见cos3x也可以表示为cosx的三次多项式.一般地，存在一个〃次多项式2(。，使

得8s/tr=e(8sx),这些多项式与⑺称为切比雪夫(PLTschebyschelf)多项式.(提

示：18°x3=90°-18°x2)如图，在等腰二ABC中，已知NB4c=54。，AB=AC,且

5.由倍角公式cos2x=2cos2x-l,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式.--般

地，存在一个〃次多项式匕⑺，使得cos〃x=2(cosx)这些多项式心⑺称为切比雪夫

(P.L.Tschebyscheff)多项式.例如cos2x=£(cosx)=2cos2x-l,记作鸟(1)=2/-1.利

用6(。求得sinl8o=()

A>/5-1R3-y/50-75—1n\[5+1

4228

6.某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在

随机变量X的期望E(X)和方差O(X)存在但其分布末知的情况下，对事件

的概率作出上限估计，其中€为任意正实数.切比雪夫不等式的形式

为：P(|X-E(X)|孱)/(D(X),^),其中/(D(X),£)是关于。国)和£的表达式.由

于记忆模糊，该同学只能确定“O(X),£)的具体形式是下列四个选项中的某一种.请

你根据所学相关知识，确定该形式是()

2

1£D.空

A.D(X)s2B-Z)(X"2c-------------

D(X)£

7.在平面直角坐标系中，定义d(AB)=max{|N-x2|,|)\-%l}为两点A(X1,%)、

伙吃,当)的“切比雪夫距离”，又设点尸及/上任意一点。，称4只。)的最小值为点尸到

直线/的“切比雪夫距离”，记作或尸,/),给出下列三个命题：

①对任意三点A、B、C,都有或C,4)+d(C,d(A,B)；

4

②已知点尸(3,1)和直线/：2x-y-l=0,则以p,/)=g；

③定点£(-c,。)、玛9,0),动点P(x,y)满足|d(P,甲-d(PM)|=2a(2c>2a>0),

则点p的轨迹与直线y=&（k为常数）有且仅有2个公共点；

其中真命题的个数是

A.0B.1C.2D.3

8.在平面直角坐标系中，定义”（A,8）=max｛W-/|,|乂-丫2|｝为两点M）、8

（马，％）的“切比雪夫距离”，又设点P及/上任意一点Q,称d（P，0的最小值为点P到

直线/的“切比雪夫距离“，记作"（尸，/）,给出下列三个命题：

①对任意三点A、B、C,都有d（C,A）+d（C,B）>d[A,B）；

Q

②已知点P（2,l）和直线/：x-2y-2=0,则d（P,/）=1；

③定点耳（-。，0）、K（c，0）,动点尸（x,y）满足卜（尸，玲-d（P,工）|=2a（2c>2a>0）,则

点尸的轨迹与直线y=k（k为常数）有且仅有2个公共点.

其中真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

9.在平面直角坐标系中，定义d（4B）=max｛k-司，加-必|｝为两点A（XI，M），

8*2，%）的“切比雪夫距离”,并对于点的与直线/上任意一点。,称"（EQ）的最小值

为点P与直线/间的“切比雪夫距离”，记作d（P「）,给定下列四个命题：

P”对于任意的三点A,B,C,总有d（C,4）+d（C,8）Wd（A,B）；

%：若点P（3，l）,直线/：2x-y-l=0,则d（P,/）=g；

P｝:满足或O,M）=C（C>0）的点M的轨迹为正方形；

几：若点片（-C，。），g（c,0）,则满足|"（P,幻-4①,6）|=2〃（2024>0）的点加的

轨迹与直线丫=%（左为常数）有且仅有2个公共点；则其中真命题的个数为

（）

A.1B.2C.3D.4

10.在平面直角坐标系中，定义〃（4,3）=1112这｛归-叼,|%-必|｝为两点

4（再,*）、B（孙力）的“切比雪夫距离”，又设点P及I上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值

为点尸到直线/的“切比雪夫距离”记作”（「,/），给出下列四个命题：

①对任意三点AB,C,都有"（C,A）+d（C,8）2d（A,8）；

4

②已知点P（3,D和直线/：2x-y-l=0,则d（P,/）=g；

③到原点的“切比雪夫距离'’等于1的点的轨迹是正方形；

其中真命题的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

11.在平面直线坐标系中，定义或A台上皿曲心-讣回-必|｝为两点

A（%,yj、B（X2,必）的“切比雪夫距离”，又设点P及/上任意一点Q,称“（P，。）的最

小值为点P到直线/的“切比雪夫距离''记作d（P，/），给出下列四个命题：（）

①对任意三点A、B、C,都有d（C,A）+d（C,B）>d（A,B）；

A

②已知点P（3,1）和直线/：2x-y-1=0,则“（P,/）=§；

③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；

④定点耳（一。，0）、玛（c，0），动点P（x，y）满足|〃（P，R）-d（P,K）|=2a（2c>2a>0）,贝l]

点尸的轨迹与直线y=k（k为常数）有且仅有2个公共点.

其中真命题的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

12.在平面直角坐标系中，定义4（48）=坤｛寓-以|%-%|｝为两点A（X|,y），

的“切比雪夫距离”，又设点尸及/上任意一点。，称”（EQ）的最小值为点尸到

直线/的“切比雪夫距离”，记作d（P/），给出下列三个命题：

①对任意三点A、B、C,都有d（C,A）+d（C,B）Wd（A,B）；

4

②已知点尸（31）和直线/：2x-y-l=O,则4（P,/）=§；

③到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.

其中正确的命题有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、多选题

13.由倍角公式cos2x=2cos2x-l,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式.-一般

地，存在一个“（"wN"）次多项式/；,«）=/+卬+4产+…+4/"（旬,。|,。2,©R），使

得cosnx=/；(cosx),这些多项式乙⑺称为切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多项

式.则()

A.G(f)=4「-3zB.当〃23时，4=0

C.-----l-an|<2D.sin18°=^^

14.由倍角公式cos2x=2cos2x—1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式.一般

地,存在一个“("WN*)多项式使得尸〃⑺=。0+。"+。2卢+...+加5(劭,ai,“2,

an&R),使得cos〃x=9,(cosx),这些多项式P”⑺称为切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)

多项式.则()

A.2(。=4p—3/B.当论3时，％=0

C.q+a,+%+“4=1D.sin18?=―-

4

15.由倍角公式cos2x=2cos?x-l,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式.一般

地，存在一个"(〃eN*)次多项式匕。)=引"+即"-1+生产+…+可

(a^a^a^---a,,eR),使得cosnx=匕(cosx),这些多项式匕⑺称为切比雪夫

(P.L.TXMebgc/?如多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得()

A.々(f)=-4/+3rB.E(f)=8/-8/+l

C.sinl8°=叵1nioo逐+1

D.cosl8=--------

44

三、填空题

16.切比雪夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差E：对任意的函数

y=|〃x)-(ox+b)|的最大值为E,即E=max|/(x)-(ox+。)卜把使E取得最小值时的

直线y=or+6叫切比雪夫直线，己知/(x)=f,XG[-1,2],有同学估算处了切比雪

夫直线中x的系数。=1,在这个前提下，6的值为.

17.以俄国著名数学家切比雪夫(八动助加"?办1821-1894)的名字命名的第一类切

比雪夫多项式Z,(x)和第二类切比雪夫多项式q(x),起源于多倍角的余弦函数和正弦

函数的展开式，是与棣莫弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中

的特殊函数.力力有许多良好的结论，例如：①7；(x)=x,4(x)=2f-l,对于正

整数”23时，有((同=2.7；_1(力-7；-2(月成立，②V，eR,7；(cos，)=cos”6成

立.由上述结论可得《（cosl8°）的数值为.

18.在平面直角坐标系中，定义4（48）=111”｛忱-司加-力|｝为两点4（5,），1）、

8（孙％）的“切比雪夫距离”，又设点P及/上任意一点2,称d（P，。）的最小值为点尸到

直线/的“切比雪夫距离“，记作“（户,/）,给出四个命题，正确的是.

①对任意三点A、B、C,都有d（C,4）+d（C,B）Nd（4,B）；

②到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；

4

③已知点P（3』）和直线/：2x-y-l=0,则=

④定点耳（—0）、鸟（G0）,动点P（x,y）满足（「，初|=2«（2c>2a>0）,

则点尸的轨迹与直线y=k（々为常数）有且仅有2个公共点.

四、双空题

19.任何一个复数2=a+沉（i为虚数单位，a,bwR）都可以表示为

z=r（cose+isin9）（r20,6eR）的形式，通常称之为复数z的三角形式.瑞士著名数学

家欧拉首先发现cos6+ising=e2（e为自然对数的底数），此结论被称为“欧拉公式”，

它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.因此可得

（cosS+isin。）"=e"e=cos/+isin”，.由复数相等可知对V：〃eN*,存在一个关于t

的〃次多项式巴,«）=。/'+61一/1+―+印+%3）,《”..,4“€刈使得8$巾=匕（8$》），

这样的多项式被称为“切比雪夫多项式"，由cos2x=2cos2x-l知鸟⑺=2/-1,则

鸟⑴=;运用探求切比雪夫多项式的方法可得cos36*.

五、解答题

20.由倍角公式cos2x=2cos2x-l，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式.对于

cos3x,我们有

cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-