重庆市荣昌中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

荣昌中学高2025届高二下期第一次教学检测数学试题全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若数列满足，则（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题中递推公式令，，代入运算求解即可.【详解】因为，令，可得，则；令，可得，则.故选：D.2.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知函数的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，从而求解．【详解】观察函数的图象知：当时，单调递增，且当时，，随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，，，，而（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，，又是割线AB的斜率，显然，所以.故选：B3.如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B4.若函数，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数的运算法则求出f′（x），令x＝1可得f′（1）＝2f′（1）+2，计算可得f′（1），得到f′（x）、f（x）的解析式，代入x=1,即可得答案．【详解】f′（x）＝2f′（1）+2x，令x＝1得f′（1）＝2f′（1）+2，∴f′（1）＝﹣2，∴f′（x）＝2x4，∴f′（1）＝6,又，∴故选C．【点睛】本题考查求函数的导函数值，先求出导函数，给导函数中的x赋值是解题的关键．5.已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求导，利用二次方程有两个不相等的实数根即可由判别式求解.【详解】∵，∴，∵函数既存在极大值，又存在极小值，∴导函数有两个不相等的变号零点，∴，即，解得或．∴实数的取值范围是，故选：B．6.下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知图形把的坐标用含有的代数式表示，把的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的定义与性质分别求出离心率后比较大小可得结论.【详解】由图①知，，由图②知，点在椭圆上，，则，整理得，解得，由图③知，在椭圆上，，则，整理得，，故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义、离心率及简单性质，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．7.已知，，，则有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】函数，则，确定函数的单调性，通过单调性可确定大小.【详解】把a，b，c变形得，，，所以构造函数，则.，令，则在上恒成立，所以在区间上单调递增，因为，所以在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，即.故选：C.8.若恒成立，则实数的最大值为（）A. B.2 C.1 D.【答案】D【解析】【分析】先确定时的情况，在当时，参变分离可得，构造函数，求出函数的最小值即可.【详解】当时，，不等式成立；当时，恒成立，即，令，则，因为时，（后证）所以当时，，单调递减，当时，，单调递减，故，所以，即实数的最大值为.证明当时，，令，，则，则在上单调递增，所以，即.故选：D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据求导法则以及基本初等函数的求导公式即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,,故A错误，对于B，，故B正确，对于C，，故C正确，对于D，，故D错误，故选：BC10.函数，则下列说法正确的是（）A.在处有最小值 B.是的一个极值点C.在上单调递增 D.当时，方程有两异根【答案】AC【解析】【分析】根据函数，求导数确定函数的单调性，即可得函数的极值点与函数取值情况，逐项判断即可得答案.【详解】，，所以，令，则恒成立，所以在上单调递增，又，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以在处有最小值，且是的极小值点，故A，C正确，B不正确；由于，且，故当时，方程只有一个根，故D不正确.故选：AC.11.如图，是一块半径为的圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆其直径为前一个剪掉半圆的半径得图形，，，，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用列举前几项的方法，判断AB；根据列举的规律，写出，再求和，判断C；利用与的关系，即可判断D.【详解】根据图形生成的规律可知，，，，故A正确；，，，故B正确；

根据题意可知，图形中被剪去的最小的半圆的半径为，

所以当故C错误；

根据题意可知，图形中被剪去的最小的半圆的半径为，，故D正确．故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过列举的方法，发现图形间的规律，转化为数列问题，进行数学计算.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的图象在点处切线的方程为___________.【答案】【解析】【分析】利用导数求得切线方程.【详解】切点，，故切线方程为，即.故答案为：13.已知函数f（x）＝在上是减函数，则实数a的取值区间是___【答案】【解析】【分析】转化为导函数小于等于0恒成立即可.【详解】函数在上是减函数，在上恒成立，，即，解得，实数的取值范围是，故答案为：.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则双曲线的离心率为______.【答案】##【解析】【分析】设，则，，根据双曲线的定义得到，即可得到，在中利用余弦定理求出，在中利用余弦定理求出、的关系，即可求出离心率.【详解】依题意设，则，，又，则，所以，在中由余弦定理可得，在中由余弦定理可得，即，所以，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设曲线在点处的切线方程为（其中，a，，是自然对数的底数）.（1）求a，b的值；（2）求在区间上的最大值和最小值.【答案】15.，16.最大值为，最小值为0【解析】【分析】（1）根据切线斜率和切点在切线上列式计算即可；（2）利用导数求出函数的单调区间，然后比较端点值和极值即可求解最值.【小问1详解】由得，依题可得：，所以.又，所以，所以，.【小问2详解】由（1）知，则，令，解得或2，令，解得，令，解得或.所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.又，，，，故在区间上的最大值为，最小值为.16.已知数列的前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题中已知条件，得出时，此两式作差整理即可得到所满足的关系，从而可求出数列的通项公式得到所求；（2）根据数列的通项可知利用错位相消法进行求和，从而可求出数列的前项和.【小问1详解】∵，当时，，∴，当时，，①，②①②得即，∵，∴，∴，∴是以首项为2，公比为2的等比数列，则，∴；【小问2详解】由上可知：，所以，，∴，∴.17.如图，在斜三棱柱中，所有棱长均相等，O，D分别是AB，的中点．（1）证明：平面；（2）若，且，求平面与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于点E，连接OE，，可得四边形为平行四边形，则有，利用线面平行的判定定理可证得平面；（2）可证得平面ABC，以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成二面角的余弦值.【小问1详解】连接交于点E，连接OE，，∵O，E分别是AB，的中点，D为的中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴．∵平面，平面，∴平面．【小问2详解】连接OC，∵，∴为正三角形，∴，∵，且，∴平面ABC，∵△ABC是正三角形，∴CO⊥AB．以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，由，可得．则，，，设平面的法向量为，∴，即，令，∴，设平面的法向量为，∴，即，令，∴，设平面与平面所成的角为，则，即平面与平面所成角的余弦值为．18.已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率是，P为椭圆上的动点.当P在椭圆上顶点时，的面积是.（1）求椭圆的方程；（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】(1)根据余弦定理和基本不等式确定点为短轴端点时，取得最大值，再根据三角形的面积即可求得；(2)对直线的斜率分存在和不存在分类讨论，当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，利用数量积和韦达定理即可求得；【小问1详解】依题意可得，设，由余弦定理可知：，所以，当P在椭圆上顶点时的面积是，同时，联立和解得，，，所以椭圆方程为.【小问2详解】（2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，所以，，原点O到直线1的距离为d，此时，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，原点O到直线1的距离为d，所以，整理得，由，可得，，，，，恒成立，即恒成立，所以，所以，所以定圆C方程是所以当时，存在定圆C始终与直线l相切，其方程是.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，若方程有两个不等实根，证明：．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，，讨论与时导函数的正负，来确定函数单调区间．（2）有两个不等实根，设，且，构造,，再根据函数单调性证明即可．【小问1详解】函数定义域为，时，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；时，令得，当时，当时，；当时，，所以在上