24.4弧长和扇形面积教师版

★★★☆☆☆24.4弧长和扇形面积★★★☆☆☆【过关笔记】三、弧长公式在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是2πR360，即πR180。于是n°的圆心角所对的弧长为l=注意：在弧长公式中，n和180都不带单位“度”。四、扇形的面积公式1.定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。如图，阴影部分扇形记做扇形OAB，白色部分扇形记做扇形OACB。2.扇形面积公式（1）在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积是（2）用弧长表示扇形面积为S扇形=12五、圆锥1.概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体。2.母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。如图，PA和PB。3.圆锥侧面展开图：沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，可以得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形；所以圆锥底面圆周长=侧面展开扇形的弧长4.r2+h2=母线2；5.圆锥的侧面积和全面积：S侧=πr母线；S全=πr母线+πr2【成长例题】例题11一个扇形的半径长为5，且圆心角为60°，则此扇形的弧长为π例题12一个扇形的弧长是cm，半径是6cm，则此扇形的圆心角是36度例题13已知扇形的弧长为8π，圆心角为60°，则它的半径为24例题14（19•鞍山）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为2π．14图22图例题21有一个半径为3的圆中画一个扇形，圆心角为120°，该扇形面积为3π 例题22如图，扇形的弧长是20π，面积是240π，则此扇形的圆心角的度数是150°．例题23（19•锦州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为．23图31图例题31（2019·一中·月考）如图，一张扇形纸片OAC，∠AOC＝120°，OA＝8，连接AB，BC，AC，若OA＝AB，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．例题32如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为2π．32图33图例题33（2020·十七中·期中）如图，将一块实心三角板和实心半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一直角边与量角器的零刻度线所在直线重合，斜边与半圆相切，重叠部分的量角器弧对应的圆心角（∠AOB）为120°，BC的长为2，则三角板和量角器重叠部分的面积为．例题34（2020·七中·期中）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（D）A． B． C．2 D．2例题41（2019·育才·第三次月考）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的侧面积为6π．例题42（2020·一中·月考）圆锥的母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是216度．例题43在学校组织的实践活动中，小明同学制作了一个圆锥模型，它的底面半径为5，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的母线长为10例题44（19•营口）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216°，母线长为5，该圆锥的底面半径为3．【过关练习】练习11一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为9cm练习12已知圆锥的底面半径为20，侧面积为600π，则这个圆锥的母线长为30．练习13（2019·一中·月考）若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为8cm的半圆，则该圆锥的底面半径为4cm．练习14（2020·十七中·期中）若一个圆锥的底面圆的半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（B）A．90° B．120° C．150° D．180°练习15（2019·育才·期中）如图，用一个半径为20cm，面积为150πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计接头损耗），则圆锥的底面半径r为7.5cm．15图16图练习16如图1，OC是⊙O的半径，弦AB垂直平分OC，垂足为点D，AB＝6cm，连接OA，OB，将图中阴影部分的扇形OAB剪下围成一个圆锥的侧面（如图2），则圆锥的底面圆半径是2cm．练习17把一个半径为3cm的圆片，剪去一个圆心角为120°的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥，那么这个圆锥的高为5cm．练习18（2020·七中·期中）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝4，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l的长为12．18图21图22图练习21如图，点A、B在⊙O上，且AO＝2，∠AOB＝120°，则阴影部分面积为﹣．练习22（2020·十七中·期中）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（A）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．4π﹣4 D．4π﹣8练习23（2020·一中·月考）如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，若AB＝2cm，⊙O的半径为2cm，则阴影部分的面积是（12﹣3﹣π）cm2．（结果保留根号和π）23图24图练习24（2019·育才·第三次月考）14．（3分）（2018•平邑县一模）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为π．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AB＝4，AC＝2，∴BC扫过的面积为：＝π，练习31（2020·七中·期中）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED；（2）∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，∴．练习32（2019·育才·第三次月考）如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．（1）求证：EF与⊙O相切．（2）若EF＝2，AC＝4，求扇形OAC的面积．【解答】（1）证明：如图1，连接OE，∵OD＝OE，∴∠D＝∠OED，∵AD＝AG，∴∠D＝∠G，∴∠OED＝∠G，∴OE∥AG，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵EF∥AB，∴∠BAF+∠AFE＝180°，∴∠AFE＝90°，∵OE∥AG，∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，∴OE⊥EF，∴EF与⊙O相切；（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，∵AC＝4，∴CH＝，∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，∴四边形OEFH是矩形，∴，在Rt△OHC中，OC＝＝＝4，∵OA＝AC＝OC＝4，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴S扇形OAC＝＝．

24.4作业一．选择题（共10小题）作业1如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（）A．6 B．9﹣ C． D．25﹣3【解答】解：如图：过O作OG⊥AB于G，根据垂径定理有：AG＝BG，设AC＝2a，则CB＝4a，CG＝a，GB＝3a，在Rt△OCG中，OC2＝OG2+CG2＝OG2+a2①在Rt△OBG中，OB2＝OG2+GB2＝OG2+9a2②又OC＝3，OB＝5，代入①②中，解方程得：a2＝2，OG2＝7．所以圆心到弦的距离是．故选：C．作业2如图，在⊙O中，∠B＝37°，则劣弧的度数为（）A．106° B．126° C．74° D．53°【解答】解：连接OA，∵OA＝OB，∠B＝37°∴∠A＝∠B＝37°，∠O＝180°﹣2∠B＝106°．故选：A．作业3如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于（）A．140° B．130° C．120° D．110°【解答】解：∵∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，∴∠AOC＝2∠ABC＝140°；故选：A．作业4有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选：B．作业5如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P的度数为（）A．120° B．90° C．60° D．75°【解答】解：连接OA、OB．在四边形PAOB中，由于PA、PB分别切⊙O于点A、B，则∠OAP＝∠OBP＝90°，又∠AOB＝2∠E＝120°，∠P＝60°．故选：C．作业6△ABC的内切圆⊙O和各边分别相切于D，E，F，则O是△DEF的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OD＝OE＝OF，∴点O是△DEF的外心，∴O是△DEF三边垂直平分线的交点；故选：D．作业7已知正六边形的边长为10cm，则它的边心距为（）A．cm B．5cm C．5cm D．10cm【解答】解：如图，∵在正六边形中，OA＝OB＝AB，∴在Rt△AOG中，OA＝AB＝10，∠AOG＝30°，∴OG＝OA•cos30°＝10×＝5．故选：C．作业8正六边形的半径为R，则它的边心距为（）A．R B．R C．R D．R【解答】解：如图所示，∵正六边形的半径是OA＝OB＝R，∴∠AOB＝（）°＝60°，∠AOD＝∠AOB＝30°，∴OD＝OA•cos30°＝R．故选：B．作业9现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为（）A．9° B．18° C．63° D．72°【解答】解：20π＝解得：n＝90°，∵扇形彩纸片是30%圆周，因而圆心角是108°∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°﹣90°＝18°．剪去的扇形纸片的圆心角为18°．故选：B．作业10如图，把⊙O1向右平移8个单位长度得⊙O2，两圆相交于A、B，且O1A⊥O2A，则图中阴影部分的面积是（）A．4π﹣8 B．8π﹣16 C．16π﹣16 D．16π﹣32【解答】解：根据勾股定理可得：O1A2+O2A2＝2AO12＝2AO22＝O1O22＝82，∴O1A＝O2A＝4，又l＝＝，扇形面积S1＝rl＝πr2＝π•（4）2＝8π，△ABO2的面积S2＝r2＝16，∴S＝S1﹣S2＝8π﹣16．故选：B．二．填空题（共10小题）作业11已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，则圆心O到AB的距离为3cm．【解答】解：作OC⊥AB于C点，利用垂径定理可知，AB＝2BC，∴BC＝4cm，再利用勾股定理可知，CO2+BC2＝BO2，CO＝＝3，圆心O到AB的距离CO为3cm．作业12如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝30°，则∠BAO的度数是60度．【解答】解：连接OB∵∠ACB＝30°∴∠AOB＝2∠ACB＝60°∵OA＝OB∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣60°）÷2＝60°．作业13如图，AB是半圆O的直径，C、D是上两点，∠ADC＝120°，则∠BAC的度数是30度．【解答】解：∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝120°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣90°﹣60°＝30°．故答案为：30．作业14如图⊙O为正△ABC的外接圆，OD∥AB（其中D为外接圆上的点），则∠BCD＝15度．【解答】解：连接BO，∵△ABC是正三角形，AB＝BC，∴∠ABO＝∠ABC＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°，∴∠BCD＝∠BOD＝15°．故答案为：15．作业15△ABC是半径为2的圆的内接三角形，若BC＝2，则∠A的度数为60°或120°．作业16已知圆O的直径为6cm，如果直线l上的一点C到圆心O的距离为3cm，则直线l与圆O的位置关系是相交或相切．作业17已知：如图，CD是⊙O的直径，点A在CD的延长线上，AB切⊙O于点B，若∠A＝30°，OA＝10，则AB＝5．作业18正六边形的边长为8cm，则它的面积为96cm2．【解答】解：如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形，∴∠COD＝＝60°；∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴OE＝CE•tan60°＝×＝4cm，∴S△OCD＝CD•OE＝×8×4＝16cm2．∴S正六边形＝6S△OCD＝6×16＝96cm2．作业19已知：扇形OAB的半径为12厘米，∠AOB＝150°，若由此扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是5厘米．【解答】解：半径为12的扇形的弧长是＝10π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是10π，设圆锥的底面半径是r，则得到2π这个圆锥底面圆的半径是5厘米．作业20如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．【解答】解：根据图示知，∠1+∠2＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2＝135°，∴阴影部分的面积应为：S＝＝．故答案是：．三．解答题（共5小题）作业21已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证：AE＝BF．【解答】证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，则AM＝BM．又∵OE＝OF∴EM＝FM，∴AE＝BF．作业22如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，＝，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC＝BD．【解答】证明：连接OA、OB，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵＝，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD．作业23如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O