专题1.4 极值点偏移第二招-含参数的极值点偏移问题（解析版）-高中数学压轴题讲义(解答题)

含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.★例1.已知函数有两个不同的零点，求证：.不妨设，记，则，因此只要证明：，再次换元令，即证构造新函数，求导，得在上递增，学*科网所以，因此原不等式获证.★例2.已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：不妨设，学%科网∵，∴，∴，欲证明，即证.∵，∴即证，∴原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略.法三：直接换元构造新函数：设，则，反解出：，学*科网故，转化成法二，下同，略.★例3.已知是函数的两个零点，且.（1）求证：；（2）求证：.要证：，即证：，等价于，学*科网也即，等价于，令等价于，也等价于，等价于即证：令，则，又令，得，∴在单调递减，，从而，在单调递减，∴，即证原不等式成立.【点评】从消元的角度，消掉参数，得到一个关于的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.学*科网★例4.已知函数，若存在，使，求证：.再证：.∵，而，∴.证毕.【招式演练】★设函数的图像与轴交于两点，（1）证明：；（2）求证：.（2）证明：由，易知且，学科.网从而，令，则，由于，下面只要证明：，结合对数函数的图像可知，只需证：两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可，又因为，即证：，令，则，∴在上单调递减，∴，学*科网∴原不等式成立.★设函数，其图像在点处切线的斜率为.当时，令，设是方程的两个根，是的等差中项，求证：(为函数的导函数）.★设函数，函数为的导函数，且是的图像上不同的两点，满足，线段中点的横坐标为，证明：【解析】∵，又依题意，得在定义域上单调递增，所以要证，只需证，即……不妨设，注意到，由函数单调性知，有，学*科网构造函数，则，当时，，即单调递减，当时，，从而不等式式成立，故原不等式成立.学*科网★已知函数.（1）若，求函数在上的零点个数；（2）若有两零点（），求证：.【点评】1.方程的变形方向：①是函数的两个零点，1是该函数的极值点.②是函数的两个零点，是该函数的极值点.2.难点的证明依赖利用放缩.★已知函数f(x)=1（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）设a>0，证明：当0<x<a时，f(a+x)<f(a-x)；（Ⅲ）设x1,x2是【答案】（Ⅰ）f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增；（Ⅱ）当0<x<a（Ⅱ）令g(x)=f(a+x)-f(a-x)，则g(x)=1=2x-aln(a+x)+a求导数，得g'当时0<x<a，g'(x)<0，∴g(x)在而g(0)=0，∴g(x)<g(0)=0，故当0<x<a时，f(a+x)<f(a-x)（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当a≤0时，函数y=f(x)至多有一个零点，故a>0，从而f(x)的最小值为f(a)，且f(a)<0，不妨设0<x1<x2由（Ⅱ）得f(2a-x1从而x2>2a-x1由（Ⅰ）知，f'(x★已知函数（）.（Ⅰ）若，求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若函数，对于曲线上的两个不同的点，，记直线的斜率为，若，证明：.【答案】（1）（2）见解析由题设得.又，∴.学^科网不妨设，，则，则.令，则，所以在上单调递增，所以，学*科网故.又因为，因此，即.又由知在上单调递减，所以，即.★已知函数，．（Ⅰ）求过点且与曲线相切的直线方程；（Ⅱ）设，其中为非零实数，有两个极值点，且，求的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：．【答案】（1）（2）见解析∴，解得∴切线的斜率为，∴切线方程为（Ⅱ），当时，即时，，在上单调递增；当时，由得，，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，由得，，在上单调递减，在上单调递增．当时，有两个极值点，即，，即的范围是学*科网点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.★已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数有两个零点，（，），证明：.【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：（1）欲证证，，学科#网在上递增，（2），，令，易知在递减，，，，，，，，，，，，，要合题意，如图，，，右大于左，原题得证【新题试炼】【2019江西九江一模】已知函数（Ⅰ）若函数存在最小值，且最小值大于，求实数的取值范围；（Ⅱ）若存在实数，使得，求证：函数在区间上单调递增。【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，要存在实数x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），则a＞0，∵f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，不妨设0＜x1＜x2，则0＜x1＜a，令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），则h′（x），∴x∈（0，a）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，a）递减，∵x1∈（0，a），∴h（x1）＞h（a）＝f（a）﹣f（a）＝0，即f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，∴f（x1）＞f（2a﹣x1），∵f（x1）＝f（x2），∴f（x2）＞f（2a﹣x1），∵0＜x1＜a，∴2a﹣x1＞a，∵f（x）在（a，+∞）递增，学.科网∴x2＞2a﹣x1，∴a，∴函数f（x）在区间[，+∞）递增，∵x1≠x2，∴，∴函数f（x）在区间[，+∞）上单调递增．【2019山东郓城一中月考】已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若函数的图象与直线交于,两点，线段中点的横坐标为，证明：为的导函数