布洛卡点及其性质

第3期布洛卡点及其性质（1）三角形有很多奇特的点，其中布洛卡点充分体现了代数与几何的联系，克里尔于1816年首先发现，但当时未引起人们的注意，法国人布洛卡1875年重新发现并获得重视，19世纪末和20世纪初，人们对布洛卡的研究盛极一时。1.布洛卡点的定义：如图1,设P为AABC内一点，若ZPAB=ZPBC=ZPCA=0，则称p为aABC的布洛卡点，0为AABC的布洛卡角。2•布洛卡点的几个性质：b2+c2—a22bcsinAb2+c2—ab2+c2—a22bcsinAb2+c2—a2~^SAABC,cosA证明：设AP=x,BP=y,CP=z，则cotA=—smAa2+b2+c2易得cotA+cotB+cotC=(1)，4SAABC在APAB,APBC,APCA中，分别有cot0=cos0sin0c2+x2—y22cxsin0c2+x2—y24SAPABcot0=a2+y2—z24SAPBCcot0=b2+z2—x24SAPCAc2+x2—y2a2+y2—z2b2+z2—x2所以cot0=—4SAPAB(c2+x2一y2)+(a2+y2一z24S4SAPBCAPCA)+C2+z2一x2)a2+b2+c2=(2)4SAABC由（1）证法2：4S+4S+4SAPABAPBCAPCA(2)得cot0=cotA+cotB+cotC；如图，作AABC的高CH,作CG丄BP与点G,则上CPG=0+ZPCB=ZC,故cot0—cotC=竺—PG=竺CGCGCG4厂AHBHAB而cotA+cotB=+=CHCHCH由H,B，C,G四点共圆得ZHBG=ZHCGnZABP=ZHCG,ZPAB=0=ZPBC=ZCBG=ZCHGABBPnAPABsAGHCn——=——所以cot0—cotC=BPCGCH=cotA+cotB，即cot0=cotA所以cot0—cotC=BPCGCH=cotA+cotB，即cot0=cotA+cotB+cotCa2+b2+c2简证：由布洛卡点性质1可知cot9二4SAABC由外森匹克不等式a2+b2+c2>4^3Sncot0\弋3,0<30。,AABC当且仅当a=b=c时外森匹克不等式取得等号，即AABC为正三角形。备注：外森匹克不等式的证明如下sMBC=\'P(p一a)(p一b)(p-c)=31=(^p(3p-3a)(3p-3b)(3p-3c))21(p+3p-3a+3p-3b+3p-3c)217、1,7、<帝〔4J=*+b+c)2<孫3+b2+c2)即a2+b2+c2>4訂S，当且仅当a=b=c时取等号.AABC3•布洛卡点性质3：当9二■-时，AABC三边a，b，c满足a2=bc；nB9——时，b2=ac；c2=ab.证明:A由cot9—cotA+cotB+cotC及9——^2AA.cosTcosA1厂—cosBcosCsinAcot-cotA—-—,cotB+cotC—+—2-AsinAsinAsinBsinCsinBsinCsin—2所以1sinAsinA，即sin2A—sinBsinCna2—bcsinBsinC备注：性质3曾在2011年北大保送生考试数学试题中出现.sin3Asin3Bsin3C拓展：如图，在AABC中，有亦-罰-时证明：由正项定理，得PPsin(a+9)sinasinABCsinCACsinB

sina，同理PC—sin9'BC—sinAsinAsin9sinasinCsinBnsinAsin2AsinBsinCsinasin9sin3AsinAsi