福建省莆田市第二十五中学2023-2024学年高三年级上册期中数学试题

莆田第二十五中学2023-2024学年上学期高三数学期中考试卷

考试时间：120分钟

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1,已知集合1*-3J或xN2},则Ac仅3）=（）

A.0B.{1}C.{0,1}D.{0,1,2}

2.“若VXG；,2,3/一/11+1>0恒成立”是真命题，则实数4可能取值是（）

A2及B.273C.4D.5

3.华罗庚说：“数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞•“所以研究函

数时往往要作图，那么函数/（x）=gln|x|cos3x的部分图象可能是（）

4.若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数例如函数），=/,

xe[l,2]与函数y=d,%目-2,—1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函

数”的是（）

A.y=B.y=JC.y=log2xD.y=|x-l|

5.设函数/（x）=logjx+f）在区间[1,M）上单调递减，则〃取值范围是（）

A.（F,l]B.[0,1]C.（-1,1]D.[1,-KQ）

6.如图，点尸是棱长为2的正方体ABC。—AAGA表面上的一个动点，直线A尸与平面A8QD所成的

角为45。，则点P的轨迹长度为（）

A.兀+4&B.4血兀C.2>/3D.30+兀

2x,八

----,x<0

x—1

7.已知函数，（x）=v，若关于*方程/（x）=x—。无实根，则实数”的取值范围为

Inx八

——,x>0

Ix

B.(-1,0)

D.(0,1)

8.已知“X）是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足〃x）=/（2-x）,且/（x）在［—2023,—2022］

上单调递增，设a=〃—log32）/=/（ln（2e2））,c="2021）,则a也c的大小关系是（）

A.c<h<aB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，部分选对的得2分，全部选对的

得5分.）

9.已知上］（〃eN*）的展开式中含有常数项，则”的可能取值为（）

A.4B.6C.8D.10

10.小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A“恰有两人所去景点相同”，事

件8为“只有小张去甲景点”，则（）

A.这四人不同的旅游方案共有64种B.“每个景点都有人去”的方案共有72种

C.-D.“四个人只去了两个景点”的概率是巴

11.如图，圆锥SO的底面圆。的直径AC=4,母线长为2a，点B是圆。上异于A,C的动点，则下

列结论正确的是（）

s

A.SC与底面所成角为45°

B.圆锥SO的表面积为40兀

C.N5>LB的取值范围是[nJ

D.若点B为弧AC的中点，则二面角S—BC—O的平面角大小为45。

12.定义在R上的函数“力满足〃2r)=/(x)]⑴=2J(3x+2)为奇函数,函数g(x)(xeR)满

足g(x)=-g(4-x),若y=/(x)与y=g(x)恰有2023个交点&,%),(和力)，，(马如力)*)，则

下列说法正确的是()

A.42023)=2B.x=l为y=/(x)的对称轴

2023

C./(0)=()D.E(X,.+X)=4046

i=l

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

-1

13.若2z=——，则z在复平面内对应的点位于第象限.

1+1

14.某校期末统考数学成绩服从正态分布N(76/6).按15%,35%,35%,15%的比例将考试成绩划

为AB,C,。四个等级，其中分数大于或等于83分的为A等级，则8等级的分数应为.(用区

间表示)

15.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等7名工人中安排4人分别照

看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，

则不同的安排方案共有种

16.如图，在边长为6的正方形鸟舄中，B,C分别为1巴、舄A的中点，现将

分别沿AB，BC,C4折起使点4，巴，居重合，重合后记为点P,得到三棱锥P—A3C,则

三棱锥P-ABC的外接球表面积为.

p

四、解答题(本大题共6题，共70分)

17.已知_ABC的内角AB,C的对边分别为且6sinC=csinO.

2

(1)求角B；

(2)若。=J15,C=3“，求的面积.

18.设｛风｝是公差不为0的等差数列，%=8，成等比数列.

(1)求｛凡｝的通项公式：

3

(2)设瓦=-----,求数列也,｝的前〃项和S”.

anan+\

19.如图，正三棱柱ABC-A4G中，点。在棱AB上，且CO_LOB-

(1)求证：4&//平面。。4；

TT

(2)若正三棱柱ABC-A£G的底面边长为2,二面角。一BC—B的大小为三，求直线到平面

CDB、的距离.

20.某闯关游戏必须闯过若干关口才能成功，其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视

艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案：

方案一：答题3道，至少有2道答对

方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对.

方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关，假设甲选择方案一、且答对每一道题的概率是,，乙选

3

择方案二，且3道题中只能答对其中两道题.

(1)求甲答对题目数量X的分布列与数学期望；

(2)设甲和乙中通过第一关的人数为g,求&的分布列；

(3)若丙答对这3道题中每一道题的概率都是p(pw(O,l)),且这3道题是否答对相互之间没有影响，

丙选择方案一通过第一关的概率为Pi，选择方案二通过第一关的概率为。2,直接比较P1与P2的大小.

21.已知椭圆E：，+左=1(。>8>0)的左焦点为尸，左顶点为(一若,0),离心率为乎.

(1)求E的方程；

(2)若过坐标原点。且斜率为攵(％。0)的直线/与E交于A,8两点，直线AF与E的另一个交点为C,

的面积为生但，求直线转的方程.

5

22.已知函数/(X)=(x—2)(e*_ax)(aeR).

⑴若4=2,讨论/(X)的单调性.

(2)已知关于x的方程/(x)=(x—3)e，+2以恰有2个不同的正实数根不々.

(i)求。的取值范围；

(ii)求证：X1+x2>4.

莆田第二十五中学2023-2024学年上学期高三数学期中考试卷

考试时间：120分钟

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1,已知集合1*-3J或xN2},则Ac仅3)=()

A.0B.{1}C.{0,1}D.{0,1,2}

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出集合A,然后根据集合的运算可得答案.

x+2

【详解】由——40可得—24x<3,

x—3

所以集合4={1,2},

因为43={x[T<x<2},所以AI低B)={1},

故选：B.

2.“若Vxe；,2,3/一/11+1>0恒成立”是真命题，则实数2可能取值是()

A.2A/2B.26C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】由题得到恒成立，求出3x+」]即可得到答案.

xIX人in

【详解】Vxe1,2,3X2-/L%+1>0.即丸<3%+，恒成立，

12」x

3x+->2,l3x--=2V3,当且仅当3x=,，即苫=立时等号成立，故，<28.

xvxx3

对比选项知A满足.

故选：A

3.华罗庚说：“数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.”所以研究函

数时往往要作图，那么函数/(x)=gmWcos3x的部分图象可能是()

【解析】

1A

【分析】根据奇偶性排除BC,根据当XG0，-时〃x)<(),排除A,继而得解.

【详解】因为/(-x)=gln|-Mcos(-3x)=glnWcos3x,所以/(x)〒/'(-x),所以/(x)为偶函数,

2

排除BC,

当时，lnx>(),且cos3x>0.

JA1

所以当xe0,—时，/(x)=—In|x|cos3x<0,排除A；

6)22

故选：D.

4.若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数''.例如函数y=V,

工£[1,2]与函数>即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函

数”的是()

A.产出3

B.y=xC.y=log2xD.y=|x-l|

【答案】D

【解析】

【分析】由题意得到函数不单调才能符合要求，ABC错误，D中)=卜-1|不单调，且可举出实例.

【详解】要想能够被用来构造“同值函数”，则要函数不单调,

ABC选项，y=在R上单调递减，>=/在R上单调递增,

2J

、=1。82%在（0,+8）上单调递增，ABC错误；

D选项，y=|x-1]在（—8,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增,

不妨设丁=k—1|,N目1,力与函数^=上一1|,xe[O,l],两者的值域相同，为同值函数，D正确.

故选：D

5.设函数/（x）=logjx+m）在区间[1,例）上单调递减，则〃的取值范围是（）

A.（-oo,l]B.[0,1]C.（-1,1]D.[l,+oo）

【答案】C

【解析】

【分析】根据复合函数的单调性可得X+?在区间[1,内）上单调递增，分。>0、。=0、a<0讨论，根据在

[1,+8）上单调性可得答案.

【详解】/（%）=lOg|1%+/J在口,+8）单调递减上单调递减，

根据复合函数的单调性可得x+三在区间[1,+8）上单调递增，

当a>0时，X+：在[石,+8）单调递增，需满足Gwl，

当a=0满足题意，

当a<0时，在（0,+8）单调递增，则在区间[1,用）上单调递增

又需满足真数x+0>0,则最小值1+0>0,即a>—1,

x1

综上一l<aWl.

故选：C.

6.如图，点P是棱长为2的正方体ABC。-表面上的一个动点，直线小与平面ABCO所成的

角为45。，则点尸的轨迹长度为（）

A.兀+4&B.4及无C.2GD.3X/2+K

【答案】A

【解析】

【分析】先利用直线”与平面A8CD所成的角为45。求得点p的轨迹，进而求得点P的轨迹长度.

【详解】若点尸在正方形A4GA内，

过点P作”_L平面ABCD于P，连接AP'，AP.

则N/Wy为直线”与平面ABCD所成的角，贝iJNR4P'=45，

又PP'=2，则PA=2>/2，则=2，

则点P的轨迹为以A为圆心半径为2的圆(落在正方形4片G2内的部分)，

若点尸在正方形A4AB内或A2A。内，轨迹分别为线段AB”A",

因为点P不可能落在其他三个正方形内，

所以点尸的轨迹长度为2x^+2&+2夜=兀+4夜.

2

O

故选：A

—,x<0

7.已知函数/(x)=,若关于x的方程/(x)=x—a无实根，则实数。的取值范围为

Inx八

——,x>0

Ix

A.°°0)|J^—,1JB.(—1,C

9)

c.D.(0,1)

【答案】D

【解析】

【分析】画出/（X）图像，然后找到y=/（x）图像与直线y=x-a无交点的情况，利用导数的几何意义求

出切线方程和切点坐标，从而得到临界状态时”的值，从而得到”的范围，得到答案.

（详解】方程/（X）=x-a无实根等价于函数y=f（X）的图像与直线y=X-a无交点.

2x,八

---,x<0

:一1的图像，如图,

画出函数/（%）=«

mx八

——,x>0

x

2x

由图像知，当aWO时，直线丁=无一a与曲线/（x）=（尤WO）必有交点,

x-1

当a＞（）时，设直线y=x—a与曲线/*）=用。＞0）相切时，切点为〃（分，匕

由广（©=匕与，

X

代入切点横坐标看得切线的斜率,

1-In/、

所以一^°=1,解得为=1,则P（l,o）,

所以切线方程为y=x-l得。=1.

由图像知实数。的取值范围为（0,1）,

故选：D.

【点睛】本题考查函数与方程，利用导数求函数的切线，属于中档题.

8.已知“X）是定义在R上的偶函数，对任意实数%满足〃x）=/（2—x）,且“力在[-2023,—2022]

上单调递增，设4=〃—10832）/=/阿262））,0=/（2021）,则。也。的大小关系是（）

A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.h<a<c

【答案】A

【解析】

【分析】利用函数奇偶性以及"x)=/(2-x)可知/(x)的周期为2,且在［0,1］上单调递减，将表达式

a,化简可得a=,8=/(ln2),c=/(l),又易知OcH'VlnZvl即可得c<Z?<a.

【详解】根据题意可知〃x)=〃2r)=f(%—2),即可得〃x)=〃x+2),

所以函数/(x)是以2为周期的偶函数，

又“X)在［—2023,—2022］上单调递增，所以可得/(x)在［-1,0］上单调递增；

根据偶函数性质可知“X)在［()』上单调递减，

又。=/(-log32)=/(log32)=/［篇)

22

/?=/(ln(2e))=/(ln2+lne)=/(ln2+2)=/(ln2)

c=/(2021)=/(l)

显然ln3>l,所以可得0<@2<ln2<l,即>“In2)>41)；

In3\ln3y

因此可得cvbva.

故选：A

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，部分选对的得2分，全部选对的

得5分.)

9.己知(x—(〃eN*)的展开式中含有常数项，则〃的可能取值为()

A.4B.6C.8D.10

【答案】AC

【解析】

4

【分析】求出展开式的通项，再令〃-一厂=0,可得〃与，的关系，用赋值法从而可得出结论.

3

【详解】.一；)(〃eN*)展开式的通项为：加=(T)'C：•x"，xj=(_l)'C>x4,其中

43

令〃r=0,则r=—〃，可知〃为4的倍数，故B、D错误；

34

当r=3时，n最小为4；当r=6时，〃为8；

故选：AC.

10.小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事

件8为“只有小张去甲景点”，则（）

A.这四人不同的旅游方案共有64种B.“每个景点都有人去”的方案共有72种

C.LD.“四个人只去了两个景点”的概率是巴

v17627

【答案】CD

【解析】

【分析】A选项，根据分步乘法计数原理求出答案；B选项，根据部分平均分组方法计算出答案；C选项,

利用排列组合知识得到〃（A）=36,〃（AB）=6,利用条件概率公式求出答案；D选项，求出四个人只去了

两个景点的方案数，结合A中所求，求出概率.

【详解】A选项，每个人都有3种选择，故共有34=81种旅游方案，A错误；

B选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人,

故有卑C-A；=36种方案,

B错误;

C选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去I人,

由B选项可知，〃（A）=36,

又事件A8,即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点,

故〃（M）=C；C；A；=6,

所以P（B|A）=粤等=c正确；

D选项，“四个人只去了两个景点“，分为2种情况，

第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有C：C；A；=24种方案，

C2c2

第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有卡18种方案,

由A选项可知，这四人不同旅游方案共有81种,

24+1814

故“四个人只去了两个景点”的概率为------=一，D正确.

8127

故选：CD

11.如图，圆锥SO的底面圆0的直径AC=4,母线长为2起，点8是圆0上异于A，C的动点，则下

列结论正确的是（）

A.SC与底面所成角为45°

B.圆锥SO的表面积为4夜兀

C.NS4B的取值范围是

D.若点B为弧AC的中点，则二面角S—3C—O的平面角大小为45。

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A,根据SO,面A3C,由cos<SCO="0C判断；对于B,由圆锥SO的侧面积公式求解

SC

判断；对于C,由求解判断；对于D,取的中点。，连接0。，SD,易得NSDO为

二面角S—BC—O的平面角求解判断.

【详解】对于A,因为SO,面A8C,所以NSCO是SC与底面所成角，

在RtZ\SOC中，圆锥的母线长是2及，半径r=OC=2,

则cos/SCO=%=」==也，所以NSCO=45°,则A正确；

SC2A/22

对于B,圆锥SO的侧面积为"=4\反兀，表面积为4\/5兀+4兀，贝！JB错误;

对于C,当点8与点A重合时，NAS3=0为最小角，

7F

当点4与点c重合时NAS8=—,达到最大值,

2

又因为B与A,C不重合，则

(Tt71]

又2NSAB+NASB=TI,可得则C正确;

对于D,如图所示，

取5c的中点O,连接QD,SD,又。为AC的中点，则OD//AB,

因为ABS3C,所以8C_LO£>,又SOJL面ABC,3Cu面ABC,所以3CLSO,

又SOOD=O,BC上面SOD,故BC_LS£),

所以NSDO为二面角S—BC—O的平面角，

因为点B为弧AC的中点，所以AB=2&，0D=^AB=^2,则tanNS。。=器=血，则D错误.

故选：AC.

12.定义在R上的函数满足〃2-9=/(力,/⑴=2J(3x+2)为奇函数,函数g(x)(xeR)满

足g(x)=-g(4r),若y=〃x)与尸g(x)恰有2023个交点(/%),(%,%)，，(工2023，必023)，则

下列说法正确的是()

A.42023)=2B.x=l为y=/(x)的对称轴

2023

C./(())=()D.Za+y)=4046

Z=1

【答案】BCD

【解析】

【分析】由."2—x)=/(x),得函数/(x)图象关于直线％=1对称，由/(3x+2)是奇函数，得了(幻的图象关

于点(2,0)对称，从而得F3是周期函数，4是它的一个周期，由g(x)=-g(4-x),得g(x)图象关于点

(2,0)对称，从而知/(A与g(x)的图象的交点关于点(2,0)对称，点(2,0)是它们的一个公共点，由此可判断

各选项.

【详解】/(2-%)=/(%),则函数JU)图象关于直线x=l对称，B正确；

〃3x+2)是奇函数，即/(-3x+2)=—/(3x+2),/(一.+2)=—/Q+2),则/⑴的图象关于点(2,0)对

称，*2)=0,称0)=/(2)=0,C正确;

所以/(x+2)=-f(2-x)=x)]=-/(x),从而/(x+4)=-/(x+2)=/(x),所以/(©是周期

函数，4是它的一个周期，/(2023)=/(3)=-/(1)=-2,A错；

又g(x)=-g(4-x),g(x)图象关于点(2,0)对称，因此/(x)与g(x)的图象的交点关于点(2,0)对称，点

(2,0)是它们的一个公共点，

202320232023

£(苍+乂)=£%+£%=2x2023=4046,D正确.

i=l/=1/=1

故选：BCD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.若25=一匚，则z在复平面内对应的点位于第象限.

1+i

【答案】四

【解析】

【分析】根据复数除法运算和复数几何意义即可得到答案.

i11.

【详解】2]=」一,则z----=--1-1

1+12(l+i)44

所以z=L—」i,则其在复平面内对应的点为

故其在第四象限，

故答案为：四.

14.某校期末统考数学成绩服从正态分布N(76,16).按15%,35%,35%,15%的比例将考试成绩划

为四个等级，其中分数大于或等于83分的为A等级，则8等级的分数应为.(用区

间表示)

【答案】[76,83)

【解析】

【分析】根据已知条件及正态分布的特点即可求解.

【详解】设考试成绩为X，

由题意可知，〃=76,cr=4,P(X>76)=0.5,P(X>83)=0.15,

所以P(76<X<83)=P(X>76)-P(X>83)=().5-0.15=0.35,

所以8等级的分数应为［76,83）,

故答案为：［76,83）.

15.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等7名工人中安排4人分别照

看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，

则不同的安排方案共有种

【答案】60

【解析】

【分析】按“问题元素”优先的原则，进行分类，然后计算求解即可.

【详解】此题的难度主要是来自分类，按“问题元素”优先的原则，对甲进行分类：甲照看第一道工序（甲

1丙4）、甲照看第四道工序（甲4乙1）、甲“不照看第一和第四道工序”（乙1丙4）三种.

A；+A；+A；=60.

故答案为：60

16.如图，在边长为6的正方形中，B,C分别为片鸟、6A的中点，现将4BPC

A6c分别沿AB，BC,C4折起使点4，P2,鸟重合，重合后记为点P,得到三棱锥P—A3C，则

三棱锥P-ABC的外接球表面积为.

【答案】54K

【解析】

【分析】根据题意，折叠成的三棱锥P-A8C的三条侧棱Q4，PB,PC两两互相垂直，将三棱锥补形

成长方体，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，外接球直径为体对角线长，得解.

【详解】根据题意，折叠成的三棱锥P-A5C的三条侧棱Q4，PB,PC两两互相垂直，

将三棱锥补形成长方体如图，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，

外接球的直径等于以PB,PC,为长、宽、高的长方体的对角线长，

PA=6,PB=PC-3，

2R=。P#+PEi1+PC，=736+9+9=后，

所以外接球的表面积5=4兀/?2=兀*（2尺『=5471.

故答案为：5471.

四、解答题（本大题共6题，共70分）

17.已知一ABC的内角A,B,C的对边分别为a,4c,且6sinC=csin'.

2

（1）求角B；

⑵若b=M,c=3a,求二ABC的面积.

2

【答案】（1）:兀

⑵述

4

【解析】

【分析】（1）根据题意由正弦定理和正弦的二倍角公式可得cosO=',结合角B的范围即可求得8=]兀；

223

（2）由（1）中8=|兀以及/,=JJ5,C=3。，利用余弦定理计算可解得。=l,c=3,再由三角形面积公式

即可得_ABC的面积.

【小问1详解】

根据bsinC=csin-,由正弦定理可得sinBsinC=sinCsin-,

22

BBBB1

又sinC00,所以可得sin8=2sin—cos—=sin—,即cos—=-；

22222

因为Be（O,兀），所以弓

2

即3=金.

3

【小问2详解】

由匕==结合（1）中的结论8二:兀，

由余弦定理可得。2=/+/-2accosB，即13=a2+9f72-6a2x）——],

解得/=1，即。=Lc=3,

所以sABc='acsin8=,xlx3x^=空・

ABC2224

即一ABC面积为".

4

18.设｛qj是公差不为0等差数列，%=8，q,4，为成等比数列•

（1）求｛4｝的通项公式：

3,

（2）设为=—,求数列也｝的前〃项和S“.

anan+\

【答案】⑴an=3n-l

（2）s,,=3-

6〃+4

【解析】

【分析】（1）设｛q｝的公差为d，然后根据已知条件列方程可求出生,d,从而可求出通项公式,

,311

（2）由（1）得a=-----=--再利用裂项相消法可求得结果.

aHan+l3〃-13〃+2

【小问1详解】

设｛为｝的公差为"，

因为成等比数列,所以。；=%吗|

又因为q=8,所以82=（8-2d）（8+8d）,所以/一34=0.

因为dwO,所以d=3,所以q+2d=4+6=8,得％=2,

故a”=2+3（n—1）=3»—1.

【小问2详解】

3_3_1______1_

因为"（3〃-1）（3〃+2）3n-l3〃+2，

113n

23〃+26〃+4

19.如图，在正三棱柱ABC-A4G中，点。在棱AB上，且

（1）求证：46//平面。。4；

（2）若正三棱柱ABC-A4a底面边长为2,二面角。-耳。-3的大小为T，求直线AG到平面

CDB,的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵—

3

【解析】

【分析】（1）根据正三棱柱ABC-A4G和与得CZ）_LAB,即可得。是AB的中点，从而由中

位线得OM〃AG，证明结论.

（2）由二面角。-BQ-3的大小为三，解得平面BC用的一个法向量，根据第一问的平行和点到平面的

距离公式得出答案.

【小问1详解】

在正三棱柱ABC-AgG中，8片是侧棱，所以_L平面ABC,

又C£）u平面ABC,所以CO，8%

又BB、cDB\=B1,BB},u平面所以CD_L平面448片，

因为A3u平面AABg,所以CD_LAB，又因为C4=CB,所以。是AB的中点.

如图，连接GB,交C用于点M,连接。M.因为M是GB的中点，

所以。M是一ABG的中位线，所以。M〃AC1,

又ZWu平面CQg,AG0平面CQg,所以ACJ/平面CD61.

【小问2详解】

取44的中点2,可知DD"/BB_所以。A_L平面ABC.以。为原点,

分别以08，DC,。2所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。一肛z,

设三棱柱A8C・A4G的高为〃，则0(0,0,0),B(l,0,0),C(0,V3,0),4(1,0,〃)，A(—l,0,0),

CD=(0,-V3,0),CB}=(l,-V3,/z),CB=(l,-V3,0),=(-1,0,0).

CD-m--yfiy.=0

设平面DCq的一个法向量为4=(%,%zj,则,

"r，取Z]=-1,得

CB1-m=x,-+辰1=0

m=(/z,O,—1).

CB-n=x2—>/3y2=0

设平面8C4的一个法向量为〃=(%,%,Z2)，贝卜

CB[-n=x2-6y2+辰2=。

取％=i，得〃=(6,i,o).

所昨网肛〃人端二^^；，解得〃=孝,所以加=-^-,0,-1,

I2J

由(1)知AC//平面cog,所以直线AG到平面CO科的距离即点A到平面C£>A的距离,

V2

•制

因为£)A寻法==坐，所以直线AC1到平面Cog的距离为亚

33

z,

C,K------------------------\—^B]

l\IIl

I\\xLz^//I

I\\\Jr，II

I\\>，/II

4

20.某闯关游戏必须闯过若干关口才能成功，其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视

艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案：

方案一：答题3道，至少有2道答对

方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对.

方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关，假设甲选择方案一、且答对每一道题的概率是』，乙选

3

择方案二，且3道题中只能答对其中两道题.

（1）求甲答对题目数量X的分布列与数学期望；

（2）设甲和乙中通过第一关的人数为j，求J的分布列；

（3）若丙答对这3道题中每一道题的概率都是p（pw（O』）），且这3道题是否答对相互之间没有影响，

丙选择方案一通过第一关的概率为Pi，选择方案二通过第一关的概率为声，直接比较P1与P2的大小.

【答案】（1）分布列见解析,E（X）=1

7

（2）分布列见解析，E（^）=—

（3）P|>p2

【解析】

【分析】（1）写出随机变量X的所有取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可；

（2）先分别求出两人过关的概率，写出随机变量J的所有取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期

望公式求期望即可；

（3）先分别求出口，生，再作差即可得解.

【小问1详解】

由题意，X可取0,1,2,3,

则P(X=O)=C；xK[=*P(X=l)=C；lxf|T=t

P(x=2)=c{/状,尸(X=3)=m，

所以分布列如下：

X0123

8421

P

279927

所以E(X)=0xg+lx3+2x2+3x-5-=l；

')Z19927

【小问2详解】

甲通过的概率编=《{!)x|+c；1g)=焉，

乙通过的概率攵

J可取0,1,2,

则尸代=0)=(弓40

87

717

P传=2)=——X—

2738?

所以分布列如下:

012

40347

P

8?8181

匚…l/八八4034716

所以E(/=0x嬴+lx嬴+2x谕=方;

O1olO1乙/

【小问3详解】

232

Pi=Cr/?(l-p)+C3-p=3p--2p\p2=p,

贝IJPl-02=2P2-2P3=Ip1（1-，），

因为〃e（O,l）,所以Pl—〃2=2p2（l—p）>0,

所以Pi>P2-

21.已知椭圆E：，+芯=1（。>/,>0）的左焦点为F,左顶点为（一出,0）,离心率为坐.

（1）求E的方程；

（2）若过坐标原点。且斜率为左（左。0）的直线/与E交于A,B两点，直线AF与E的另一个交点为C,

-4BC的面积为地，求直线他的方程.

5

2v2

【答案】（1）二x+2-=1

32

（2）%—y+1=0或x+y+1=0

【解析】

【分析】（1）由左顶点为（-6,0卜导。=百，再根据离心率为e=£=当，求出C值，则得到。值，则求

出E的方程.

（2）设直线方程为％=联立椭圆方程得（2产+3）丁-4"—4=0,设A&,y）,C（x2,y2）,贝ij

得到韦达定理式，利用弦长公式得到E-%|=y+1，则有S-=等#+1=巫，解出

即可.

【小问1详解】

设椭圆E的半焦距为c（c>0）.

因为椭圆E的左顶点为卜百,0）,所以a=JL

又离心率6=£=也，所以c=l.

a3

所以Z>2=—2,

2

所以E的方程为f二+v二=1.

32

【小问2详解】

由（1）可知，设直线AF的方程为无=（y—1.

由::"Il/消去x并整理得（2r+3）y_4/_4=0.

2x+3^=6'7

设A6,yJ,C（%,%）,

4z—4

则X+%=—;——，X%=———，

''22『+31-2r+3

因此&AOC=1—），|==-^4BC=冬回，

v△40c21IP）2|22"r"++312△48c5

解得尸=1,即/=±1,

所以直线•的方程为x-y+l=0或x+y+l=0.

【点睛】关键点睛：第二问通常采取设线法，为了减少计算，我们引入参数上设直线■的方程为

x^ty-l,联立椭圆得到方程(2『+3)丁—4)—4=0,则得到韦达定理式，再利用弦长公式得到其面

积相关方程，解出参数。即可.

22.已知函数/(x)=(x-2乂e*-办)(aGR).

⑴若a=2,讨论“X)的单调性.

(2)已知关于x的方程/(x)=(x-3)e、+2or恰有2个不同的正实数根4,马.

(i)求”的取值范围；

(ii)求证：玉+无2>4.

【答案】⑴/(x)在(-^,1),(21n2,+o。)上单调递增,在(1,212)上单调递减

/e2\

(2)