计数原理含详2024年上海市数学高考名校模拟题分类汇编-计数原理含详解

备战2024高考优秀模拟题分类汇编（上海专版）一一计数原理

一、填空题

1.（2324上•浦东新•期中）（2x+l）i°的展开式的第8项的系数为（结果用数值表示）.

2.（2324上•青浦•期中）已知实数相>0,在（尤+三；的二项展开式中，/项的系数是135,则机的值为.

3.（22-23•浦东新•三模）已知（l+3x）”（"为正整数）的展开式中所有项的二项式系数的和为64,贝M.

4.（2324上•浦东新•开学考试）龙+：的二项展开式中，龙2项的系数为.

5.（2324上.闵行.期中）某校举办校运动会，需从某班级3名男同学4名女同学中选出3名志愿者，选出的3人中

男女同学都有的概率为.

6.（2324上•浦东新•期中）夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，

为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，

则不同的检查方案一共有种.

7.（2324上.虹口•期中）从甲、乙、丙、丁、戊等5名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人中只有1人被

选到的概率为.（用数字作答）

8.（22.23.嘉定•二模）己知〃eN,若则〃=.

9.（22・23・黄浦・二模）己知根是初一2与4的等差中项，且+无丁=旬++//+//+%尤4+生尤$,则%的值

为.

10.（2223•闵行•二模）今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校，给学校老师和

学生接种流感疫苗.若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法数为.

11.（22.23下・徐汇・模拟预测）若等式1+x+Y+V=4+%（1-x）+g（1-x）2+%（1-x）3对一切*eR都成立，其中旬，

%,。2,%为实常数，则+。2+。3的值为-

12.（2223悯行•二模）若x8=%+q（x-l）++4（x—球，则的=.

2024

2（）24

13.（22,23,徐汇•二模）若（1+x）（l—2x）2°23=a。+qx+a?/++a2（）24x,G=0,1,2,,2024）,则.

一Z=1

3030

14.（22.23・闵行•三模）若（2x+l）3°=\>"，则Z4被10除所得的余数为.

氏=0%=0

15.（2223•杨浦•模拟预测）若）-2元）皿3=%+4k...+々侬一力则冬+…+鬻=______.

222

16.（2223・虹口•三模）卜+115为正整数）的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常

数项为.

17.（2324上•长宁•期中）从甲、乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲、

乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有种.

18.（2223•浦东新•模拟预测）（x+2）8的二项展开式中系数最大的项为—.

19.（23-24上•嘉定•开学考试）若等式1+尤+尤2+x3=4+q（1-尤）+。2（1-尤y+/（1-尤对一切xeR都成立，其中旬，

为，a2,%为实常数，则%+。|+%+%的值为.

20.（2324上.松江.阶段练习）已知（3+ax『的展开式中各项系数的和为32,则“=.

21.（2324上.嘉定•期中）在（后-1）6的二项展开式中任取一项，则该项系数为无理数的概率为.

22.（22・23下•普陀・模拟预测）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的

数值之比为（用最简分数表示）.

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

23.（2324上.静安•开学考试）盒中装着标有数字1、2、3、4的卡片各2张，从盒中任意取3张，每张卡片被抽出的

可能性都相等，则抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率.

24.（2324上•虹口•期中）在由数字1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，小于50000的奇数有个.

25.（2324上•浦东新•阶段练习）在某道选词填空题中，共有4个空格、5个备选单词，其中每个空格只有备选单词

中的一个正确答案（备选单词中有一个是多余的），则4个空格全部选错的概率是.

11c

26.（23・24上•浦东新•阶段练习）已知正整数〃?，，满足相＜〃V24,若关于尤的方程2_sin（蛆）+2-sin（内）=?有

实数解，则符合条件的（根,〃）共有对.

二、单选题

27.（2223・青浦・二模）已知〃为正整数，则“"是3的倍数”是的二项展开式中存在常数项”的（）条件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既不充分也不必要

28.（2324上•黄浦•阶段练习）伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题.当“eN,

1-去）…，又根据泰勒展开式可以得到

丫35(_1尸针-11111

sinX=X------1------1-----1------------1,根据以上两式可求得—yH—yH----1—yH=()

3!5!(2n-l)!I22232n2

”2“222

A.—B.—C.—D.—

6384

29.(2324上.杨浦.阶段练习)已知对任意正整数对。7㈤，定义函数/仇左)如下：f(l,j)=1,

(Z+1)/(I+1,J)=(J-Z)/(Z,J),i<j,则下列正确的是()

A./（/+!,B.f（i,j）=2C;

C.立产〃仃）］=力（2』）D.之立万亿/）］=2"+〃一2

i=l,/=1i=l

三、解答题

30.（2223下•宝山•阶段练习）已知”为正整数，对于给定的函数y=〃x）,定义一个〃次多项式gjx）如下:

g“⑺吗

⑴当〃x)=l时,求g”(x);

(2)当/(x)=x时，求g“(x)；

(3)当/⑺=炉时,求g“(x).

备战2024高考优秀模拟题分类汇编（上海专版）一一计数原理

一、填空题

1.（2324上•浦东新•期中）（2犬+1厂的展开式的第8项的系数为（结果用数值表示）.

【答案】960

【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解.

【详解】因为，（2彳+1/展开式的第8项为CloQxyngGOx3,

所以，（2x+1°的展开式的第8项的系数为960.

故答案为：960

2.（2324上•青浦•期中）已知实数机＞0,在+的二项展开式中，/项的系数是135,则加的值为

【答案】3

【分析】求出展开式的通项，再令尤的指数等于2,结合己知即可得解.

【详解】卜+:：展开式的通项为=建产*=苏晨产匕

令6—2k=2,得左=2,

所以/项的系数为疗或=15/=135,

又加＞0,所以机=3.

故答案为：3.

3.（2223•浦东新•三模）己知（l+3x）”（九为正整数）的展开式中所有项的二项式系数的和为64,则"=

【答案】6

【分析】根据题意，由二项式系数之和的公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】由题意可得，2"=64,则“=6.

故答案为：6

4.（2324上•浦东新•开学考试）（x+g；的二项展开式中，f项的系数为.

【答案】210

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x的次数为2,求出厂，代入通项公式中可求得结果.

l0r2r

【详解】,+的二项展开式的通项公式为却=C[0-x~^=C[0-x'°-,

令10-2r=2,得r=4,

所以一项的系数为C：°=210,

故答案为：210

5.（2324上•闵行•期中）某校举办校运动会，需从某班级3名男同学4名女同学中选出3名志愿者，选出的3人中

男女同学都有的概率为.

【答案】y

【分析】根据题意先求出7人中选3人共有C；种方法，选出的3人中男女同学都有，则分1男2女，2男1女，求

出符合要求的方法数，进而求出答案.

【详解】根据题意,7人中选3人共有C；种方法，若选出的3人中男女同学都有，则选出为1男2女或2男1女，

若选出1男2女，方法数为C；Cj；

若选出2男1女，方法数为C；C；；

所以选出的3人中男女同学都有的方法数共有C；C：+C；C：=30种

—，30306

所以选出的3人中男女同学都有的概率为至二升二,.

故答案为：y.

6.（2324上•浦东新•期中）夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，

为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，

则不同的检查方案一共有种.

【答案】12

【分析】先将心电图、血压测量两项全排列，再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，最后将抽血放在第一位

即可.

【详解】解：由题意得：将心电图、血压测量两项全排列，有A；=2种情况，

再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，有A；=6种情况

最后将抽血放在第一位，有1种情况，

所以共有2x6x1=12种情况，

故答案为：12

7.（2324上.虹口•期中）从甲、乙、丙、丁、戊等5名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人中只有1人被

选到的概率为.（用数字作答）

3

【答案】-/0.6

【分析】先计算出从5名同学中选2名同学的情况，再计算出甲、乙两人中只有1人被选到的情况，从而得解.

【详解】从5名同学中选2名同学共有斗第;1。种情况,

其中甲、乙两人中只有1人被选到有C；C；=2x3=6种情况，

故所求概率为4=|.

3

故答案为：—.

8.（22・23•嘉定•二模）已知〃wN,若C々二Ps?,贝|九二.

【答案】3

【分析】由组合数和排列数的计算公式求解.

【详解】=5x4=20=^6x5—x4=C^,则〃=3.

3x2x1

故答案为：3

52345

9.（22,23・黄浦•二模）已知加是加一2与4的等差中项，＞（,m+x）=a0+axx+a2x+a3x+a4x+a5x,则%的值

为.

【答案】40

【分析】首先根据等差中项的性质求出利=2,再利用二项式的通项得到相应「值，代入即可得到答案.

【详解】由题意得〃Z-2+4=2〃2,解得m=2,

5

则二项式（2+x）的通项为Tr+i=C；.25T,x，，

令r=3则有n=C32，x3=40x3,故%=40,

故答案为：40.

10.（2223•闵行•二模）今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校，给学校老师和

学生接种流感疫苗.若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法数为.

【答案】12

【分析】先利用组合知识选出一个小组，剩下的一组就确定了，然后利用分步乘法原理即可求解.

【详解】从2位医生中选1人，从4位护士中选2人，分到第一所学校，有C；C：=12种方法，

剩下的1位医生和剩下的2位护士只能分到第二所学校，只有1种方法，

根据分步计数原理得不同的分配方法共有C；C：xl=12种.

故答案为：12.

11.（22.23下・徐汇・模拟预测）若等式1+x+Y+V=4+4（1-尤）+g（1-+%（1-彳了对一切xeR都成立，其中旬，

%,为实常数，则。1+。2+“3的值为-

【答案】-3

【分析】在所给的已知式中，令x=0,可得%+4+/+%的值，再令x=l,求出旬，即可得解.

【详解】因为等式1+尤+尤2+V=%)+q(1—x)+a,(1—%)?+q(l—尤y

对一切xeR都成立，其中旬，％,%，%为实常数，

贝!J令x=0,可得旬+%+%+/=1,

令x=l,可得旬=4,

所以%+%+。3=-3.

故答案为：-3.

12.(22-23•闵行•二模)若X*=4+4(尤—1)+,+/(x—I)',则的=.

【答案】56

【分析】把尤-表示成(xT)的二项式形式，再根据二项式定理求解作答.

888

【详解】依题意，x=[l+(x-l)]=a0+a,(x-l)++a8(x-l),

所以q=C；=56.

故答案为：56

2024

04

13.(22-23•徐汇•二模)若(1+x)(l—2X)2M=%+qx+++tz,024x~-,a(GR(z=0,1,2,■,2024),贝!]£《=.

i=l

【答案】-3

【分析】根据赋值法，分别令x=l，尤=0求解可得.

【详解】令X=1可得：%+%+/++*=(1+1)(1-2产寸2,

2023

再令x=0可得：«0=(1+0)(1-0)=1,

2024

所以ZX=-2-4=-3.

1=1

故答案为：-3

3030

14.(2223•闵行三模)若(2无+1)3°=则£即被10除所得的余数为.

k=0k=0

【答案】9

30

【分析】令X=l,可得Z&=3加=915=(10-1)15,结合二项展开式，即可求解.

k=0

30

a33015151514

[详解]令X=1,可得Ek==9=(10-I)=C°510-C}510+--+C^IO'-C；^=CMOS_C5I014+...+c；；10J1,

k=0

30

所以£血被10除所得的余数为9.

k=0

故答案为：9.

15.（2Z23杨浦•模拟预测）若"2x）2=%+空+...+/侬产%则3+2+…+蟹=.

【答案】-1

【分析】二项展开式中通过赋值法求解即可.

【详解】令x=0,得4=1,令x=\得%+彳+墨++筹+篝=。，

而I4।〃2022।.2023_1

加以5+梦++萍r+迹■---

故答案为：-L

16.（2223・虹口•三模）,+（〃为正整数）的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常

数项为.

【答案】20

【分析】根据第三项与第五项的系数相等，建立方程求出〃=6,然后进行计算即可.

【详解】第三项与第五项的系数相等，

,V=C：,得“=2+4=6,

6

则1+工I的展开式中的常数项为c：=20.

故答案为：20.

17.（2324上•长宁•期中）从甲、乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲、

乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有种.

【答案】54

【分析】根据排列数利用间接法，在总体中排除没有甲、乙的参赛方案.

【详解】若甲、乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，共有A；=60种不同参赛方案,

若没有甲、乙入选的不同参赛方案共有A；=6种,

所以甲、乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有60-6=54种.

故答案为：54.

18.（2223•浦东新•模拟预测）（x+2）8的二项展开式中系数最大的项为.

【答案】1792X2,1792?

【分析】设第r+1项的系数最大，列不等式求,，再由通项求解即可.

【详解】设（x+2）8展开式的第厂+1项的系数最大，

q-2r>C；+1-2r+1

则解得5Vr46,

所以系数最大的项为第6或第7项,

所以系数最大的项为：

"=C>2,=1792尤3,

622

T7=C^-2-X=1792X.

故答案为：1792./,1792/

3

19.（23-24上•嘉定•开学考试）若等式1+尤+尤2+x=4+4（1-尤）+生（1-尤+4（1-尤）3对一切X©R都成立，其中a0,

%,出，“3为实常数，则%++%+%的值为-

【答案】1

【分析】赋值法求解系数和，令x=0即可得.

3

【详解】由等式1+x+x?+X=00+（^（1-x）-+o3a-x）3对一■切xeR都成立，

其中"o，%'。2,”3为实常数，

则令1—尤=1,即令x=O,可得。°+4+/+%=1.

故答案为：1.

20.（2324上•松江•阶段练习）已知（3+©）5的展开式中各项系数的和为32,则。=.

【答案】-1

【分析】直接在原二项式中令x=l,可得展开式中各项系数的和，再由展开式中各项系数的和为32求解即可.

【详解】令x=l,得（3+依丫的展开式中各项系数的和为（3+4=32=25,解得a=-l.

故答案为：-1.

21.（2324上•嘉定・期中）在（、历x-l）6的二项展开式中任取一项，则该项系数为无理数的概率为.

【答案】|3

【分析】首先求得二项式展开式的通式，根据通式确定展开式中无理项的个数，再根据古典概率求解即可.

6rrr6-r6r

【详解】（&-1）的展开式的通式Tr+X=C6（缶厂.（-l）=C6（-l）（72）x-,

当一{1,3,5},（应厂为无理数，得：概率为方

3

故答案为：—

22.（22・23下•普陀・模拟预测）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的

数值之比为（用最简分数表示）.

第

0行1

第

1行11

第

2行12

第

3行133

行

第446

行

第551O11

【答案】I

【分析】第10行从左至右依次为C；°,c；°,c；。,…,C；；,由二项式系数性质可得答案.

【详解】观察知第10行从左至右依次为CMC；。,。：。，，c；；,

由二项式系数的性质可得c：0=252最大，其次为C：。=C：。=210,

所以第io行中最大的数与第二大的数的数值之比为鼻=m=：.

故答案为：y.

23.（2324上•静安.开学考试）盒中装着标有数字1、2、3、4的卡片各2张，从盒中任意取3张，每张卡片被抽出的

可能性都相等，则抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率.

【答案】看9

【分析】求出基本事件总数，再求出符合条件的基本事件数，最后根据古典概型的概率公式计算作答.

【详解】设“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A,

显然试验发生包含的基本事件数有C；个，

事件A是有1个4的事件与有2个4的事件的和，基本事件数有《晨+个，

所以所求概率P（A）=CRCC=5.

yI"

9

故答案为：—

14

24.（2324上.虹口•期中）在由数字1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，小于50000的奇数有个.

【答案】60

【分析】小于50000的奇数万位只能是1,2,3,4,分万位为1,3和2,4,分别求出其方法总数，由分类加法计数

原理求解即可.

【详解】小于50000的奇数万位只能是1,2,3,4,个位只能为1,3,5,

①万位为1或3,则万位有C；种方法，个位有C；种方法，

其余各位为A；=3x2=6种方法，则C；-C；•A；=24种方法；

②万位为2或4,则万位有C；种方法，个位有C；种方法,

其余各位为A；=3x2=6种方法，则C；C.A；=36种方法；

共有：24+36=60种方法.

故答案为：60.

25.（2324上•浦东新•阶段练习）在某道选词填空题中，共有4个空格、5个备选单词，其中每个空格只有备选单词

中的一个正确答案（备选单词中有一个是多余的），则4个空格全部选错的概率是.

53

【答案】面

【分析】根据题意，由分类加法计数原理与组合数的应用可得全部选错的情况数，然后结合古典概型的概率计算公

式，即可得到结果.

【详解】假设5个单词分别是正确的顺序为ABCD,

第一大类为选出的4个单词不包含E,

则符合要求的情况有：BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DCAB,DCBA,DABC共9种；

第二大类为选出的4个单词包含E,

先选出E,则有C：种情况，假设选出的单词为A,反CE,

当E在第四个位置时，符合要求的情况有BCA,CBA共2种，

当E不在第四个位置时，从剩下的3个位置选1个，有C；种情况，

假设E在第一个位置，则此时符合要求的情况数有E42C,ECBA,EC钻共3种，

则共有C（2+3C；）=44；

则符合要求的情况共有44+9=53,且全部情况为A；=12。，

则4个空格全部选错的概率是5三3.

120

53

故答案为：商

11c

26.（2324上•浦东新•阶段练习）已知正整数机，"满足加＜〃V24,若关于彳的方程？_蜘+2-sin（内）=?有

实数解，则符合条件的（加,〃）共有对.

【答案】37

【分析】根据题意，将方程化简可得sin（祖x）=sin（m）=l,从而可得〃（mod4）,然后分类讨论相加，即可得到

结果.

【详解】因为sin（如）目-1』，所以2_si；（_）e'同理可得窿丸荷g」，

又2Ti：（m）+2—si：W）=2,所以sin（mx）=sinW）=l,

所以mx=（2左i+；］兀，依=12&+；）兀，其中左wZ,

从而m（4k2+1）=〃（4匕+1）,即m=n（mod4）.

①若机=l（mod4）/=l（mod4）,

取自=、一,《=一1，则x=k即为方程的解，

此时共有C；=15种；

②若〃z=3（mod4）,〃=3（mod4）,

设取公=匚1,匕=丝二1,则x=?即为方程的解，

444

此时（加㈤共有C；=30种；

③若机，〃模4余2,

则〃犷e{2,6,10,14,18,22},从而三£©{1,3,5,7,9,11},

由①②可知此时（m,〃）共有2xC；=6种；

④若机，”模4余0,则以〃e{4,8,12,16,20,24},从而7e{1,2,3,4,5,6},

模4余1的是（L5）,由①知可以；模4余2的是（2,6）,由②不可以，

故此时（根,〃）共有1种；

综上所述符合条件的（〃4”）共有30+6+1=37对.

故答案为：37

二、单选题

27.（2223•青浦•二模）已知"为正整数，则“"是3的倍数”是的二项展开式中存在常数项”的（）条件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】根据二项式展开式的通项公式以及充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】p-^T展开式的通项公式为C：.（X4厂.（-2-y=（-2/-C：.-,

2

令4孔一6〃=0,解得丁二1〃，

所以，若，4-的二项展开式中存在常数项，则〃是3的倍数.

所以“〃是3的倍数”是“卜一总］的二项展开式中存在常数项”的充要条件.

故选：C

28.（23.24上・黄浦•阶段练习）伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题.当〃eN,

"'2时，*=[1一"]1一4"I-工〕…h-/二1••，又根据泰勒展开式可以得到

9兀J1nTiJ

35

.XX(-1广"根据以上两式可求得]4+=()

sinX=X------1------F---F-----7-----F•

3!5!(2n-l)!I22232*

人兀2JI2

A.—D,—C.—D.—

6384

【答案】A

【分析】推导出皿=1-工+二+••

x3!5!(2«-l)!x(71-人47rli9兀)

开式中V的系数，由此得到结论.

,3„5(_]丫1%2"-1

【详解】由〃EN,n>2,sinx=x---+—+---+^~—+•••,两边同时除以X,得

；!5!(2n-l)!

sinx,??(-1广--2

x3!5!(2n-l）!

又叫『2—J“展开式中小的系数为一3F+22+32

所…以一1门/斥+1级+1?+…+了1

,11117l2

所crK以齐+宇+…+/+•••=

~6

故选：A

29.(2324上•杨浦・阶段练习)已知对任意正整数对他㈤，定义函数/（"㈤如下：

(z+l)/(f+1,J)=(JJ),0,则下列正确的是（）

A./(z+l.j)=lB./（Z,J）=2C；1

c.Z[AfO;j)]=r(2J--1）D.4一"（盯）］=2"+〃—2

Z=1六1日

【答案】C

f(i+1,j)j—i

【分析】根据新定义得L..]=一，令i=/，可判断A,对

z+1

i-i+1

=＞一累乘结合组合数的阶乘形式化简即可判断B,

-2"(2,力一3'〃3,力一4

根据二项式系数和公式判断C,结合等比数列前n项和公式根据分组求和求解判断D.

【详解】因为=所以j-i

N，j)z+1

令，=九则=0,所以〃