4.5 相似三角形的性质及其应用（9大题型）（分层练习）（解析版）

第4章相似三角形4.5相似三角形的性质及其应用（9大题型）分层练习考查题型一重心的有关性质1．（2023春·安徽·九年级专题练习）下列说法中正确的是（

）①等边三角形三条高的交点就是它的重心；②三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】A【分析】根据三角形重心的性质分别判断，利用相似三角形的判定和性质判断相应推论．【详解】解：①等边三角形三条高的交点既是它的垂心，也是重心，故正确；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一，故正确；如图，O为重心，过点O和点A分别作的垂线，垂足为E，F，则，则，∴，即三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一，故②错误，④正确；故选A．【点睛】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．2．（2023·陕西榆林·统考二模）如图，点G为的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若，则EF的长度为（

）

A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．3.4【答案】A【分析】根据点G为的重心，可知点E为的中点，点F为的中点，即可求解．【详解】解：∵点G为的重心，∴点E为的中点，点F为的中点，∴为的中位线，∴，∵，∴，故选：A．【点睛】本题考查了三角形重心的概念，知道重心是中线的交点是解题的关键．3．（2023·江苏苏州·苏州高新区第二中学校考二模）等腰中，，，则重心G到底边的距离是．【答案】/【分析】根据题意作出高线，首先根据等腰三角形的性质及勾股定理可求得的长，再根据重心的性质即可求得结果．【详解】解：如图所示，过点A作于点D，

∵，，∴，∴，∵为等腰三角形底边上的中线，∴重心一定在上，且重心G到底边的距离为的长，根据重心的性质可知，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，重心的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．4．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在x轴负半轴，，点M为的重心，若将绕着点O逆时针旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为．

【答案】【分析】由重心的性质可得点的坐标，根据旋转的性质证全等即可求得旋转后三角形的重心的坐标．【详解】解：∵，点M为的重心∴,∵点∴点

∵将绕着点O逆时针旋转90°过点作轴，连接∵∴∵∴∴∴点故答案为：【点睛】本题考查了重心的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等．熟记相关数学结论是解题关键．5．（2023春·安徽芜湖·八年级校考阶段练习）如图，是的重心，且，，，求中边上的高．

【答案】【分析】延长到，使得，与交于点，连接，，延长与交于点，根据勾股定理的逆定理证明，继而求得的面积，最后根据的面积求得边上的高即可．【详解】解：延长到，使得，与交于点，连接，，延长与交于点，如图，

是的重心，，，，，，四边形为平行四边形，，，，，，，，，，设中边上的高为，则，．故中边上的高为．【点睛】本题考查了三角形的面积公式，平行四边形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．考查题型二相似三角形的判定与性质综合1．（2023秋·河北邯郸·九年级校考阶段练习）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（

）A．7.5 B．8 C． D．【答案】C【分析】证明，求得，再根据三角形的面积关系求得结果．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，关键在于证明．2．（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，则的长为（

）．

A．4 B．2 C．1 D．3【答案】B【分析】根据三角形中位线定理得到，，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】解：，分别是和的中点，是的中位线，，，，，点是的中点，，故选：B．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，根据三角形中位线定理求出是解题的关键．3．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）如图，在矩形中，，，若点E是边的中点，连接，过点B作于点F，则的长为．

【答案】【分析】先根据矩形的性质得到，，，求得，再根据勾股定理得到，然后证明，列比例式即可解得答案．【详解】解：∵四边形是矩形，，，，，∵E是边的中点，，，，，，，即，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，中，，于，，，则的长为．【答案】2【分析】证明，得到，代入已知数据，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴（负值舍去），故答案为：2．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．5．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，点C是边上一点，且满足．

(1)证明：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)．【分析】（1）根据相似三角形的判断方法，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明结论成立；（2）根据相似三角形的性质，得，先求出，即可求出．【详解】（1）证明：，，，，∴；（2）解：，，，，，，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．考查题型三利用相似三角形的性质求解1．（2023秋·河北邯郸·九年级校考阶段练习）如图，有一锐角为的三角尺，它的内外两个三角形是相似的，三角尺的斜边长为，其内部三角形的最短边长为，则这个三角尺内外两个三角形的面积比为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据含有角的直角三角形的三边关系得到两个三角形的边长比，再利用相似三角形的性质得到两个三角形的面积比等于边长比的平方．【详解】解：如图，对图中的点进行标注，

根据题意可得是直角三角形且，，，，这个三角尺内外两个三角形的面积比为，即这个三角尺内外两个三角形的面积比为，故答案为：D．【点睛】本题考查了含有角的直角三角形的三边关系，相似三角形的性质，熟知上述性质得到两个三角形的边长比是解题的关键．2（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市实验学校校考阶段练习）如图，已知点D、E分别是边上的点，且，相似比为，交于点F．则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据相似三角形的性质可得，，再根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比即可求解．【详解】解：∵，是公共角，∴，∴，∵，∴，∵，相似比为，∴，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，明确“相似三角形的对应边上高的比等于相似比”，灵活运用是关键．3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，小亮利用标杆测量建筑物的高度，已知长为，测得长为，长为，则长为.

【答案】/4米【分析】根据得到，列式计算即可.【详解】解：依题意得：，∴，∴，∵长为，测得长为，长为，∴，解得，故答案为：.【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判断是解题的关键.4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，点D、E分别是边、上的点，且，，那么．

【答案】【分析】根据推出，根据推出，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可解答．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点是边上一点，且满足．

(1)证明：；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据相似三角形的判断方法，两角分别相等的两个三角形相似，证明即可；（2）根据相似三角形的性质，得，先求出，即可求出．【详解】（1）证明：在与中，，∴；（2）解：∵，∴，即，∴，，∴，又∵，，∴，解得：，∴，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．考查题型四证明三角形的对应线段成比例1．（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）在直角坐标平面内，一点光源位于处，线段垂直于x轴，D为垂足，，则的长为（

）．A． B．3 C．4 D．【答案】A【分析】根据题意，结合图形，利用相似三角形△的性质解答．【详解】∵轴，∴，∴，∴，∵，C点坐标为，∴，∴，故选A．【点睛】此题考查了平面直角坐标系的知识，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．2．（2023秋·湖南娄底·九年级统考期末）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．【详解】解：∵△ABC∽△ADB，∴，∴AB2=AC•AD．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是解题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=．【答案】3:2【详解】因为DE∥BC,所以,因为EF∥AB,所以,所以,故答案为:3:2.4．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，在中，分别平分与，延长交于点D，连接，作，垂足为E，若，，，则的面积为．【答案】【分析】过D点作交于点F，则，得到，可求出的长，利用角平分线得到，进而求出长，计算面积即可．【详解】解：如图，过D点作交于点F，∴,∴,∵∴DF∵∴∵平分∴∴∴∵∴故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．5．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，边长为1的小正方形组成了网格，点A、B均是格点，请你仅用无刻度的直尺画出满足下列条件的点P，并在图中标出点P．

(1)图①中，点P为的中点；(2)图②中，点P在线段上且．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接图中，与的交点即为点P；（2）连接图中，与的交点即为点P；【详解】（1）解：如图，点P即为所求；

（2）解：如图，点P即为所求；

【点睛】本题主要考查作图，矩形的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握画图的技巧是解题的关键．考查题型五利用相似求坐标1．（2022·海南·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论．【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），∴AC=6，OC=2，OB=7，∴BC=9，∵四边形OCDE是正方形，∴DE=OC=OE=2，∴O′E′=O′C′=2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′=∠BCA=90°，∴E′O′∥AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴，∴，∴BO′=3，∴OO′=7-3=4，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．2．（2020秋·广东汕尾·九年级校考阶段练习）如图，直线与轴交于点，将该直线绕着点逆时针旋转所得的直线对应的函数解析式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得绕P点逆时针旋转90°，首先直线解析式的b值是不变的，再根据旋转后的图形和原图形相似，根据一次函数的解析式，即可得到答案.【详解】根据题意可得，设原图形与x轴交于A点，新函数与x轴交于B点，∴当y=0时，，解得x=-1，∴OA=1，OP=，∵旋转90°，∴，∴，∵,∴,∴，∴OB=3，则B点坐标为（3,0），设，将B（3,0）代入可得，∴.故选D【点睛】本题考查求一次函数解析式及三角形相似相关知识，关键是利用旋转后的图形与原图形相似，得到新函数解析式与x轴的交点.3．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为．【答案】或【分析】根据直线恒经过点，分类讨论，结合一次函数的图象，构建直角三角形，等腰直角三角形，结合勾股定理和相似三角形的判定和性质进行求值即可求解．【详解】解：∵直线，即恒过点，当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作轴交于点，如图：

∵，故，，在中，，又∵，，∴，∴，即，，解得，，∵两直线的夹角为，即，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，故，∴，在中，，即，∴，∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为，点到轴的距离为2，故点到轴的距离为，即点的纵坐标为，点的横坐标为，故；当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作交于点，如图：

∵，故，，在中，，又∵，，∴，∴，即，，解得，，∵两直线的夹角为，即，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，故，∴，在中，，即，∴，∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为，点到轴的距离为2，故点到轴的距离为，即点的纵坐标为，点的横坐标为，故；综上，点的坐标为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．4．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则（1）与的位置关系是；（2）求点的坐标是．【答案】平行【分析】（1）通过中线倍长构造全等三角形，然后二次全等证明几点共线，直接判定平行即可．（2）先利用点在函数上求出点的横纵坐标数量关系，然后利用勾股定理直接求出边长；再通过一线三等角构造相似三角形，利用相似比求出点的坐标即可．【详解】（1）如图所示，延长至H，使得，连接绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，，，那么在和中(SAS)，那么在和中(SAS)三点共线（2）如图所示，过作于M，过作于N，设AB所在直线解析式为带入，，解得设在中，，解得故答案为：平行；【点睛】此题考查利用相似求坐标，涉及到勾股定理和一次函数相关知识点，比较综合，且计算量较大，解题关键是构造一线三等角的相似来求解．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且．(1)直接写出___________，___________(2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标．【答案】(1)2，3(2)【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；（2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得．【详解】（1）解：，因式分解，得，解得或，的值是关于的一元二次方程的两个根，且，，故答案为：2，3．（2）解：由（1）可知，，，，，，，解得，又，且点在轴上，．【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．考查题型六在网格中画与已知三角形相似的三角形1．（2022秋·九年级单元测试）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，下列阴影部分的三角形与相似的是（）A．B． C． D．【答案】A【分析】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．【详解】解：在中，，，，A、三边分别为，，，则，故与相似，符合题意；B、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意；C、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意；D、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．2．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用相似三角形的判定定理即可判断．【详解】解：中，是正方形的对角线，∴，且，，即，要使，则，观察图形，只有是正方形的对角线，即，且，，即，∴点符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握“根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键．3．（2022秋·上海宝山·九年级校考阶段练习）如图，在5×5的正方形网格中，点A、B、C、E、F都在小正方形的顶点上，试在该网格中找点D，联结DE、DF，使得△DEF与△ACB相似（在图中画出符合题意的点D）【答案】见解析【分析】利用相似三角形的判定方法——“两组对边成比例且夹角相等”作图即可．【详解】解：设小正方形的边长为1，则，，，利用格点作，若△DEF与△ACB相似，则，即，解得，因此在DF上取点D使得即可．如图所示，△DEF与△ACB相似．【点睛】本题主要考查画相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．4．（2022秋·河北张家口·九年级统考期中）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在的网格中，是一个格点三角形，如果也是该网格中的一个格点三角形，它与相似且面积最大，那么与相似比的值是．【答案】【分析】根据表格求出的三边长，作出，求出的三边长，然后对应的边作比可得比值相等，两个三角形相似，相似比即为对应边的比，此时面积是最大的．【详解】解：由表格可得：，，，如图所示：作，，，∵，∴与的相似比为，由于表格的限制，可得且此时面积最大，故答案为：．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，在表格中作出相似三角形是解题关键．5．（2023春·吉林·九年级专题练习）图①、图②均是由48个小正方形组成的的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点的三角形称为格点三角形，如图①，即为格点三角形，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中作，使是格点三角形且与相似．(2)在图②中作，使与相等，要求点F为格点且不与点C重合．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据相似三角的性质，取格点D，E，即可求解；（2）取格点F，使，可证明点B，A，C，F四点共圆，即可求解．【详解】（1）解：如图1中，即为所求；理由：根据题意得：，，∴，∴；（2）解：如图2中，即为所求．理由：由（1）得：，∴，∴，连接，根据题意得：，，∴，∴，∴点B，A，C，F四点共圆，∴．【点睛】本题主要考查了作图的设计与应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质，圆周角定理是解题的关键．考查题型七相似三角形—动点问题1．（2023春·吉林长春·九年级校考开学考试）如图，中，，，，，点是边上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的值是（

）

A．2或 B． C．3或 D．3【答案】A【分析】根据含30度的直角三角形的性质求出，分两种情况：①，根据相似三角形的性质和判定求出，求出；②，根据相似三角形的性质和判定求出，求出即可．【详解】解：∵，，，∴，当时，，，∴，∴，即，∴，∴；

当时，，，∴，∴，即，∴，∴；

综上：的值是2或，故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键．2．（2023·江苏南通·校考一模）如图1，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是（

）A．20 B．16 C． D．【答案】A【分析】由题意可知，易证，可得，根据二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，列出方程式即可解题．【详解】解：若点在上时，如图，，，，在和中，，，∴，由二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，此时，，即，，当时，代入方程式解得：(舍去)，，，，，矩形的面积为；故选：A．【点睛】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出为中点是解题的关键．3．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）在中，，，点是的中点，点为上一动点，当时，与相似．【答案】或【分析】根据相似三角形的性质可得比例关系进而得出的值．【详解】解：∵和相似时，∴或者，∵在中，，，点是的中点，∴，∴由可得，由可得，故答案为：或，【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据题意列出线段的比例关系是解题的关键．4．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．运动过程中，若以B、P、Q为顶点的三角形与相似，则运动时间为s．【答案】2或【分析】设点P运动的时间为，则，，再分两种情况求t的值，一是，则，可列方程；二是，则，可列方程，解方程求出相应的t的值即可．【详解】解：设点P运动的时间为，则，∴，∵，∴当时，，∴，∴，解得；∵，∴当时，，∴，∴，解得．综上所述，运动时间为或．故答案为：2或．【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示相似三角形的对应边的长度是解题的关键．5．（2023·安徽滁州·校考一模）在中，，，现有动点从点出发，沿线段向点方向运动：动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求：(1)当时，、两点之间的距离是多少？(2)若的面积为，求关于的函数关系式．(3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出；（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知的长，可将用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解；（3）应分两种情况：当时，根据，可将时间t求出；当时，根据，可求出时间t．【详解】（1）由题意得则（1）当秒时，，，由勾股定理得；故、两点之间的距离是（2）由题意得则∴由题意可知∴关于的函数关系式为（3）当时即解得当时即解得综上所述：或．【点睛】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．考查题型八相似三角形的应用举例1．（2023秋·河北石家庄·九年级校考阶段练习）有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有几个（）

A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据题意，可得底层可以放置个小长方形，根据顶层与的边交于点，可得，由此可求出的值，可得共堆叠的层数，由此即可求解．【详解】解：∵的底边为，最底层的小长方形的长为的边在上，∴底层可以放置个小长方形，即，如图所示，顶层小长方形与的边交于点，连接，过点作于点，交于点，∴，∴，且，，，∴相似比为，∴，则，∴，∵小长方形零件的高为，∴，即可以叠四层，∴共有个，故选：．【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质，掌握其运算方法是解题的关键．2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为，小孔O到物体和实像的水平距离分别为，则实像的高度为（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】证明，利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求得实像的高度．【详解】解：由题意得：，∴，∴，∴=（相似三角形对应边上的高之比等于相似比），∴，∴，∴实像的高度为，故选：C．【点睛】本题是相似三角形的应用，考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解题的关键．3．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，刻度尺的分度值为．玻璃管的内径正对“30”刻度线，正对“50”刻度线，，量得，则内径长为．

【答案】6【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出进而得出比例式求出答案．【详解】解：由题意可得：∵，∴，又∵∴，∴，∵∴，解得：，故答案为：6．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出正确比例关系是解题关键．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图是某风力发电机示意图，其相同的三个叶片均匀分布，每个叶片长，即．水平地面上的点M在旋转中心O的正下方，即．当风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大时，若垂直于地面的木棒与影长的比为，则此刻风力发电机的影长为m．【答案】200【分析】当在的延长线时，风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大，最大高度为，然后设此刻风力发电机的影长为x米，根据题意可：，最后进行计算即可解答．【详解】解：当在的延长线时，风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大，最大高度为，设此刻风力发电机的影长为，由题意得：，即：，解得：，经检验：是所列方程的根，∴此刻风力发电机的影长为，故答案为：200．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．5．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标，在近岸取点和，使点、、共线且与河垂直，接着在过点且与直线垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且与垂直的直线交点．测得，，，请根据这些数据求河的宽度．

【答案】【分析】根据题意证明，再由相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，即，∴，解得：，答：的长为．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．考查题型九相似三角形的综合问题1．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（

）A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3【答案】B【分析】根据两三角形相似，面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：∵与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为，∴，，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键．2．（2022秋·福建宁德·九年级统考期末）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8【答案】B【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，其位似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4．故选：B．【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．3．（2021春·全国·九年级专题练习）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为.【答案】1【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得，只要求出BM、BD即可解决问题．【详解】∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ABC，∵∠C=∠C，∴△CAD∽△CBA，∴∴，∴CD=，BD=BC-CD=6-=，∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴，即，∴DM=，MB=BD-DM=-=，∵∠ABM=∠C=∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴，∴．【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题.4．（2023秋·九年级课时练习）如图，在△ABC中点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8，则AD：AB＝．【答案】1：3．【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△AEC，∴=()2∵S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8，∴S△ABC＝9，∴=，∴，故答案为1：3．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且于F．（1）求证：△BEF∽△CFG；（2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长．【答案】（1）见解析

（2）【分析】（1）证明∠BEF=∠CFG，结合∠B=∠C=可证得△BEF∽△CFG；（2）由△BEF∽△CFG，可得，代入数据可得CG．【详解】解：(1)∵ABCD是正方形，于F∴∠B=∠C=∠EFG=∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG=∴∠BEF=∠CFG∴△BEF∽△CFG(2)解:∵△BEF∽△CFG∴∴．【点睛】本题考查了在正方形中进行一线三角形相似的证明，并利用相似进行线段长度的计算，熟知以上模型是解题的关键．1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，在中，，于，且，那么（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先证明，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解∶∵，，∴，，，∴，∴，∴，∴．即．故选∶B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟记相似三角形的判定与性质．2．（福建省漳州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（A卷））如图，在菱形中，E为上一点，、交于点O，若，则等于（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据菱形的性质得到，，再证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方得到即可求解．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，∴，，∴，∴，∴，则，故选：B．【点睛】本题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，利用相似三角形的性质求解是解答的关键．3．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期中）正方形中，，点为边上一动点（不与点重合），将绕点逆时针旋转得到，过作交于点．则的最小值为（

）

A． B．4 C． D．5【答案】C【分析】通过证明，可得，由二次函数的性质可求的最大值，即可求解．【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，∵，，，，，，，∴，，，即，当时，有最大值，∴的最小值为，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，证明三角形相似是解题的关键．4．（2022·安徽合肥·校考三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．【详解】解：、，，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴，点是的中点，，，，∴，，∴，∴，故选：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，求出．5．（2021·广东深圳·统考一模）如图，在矩形中，，E为中点，连接交于点F，连，下列结论：①；②；③；④．正确的有（）个．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用矩形的性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质即可解答．【详解】解：①为中点，，，，，，，，，，故①正确；②过点作于点，如图，

设，则，，，，，，设，则，在中，，即，解得：，，在中，由勾股定理得，，即，，，，故，故②错误；③，，，，，，，，，故③正确；④如图，

在，由勾股定理得，，，在，由勾股定理得，，在，由勾股定理得，，故④正确；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，相似三角形的性质等知识，关键能运用这些知识表示出需要的边或角，即可解决．6．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期中）如图，在中，，于D．若，，则．

【答案】【分析】可得，，从而可证，即可求解．【详解】解：，，，，，，，，，解得：（）．故答案：．【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．7．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，垂足为D，，垂足为E，若，则

【答案】4【分析】利用，，可判断，则，利用比例性质得，加上，根据三角形相似的判定方法即可得；据此求解即可．【详解】证明：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵在中，，∴，∵，∴，∴．故答案为：4．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方．8．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似．

【答案】或【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与相似，则要分两种情况进行分析．分别是或，利用相似的性质得出比例线段并建立方程即可．【详解】解：设经x秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与相似，则，，∴，∵四边形是矩形，∴，，，

①当时，有，∴，即，解得；②当时，有，∴，即，解得，∴经过2秒或秒时,以P、B、Q为顶点的三角形与相似．故答案为：2或．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确分类是解题的关键．9．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，将矩形沿对角线翻折，点C的对应点是点N，与交于点P，与交于点M，若，，则．

【答案】3【分析】根据矩形的性质和，可得，从而可得，再由矩形的性质可得，再证明，可得，设，，利用勾股定理求得，即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∴，设，，∵，在中，，解得，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理、线段成比例，熟练掌握线段成比例定理及全等三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2023秋·湖南衡阳·九年级校联考阶段练习）如图，在正方形中，点是上一动点(不与重合)，对角线相交于点，过点分别作的垂线，分别交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤点在两点的连线上．其中正确的是．

【答案】①②③⑤【分析】①根据题意及正方形的性质，即可判断；②根据及正方形的性质，得，同理可证，根据题意可证四边形为矩形，则，则，，故证明；③根据四边形为矩形的性质，在直角三角形中，使用勾股定理，即可判断；④是等腰直角三角形，而P点是动点，无法保证是等腰直角三角形，故④可判断；⑤连接，证明，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可证明．【详解】解：∵四边形是正方形，为对角线，∴，根据题意，故，∴，在三角形与中，，∴，故①正确；∴，同理，可证，，∵正方形中，，又∵，∴，∴四边形为矩形，∴，∴，又∵，，∴，故②正确；∵四边形为矩形，∴，在直角三角形中，，∴，故③正确；∵是等腰直角三角形，而P点是动点，无法保证是等腰直角三角形，故④错误；连接，在和中，∴，同理可证，又∵，，∴M，N，P在以O为圆心，为半径的圆上，又∵，∴是圆O的直径，∴点在两点的连线上．故⑤正确．故答案为：①②③⑤．【点睛】本题主要考查几何综合问题，掌握正方形、矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解答本题的关键．11．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）如图，身高的小王晚上在灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部点向东走20步到点处，发现自己的影子端点落在点处，作记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点处，此时影子的端点在点处，已知小王和路灯的底端在同一水平线上，且小王每步的间距相同．计算路灯的高，并求影长合计为多少步．

【答案】路灯的高为，影长合计为步【分析】设步，则步，证明得到，由此代值计算即可得到答案．【详解】解：设步，则步由题意得，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∴路灯的高为，影长合计为步．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．12．（2022·安徽淮北·淮北一中校联考模拟预测）如图，为半圆的直径，点在半圆上，平分，交半圆于点，交于点．

(1)求证：；(2)与的延长线交于点，若，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由平分及圆周角定理可得，进而证明．（2）连接，，设，则，，通过证明求解．【详解】（1）证明：平分，，，，，即．（2）解：连接，，设，则，，

，，，，，，又，，．【点睛】本题考查圆与三角形的结合，解题关键是掌握相似三角形的判定及性质，掌握圆周角定理．13．（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段