第23讲 PISA类三角函数问题专训 (原卷版)

第23讲PISA类三角函数问题专训【知识点睛】资料概括：本资料针对九年级重点题型PISA类数学问题进行专题训练。PISA类数学问题与传统数学问题有所不同，对学生的评价主要指向学生的学科素养，或者说是考察学生使用学科语言的能力，即把发生在现实情境中的问题转化到数学模型中思考，让学生知道数学的各个方面对于解决问题都是具有真实效用的。PISA类问题在浙江九年级数学中经常以填空题的形式考察，通常放在第16题压轴题的位置，难度一般较大。【类题训练】1．如图1为某款“不倒翁”，图2为它的主视图，PA、PB分别与所在圆相切于点A、B．连接PO并延长交于点M，若该圆半径是6cm，PA＝8cm，则sin∠AMB的值为（）A． B． C． D．2．图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚OD＝OB＝50cm，展开角∠BOD＝70°，晾衣臂AO＝80cm，则支撑杆的端点A离地面的高度AE为（）A．130tan55°cm B．130sin55°cm C． D．3．综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝40cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面2m，到树EG的距离AF＝10m，BH＝30cm．则树EG的高度为（）​​A．7.5 B．8.3 C．9.5 D．7.94．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（）A． B． C． D．5．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2m，CD＝5.4m，∠DCF＝30°，则车位所占的宽度EF为米．（，结果精确到0.1）6．如图1是某品牌订书机，其截面示意图如图2所示．订书钉放置在轨槽CD内的ND处，由连接弹簧的推动器MN推紧，连杆EP一端固定在压柄CF上的点E处，另一端P在MN上移动．已知CA⊥AB，CA＝2cm，CE＝5cm，EP＝6cm，MN＝2cm，点H是底座上钉子的落点，AH＝12cm．（1）使用时，纸张放置在底座AB的合适位置，将压柄CF下压，使得点D与点H重合，即完成装订，则轨槽CD的长为．（结果精确到0.1cm）（2）装入订书钉时，需拉动压柄CF，点P滑动到与点M重合，压柄CF会带动推动器MN向点C移动．当∠FCD＝53°时，在ND处可以装入一段最长为的订书钉．（结果精确到0.1cm）（参考数据：）7．如图，准备在宽24米的迎宾大道AB路边安装路灯，设计要求：路灯的灯臂CD长4米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，灯柱BC与大道路面AB垂直，此时O恰好为AB中点．（1）∠DOB的度数为°．（2）现在由于道路两边都要装路灯，要求，且灯臂CD缩短为1米，其它的位置关系不变．则现在路灯的灯柱BC高度应该比原设计高度缩短了米．8．如图1是平阳实验中学校园内过道旁的灯柱，图2是灯柱的部分意图，此示意图是关于直线PQ的轴对称图形．已知：tan∠PAC＝，弧分别与直线AC、DE相切于C、D，BD⊥PQ，BQ∥DE，已知BD＝40cm，AC＝150cm，则弧所在圆的半径是cm，现要在灯柱两侧圆弧，上分别取中点M、M′，挂上学习标兵照片，则MM′＝cm．9．如图是体育场篮球架的实物图和示意图，已知支架AB的长为2.3m，支架AB与地面的夹角∠BAC＝70°，BE的长为1.5m，篮板部支架BD与水平支架BE的夹角为46°，BC，DE垂直于地面，则篮板顶D到地面的距离约为m．（结果保留一位小数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04．10．某款沙发三视图如图1所示，将沙发侧面展示图简化后放入平面直角坐标系，得到图2．其中椅背AB是双曲线的一部分，椅面BD是一条线段，点B（20，32），沙发腿DE⊥x轴、BC与x轴夹角为α．请你根据图形解决以下问题：​（1）k＝；（2）过点A作AF⊥x轴于点F．已知CF＝4cm，DE＝40cm，tanα＝4，tanD＝5．则：①A点坐标为；②沙发的外包装箱是一个长方体，则这个包装箱的体积至少是cm3（精确到万位，并用科学记数法表示）．11．金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果图．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段OP为主塔，在离塔顶10米处有一个固定点Q（PQ＝10m）．在东西各拉一根钢索QN和QM，已知MO等于282m．吊装时，通过钢索QM牵拉，主塔OP由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时∠PON＝60°，此时一名工作人员在离M6.4m的B处，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗．AB正好是他的身高1.6m．主塔OP的长为m．12．如图，某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户AB高为1.5米，BCD表示直角遮阳棚，墙BC长度为0.5米，此地一年的正午时刻，太阳光与地面的最大夹角为α，测得tanα＝，要使太阳光刚好不射入室内，遮阳棚水平宽CD应设计为米．13．如图所示，这是一款在某商城热销的笔记本电脑散热支架，在保护颈椎的同时能让笔记本电脑更好地散热．根据产品介绍，当显示屏与水平线夹角为120°时为最佳健康视角．如图，小翼希望通过调试和计算对购买的散热架OAC进行简单优化，现在笔记本电脑下垫入散热架，散热架角度为∠OAC＝30°，调整显示屏OB与水平线夹角保持120°，已知OA＝24cm，OB＝18cm，若要BC⊥AC，则底座AC的长度应设计为cm．（结果保留根号）14．如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB＝154cm，∠A＝30°，另一根辅助支架DE＝78cm，∠E＝60°．则水箱半径OD的长度为cm（结果保留一位小数．参考数据：，）．15．新冠疫情期间，同学们都在家里认真的进行了网课学习，小明利用平板电脑学习，如图是他观看网课时的侧面示意图，已知平板宽度即AB＝20cm，平板的支撑角∠ABC＝60°，小明坐在距离支架底部30cm处观看（即DB＝30cm），点E是小明眼睛的位置，ED⊥DC垂足为D．EF是小明观看平板的视线，F为AB的中点，根据研究发现，当视线与屏幕所成锐角为80°时（即∠AFE＝80°），对眼睛最好，那么请你求出当小明以此视角观看平板时，他的眼睛与桌面的距离DE的长为cm．（结果精确到1cm）（参考数据：）16．如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计．某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如表：根据表中提供的信息，主塔顶端E到AB的距离为47.7m．活动内容测量主塔顶端到桥面的距离成员组长：×××组员××××××××××××测量工具测角仪，皮尺等测量示意图说明：如图为斜拉索桥的侧面示意图，点A，C，D，B在同一条直线上，BF⊥AB，点A，C，分别与点B，D关于直线EF对称．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）测量数据∠A的大小28°AC的长度84mCD的长度12m17．如图1，图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB（与地面平行）或绕定点P（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持AP＝A′P，BP＝B′P）．通过向下踩踏点A到A′（与地面接触点）使点B上升到点B′，与此同时传动杆BH运动到B'H'的位置，点H绕固定点D旋转（DH为旋转半径）至点H'，从而使桶盖打开一个张角∠HDH′．如图3，桶盖打开后，传动杆H′B′所在的直线分别与水平直线AB、DH垂直，垂足为点M、C，设H′C＝B′M．测得AP＝6cm，PB＝12cm，DH′＝8cm，EH＝14cm，FG＝0.3cm．（1）要使桶盖张开的角度∠HDH'不小于60°，那么踏板AB离地面的高度至少等于cm；（2）当tan∠HDH'＝时投入一个小球，并能顺利盖上垃圾桶盖，小球的最大半径为cm．18．如图1是小鸟牙签盒实物图，图2是牙签盒在取牙签过程中一个状态的部分侧面示意图，D、E为连接杆AB上两个定点，通过按压点B，连接杆AB绕点E旋转，从而带动连接杆DF上升，带动连接杆FH与FG绕点G旋转，致使牙签托盘HI向外推出，在取牙签过程中固定杆EG位置不变且DF与EG始终平行，牙签托盘HI始终保持水平，现测得FG＝FH＝1cm，EB＝cm，DF＝EG＝7cm，∠HFG＝46°与∠B＝90°，杆长与杆长之间角度大小不变，已知，牙签盒在初始状态，D、H、F三点共线，在刚好取到牙签时，E、H、G三点共线，且点C落在线段HI上，（参考数据：tan23°＝）（1）从初始状态到刚好取到牙签时，牙签托盘HI在水平方向被向外推出cm；（2）鸟嘴BC的长为cm．19．如图1的一汤碗，其截面为轴对称图形，碗体ECDF呈半圆形状（碗体厚度不计），直径EF＝26cm，碗底AB＝10cm，∠A＝∠B＝90°，AC＝BD＝3cm．（1）如图1，当汤碗平放在桌面MN上时，碗的高度是cm，圆心到点B的距离是cm．（2）如图2，将碗放在桌面MN上，绕点B缓缓倾斜倒出部分汤，当碗内汤的深度最小时，tan∠ABM的值是．20．如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面AB＝274cm（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为76cm（台面AB与地面之间的距离），直线型支架PE与QF的上端E，F与台面AB下方相连，PE与QF的下端P，Q与直径为4cm的脚轮（侧面是圆）相连（衔接之间的距离忽略不计），直线型支架CG与DH的上端C，D与台面AB下方相连，下端G，H与PE，QF相连，圆弧形支架GH分别与PE，QF在点G，H相连，且PC⊥AB，QD⊥AB，PE＝QF，CG＝DH，AC＝BD，CE＝DF，已知EF＝106cm，＝，tan∠ECG＝tan∠FDH＝，则CG的长度为cm，当所在的圆经过点P、Q时，所在的圆的圆心到台面AB之间的距离为cm．​21．光从空气射入某介质发生折射时，入射角的正弦与折射角的正弦之比叫做这种介质的折射率，如图1所示，该介质的折射率为．某同学学习了光的折射后，准备了一些材质相同，厚度不同的均匀介质，进行实验，已知一束光线的入射角正弦值为．​（1）如图2，在没有介质遮挡下，光线照射在平面上的点P处，当放入一厚度为8cm的介质后，点P向右平移了2cm到达点Q处，则该介质的折射率为；（2）如图3，两个互相垂直的平面AB与AC，在没有介质遮挡下，光线照射在AC面上的点M处，且AM＝4cm，当放入某一厚度的介质后，折射光线照在AB面的点M′处且AM′＝1，则放入介质的厚度为cm．22．如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平