2023-2024学年湖南省长沙市雨花区南雅中学九年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市雨花区南雅中学九年级（上）入学

数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.一争的倒数为（）

1

A.1B.3C.-3D.-1

2.某市新改扩建幼儿园、中小学80所，新增学位82000个，请将数据82000用科学记数法表

示为（）

A.8.2x103B.8.2x104C.8.2x105D.0.82x105

3.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，41=30。，Z2=

50%则乙3的度数等于（）

A.20°

B.30°

C.50°

D.80°

4.下列运算正确的是()

A.a2+2a2=3a4B.(2a2)3=8a6

C.a3-a2=a6D.(a—b)2=a2—b2

5.若正多边形的一个外角是60。，则该正多边形的内角和为（）

A.360°B.540°C.720°D.900°

6.如图，一次函数丫=kx+H0）与y=%+2的图象相交

于点M（m,4）,则关于x,y的二元一次方程组%；］"一°的解

是（）

(x=2.4

(y=4

%=3

D.

y=4

7.甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人测试10次，射箭成绩的平均数都是8.8环，方差

分别为s帝=065,s1=0.45,s东=0.55,sj.=0.50,则射箭成绩最稳定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

8.下列命题是真命题的是（）

A.每个内角都相等的多边形是正多边形B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.两直线平行，同位角互补D.过线段中点的直线是线段的垂直平分线

9.如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分

种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为工米，则可列方程为（）

A.32x20-32%-20%=100B.(32-x)(20-%)-+-%2=100

C.32%+20%=100+%2D.(32-x)(20-%)=100

10.如图，在正方形ABC。中，点E在4。边上，且DE=3AE,连接BE,CE,EF平分乙BEC,

过点B作BF，E尸于点F,若正方形的边长为4,则的面积是()

A16-4C5

.5

B16-4\H7

・3

C20-4C7

■5

D.8-2v17

二、填空题(本大题共6小题，共18・0分)

11.分解因式：2x2—2=.

12.若x=-1关于x的一元二次方程a/+6x+23=0的解，则一a+b+2000的值是

13.已知y=+V1-x+4，则xy的平方根为.

14.直线y=2x-4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.计算：（兀一3.14）°—（；厂2+旧一C.

四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.（本小题6.0分）

先化简，再求值：之空上），其中x=C.

X2+3X'x+3J

19.（本小题6.0分）

（1）解方程：X2—x—6=0；

（2）解方程：2x（x-l）=l-x.

20.（本小题8.0分）

深圳某学校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：九），随机调查了该校的部分初中

学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题:

(2)接受调查的学生每天在校体育活动时间的众数是h,中位数是h；

(3)求接受调查学生每天在校体育活动时间的平均数.

21.(本小题8.0分)

已知关于x的一元二次方程/—(m-3)%—m=0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)如果方程的两实根为%1、x2,且*+妗-%1刀2=27,求Tn的值.

22.(本小题9.0分)

如图，在〃1BCD中，对角线4C,BD交于点。，过点8作BE_LCD于点E,延长CD到点F,使

DF=CE,连接4F.

(1)求证：四边形4BEF是矩形；

(2)连接09，若48=6,DE=2,乙4DF=45。，求OF的长度.

23.(本小题9.0分)

已知一箱苹果比一箱梨子的价格高30元，且用400元购买苹果的箱数和用250元购买梨子的箱

数相等.

(1)求苹果、梨子每箱各多少元？

(2)若要购进苹果、梨子共60箱，且苹果的箱数不少于梨子的箱数的2倍，试求购买这两种水

果总费用的最小值.

24.(本小题10.0分)

如图，抛物线yi=a/+"+c的图象经过4(-6,0),6(-2,0),C(0,6)三点，且一次函数y=

依+6的图象经过点B.

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)点E,F为平面内两点，若以E、F、8、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧.这

样的E,F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，

请说明理由；

(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象

与x轴交于M,N两点(M点在N点左侧).点P是抛物线旷2上的一个动点且在直线NC下方.已知点

P的横坐标为m.过点P作PD1NC于点D,求他为何值时，CD+^PD有最大值，最大值是多少？

党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学

中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点P(rn,n)的坐标满足n=m2,则称点P为“高

质量发展点”.

(1)若点P(m,4)是正比例函数y=依(k为常数，k力0)的图象上的“高质量发展点”求这个正

比例函数的解析式；

(2)若函数y=2x+3-p(p为常数)图象上存在两个不同的“高质量发展点”，且这两点都在

第一象限，求P的取值范围；

(3)若二次函数y=ax2+(b-l)x+2(a,b是常数，a>1)的图象上有且只有一个“高质量发

展点”，令w=-川一8(a-1),当t-lSbSt时，w有最大值一3求t的值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:V(-1)x(-3)=1,

•••一：的倒数为一3.

故选C.

直接根据倒数的定义即可得出结论.

本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两数互为倒数是解答此题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：82000=8.2x104,

故选：B.

将一个数表示成ax10拉的形式，其中ri为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据

此即可求得答案.

本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

3.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键.

根据平行线的性质求出44,根据三角形的外角的性质计算即可.

【解答】

解：

•••AB//CD,Z2=50°,Z1=30°,

44=42=50°,

•••Z3=z4-Z.1=20°,

故选A.

4.【答案】B

【解析】解：4因为。2+2。2=3。2,故A选项不符合题意；

员因为(2a2)3=8a6,故8选项符合题意；

C.因为a2y3=a2+3=a5,故C选项不符合题意；

D因为(a—b)2=a?-2ab+炉，故。选项不符合题意.

故选：B.

4应用合并同类项法则进行求解即可得出答案；

反应用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案；

C.应用同底数基的乘法运算法则进行计算即可得出答案；

D应用完全平方公式进行计算即可得出答案.

本题主要考查了同底数基乘法，耗的乘方与积的乘方，合并同类项法则和完全平方公式，熟练掌

握运算法则进行求解是解决本题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：该正多边形的边数为：360。+60。=6,

该正多边形的内角和为：(6-2)x180°=720°.

故选：C.

【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本

题的关键.

根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和

公式求出其内角和.

6.【答案】B

【解析】解：把M(zn,4)代入y=x+2得m+2=4,

解得=2,

M点的坐标为(2,4),

••,一次函数y-kx+b(k*0)与y=x+2的图象相交于点M(2,4),

.•・关于x,y的二元一次方程组%；］"一"的解是

故选:B.

先利用y=久+2确定M点的坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标

求解.

本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：由两个函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应

的一次函数图象的交点坐标.

7.【答案】B

【解析】解：,,s*=0.65,=0.45,s,=0.55,s彳=0.50,

乙的方差最小，

••・射箭成绩最稳定的是：乙.

故选：B.

根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁四人谁的方差最小，则谁的成绩最稳定.

此题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离

平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数

据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.在解题时要能根据方差的意义和本题的实际，得

出正确结论是本题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：力、每个内角都相等，每条边都相等的多边形是正多边形，故原命题错误，是假命

题，不符合题意：

8、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意；

C、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

D,过线段中点的垂直于线段的直线是线段的垂直平分线，故原命题错误，不符合题意.

故选:B.

利于正多边形的定义、矩形的判定方法、平行线的性质及垂直平分线的定义进行判断后即可确定

正确的选项.

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大.

9.【答案】C

【解析】解：设道路的宽x米，则

32%+20%=100+X2.

故选C.

设道路的宽x米，小路的面积+/=一个长32宽%的矩形面积+一个长20宽x的矩形的面积，即可得

出关于x的一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程.

io.【答案】c

【解析】【分析】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，正确的作

出辅助线是解题的关键.

延长BF交CE于G,过B作BH1CE于根据角平分线的定义得到NBEF=/GEF,根据垂直的定

义得至此BFE=4GFE=90。，根据全等三角形的性质得到BF=FG,EG=BE,根据勾股定理得

到BE=V12+42=VT7，CE=V32+42=5，BH=I42-(y)2=学，根据三角形的面积

公式即可得到结论.

【解答】

解：延长BF交CE于G,过B作BH1CE于H,

vEF平分4BEC,

・•・乙BEF=Z-GEF,

vEF1BF,

・・・乙BFE=Z.GFE=90°,

在ABEF与AGEF中,

（Z.BEF=Z.GEF

lEF=EF,

I乙BFE=/,GFE

・•・△8E尸三△GEF（ASA）,

・・.BF=FG,EG=BE,

vAB=AD=CD=4,DE=3AE,

:.AE—1,DE=3,

.・・BE=Vl24-42=V17，CE=732+42=5，

•・・乙BHE=Z-BHC=90°,

・•・BC2-CH2=BE2-EH2=BH2,

・・・42-CH2=（Afl7）2-（5-CH/,

CH=y,

=J42一直）2=等

ccr-1..1/~~-T-=16c8，17

•，•S^BCG=S^BCE_S^BEG=2X^X^~2X"乂亍=8-------»

故选：c.

11.【答案】2(x+l)(x-l)

【解析】解：2x2-2=2(x2-1)=2(x+1)(%-1).

故答案为：2(x+l)(x-l).

先提取公因式2,再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分

解要彻底.

12.【答案】2023

【解析】解：把x=代入方程a/+bx+23=0,

得a—b+23=0,

所以a—b——23.

-a+b=23,

—a+b+2000—23+2000—2023,

故答案为:2023.

利用一元二次方程根的定义把x=—1代入方程可得到a-b的值.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.

13.【答案】±2

【解析】解：由题意得：］：一1

11—%>0

解得：X=1,

把x=l代入已知等式得：y=4,

所以，xy=1x4=4,

故孙的平方根是±2.

故答案为：±2.

直接利用二次根式有意的条件得出x、y的值，进而得出答案.

此题主要考查了二次根式有意的条件，正确得出x的值是解题关键.

14.【答案】(1,0)

【解析】解：直线y=2x-4沿y轴向上平移2个单位，

则平移后直线解析式为：y=2x-4+2=2x—2,

当y=0时，则*=1,

故平移后直线与x轴的交点坐标为：(1,0).

故答案为：(1,0).

利用一次函数平移规律，上加下减进而得出平移后函数解析式，再求出图象与坐标轴交点即可.

此题主要考查了一次函数平移变换，正确记忆一次函数平移规律是解题关键.

15.【答案】-2

【解析】解：将分式方程舒=亲一2两侧同乘(x+1)

得％—1=a-2(x+1),

将x=代入整式方程得a=-2.

故答案为：一2

将分式方程化成整式方程后，将增根代入整式方程即可求出a的值.

本题考查了分式方程的增根问题，增根是在分式方程化成整式方程过程中产生的，它不是分式方

程的根，却是整式方程的根.

16.【答案】y=

【解析】【分析］1」5

延长B4交y轴于D,则BOLy轴，依据点4的坐标为(3,4),即可得出//

B(8,4),再根据/HOC的角平分线所在直线经过点B,即可得到函数/_________/1

0\Cx

关系式.

此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式以及菱形的性质的

运用，正确得出8点坐标是解题关键.

【解答】

解：如图所示，延长B4交y轴于。，则BDly轴，

■:点4的坐标为(3,4),

:*AD=3,0D=4,

・•.AO=AB=5,

.♦・BD=3+5=8,

・•・8(8,4),

设乙40c的角平分线所在直线的函数关系式为y=kx,

••,菱形。力BC中，乙40c的角平分线所在直线经过点8,

•••4=8k,即k=：,

•••乙40C的角平分线所在直线的函数关系式为y=\x,

故答案为y=^x.

17.【答案】解：原式=1—4+3—2\[~2

=-2<^.

【解析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

直接利用零指数基的性质以及负指数幕的性质和立方根的性质分别化简得出答案.

18.【答案】解：原式=竽《十i±|

为Q+3)x+3

二Q+2)2%+3

%(x+3)x+2

_x+2

=----->

x

当％=时，

原式

=1+V-2-

【解析】先计算括号内的，再将除法转化为乘法，因式分解，约分，通分，再代值计算.

本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、

分解因式、约分等知识点熟练掌握.

19.【答案】解：(1)原方程因式分解得:(x+2)(%-3)=0,

解得：Xi=-2,x2=3；

(2)原方程变形得：2x(x-l)+(x-1)=0,

因式分解得：(x-l)(2x+l)=0,

=—

解得：Xj=1,X2

【解析】⑴利用十字相乘法解方程即可；

(2)将原方程变形后利用提公因式法解方程即可.

本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键.

20.【答案】40251.51.5

【解析】解：(1)本次接受调查的初中学生人数为：4+10%=40,

m%=等=25%,

40

故答案为：40,25；

(2)由条形统计图得，4个0.9,8个1.2,15个1.5,10个1.8,3个2.1,

.•.1.5出现的次数最多，15次，

•••众数是1.5无，

第20个数和第21个数都是1.5,

二中位数是1.5九；

故答案为：1.5；1.5；

⑶2x(0.9X4+1.2x8+1.5x15+1.8x10+2.1x3)=1.5(小时)，

答：接受调查学生每天在校体育活动时间的平均数为1.5小时.

(1)根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生人数，进而求得小的值；

(2)根据统计图中的数据可以求得这组数据的平均数和众数、中位数；

(3)利用加权平均数公式可求得这组数据的平均数.

本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩

形直条，然后按顺序把这些直条排列起来.从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较.也

考查了扇形统计图和利用样本估计总体.

21.【答案】(1)证明：x2-(m-3)x-m=0.

4=(m-3)2-4x(-m)

=m2—6m+9+4m

=m2-2m+1+8

=(m-l)2+8>8>0.

.•.方程有两个不相等的实数根；

(2)解：由根与系数的关系可得：%1+x2=m-3,xtx2=-m,

vxf+%2—xix2—27,

2

(xx+x2)—3%1必=27,即(m—3)2+3m=27.

解得：m=-3或?n=6.

故m的值是-3或6.

【解析】(1)表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断；

(2)利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出山的值.

此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关

键.

22.【答案】(1)证明：・・•在弘BCD中,

・•.AD//BC5.AD=BC,

，Z.ADF=乙BCE,

在△40/和△BCE中，

(AD=BC

,:UADF=乙BCE

[DF=CE

・・・AF=BE,Z.AFD=(BEC=90°,

:.AF〃BE,

，四边形4BEF是矩形；

(2)解:由(1)知：四边形4BE尸是矩形,

・・.EF=AB=6,

•・・DE=2,

:.DF=CE=4,

・・"/=4+4+2=10,

尸中，/LADF=45°,

・•・AF=DF=4,

由勾股定理得：AC=VAF2+CF2=V42+102=2<^9.

••,四边形4BCD是平行四边形，

:.0A=0C,

OF=^AC=V^9.

【解析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题

的关键.

(1)根据平行四边形的性质得到4D〃BC且4。=BC,证明A4DFmABCE,推出四边形2EFD是平

行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论;

(2)根据直角三角形斜边中线可得：OF=^AC,利用勾股定理计算AC的长，可得结论.

23.【答案】解：(1)设梨子的价格是x元/箱，则苹果的价格是Q+30)元/箱，

根据题意得：-^=—，

x+30x

解得：x=50,

经检验，X=50是所列方程的解，且符合题意，

:.%+30=504-30=80.

答：苹果的价格是80元/箱，梨子的价格是50元/箱；

(2)设购进苹果m箱，则购进梨子(60-瓶)箱，

根据题意得：m>2(60-m),

解得：m>40.

设购买这两种水果总费用为w元，则w=80m+50(60-m),

即w=30m+3000,

30>0,

•••w随m的增大而增大，

.••当m=40时，w取得最小值，最小值=30x40+3000=4200.

答：购买这两种水果总费用的最小值为4200元.

【解析】(1)设梨子的价格是x元/箱，则苹果的价格是Q+30)元/箱，利用数量=总价+单价，结

合用400元购买苹果的箱数和用250元购买梨子的箱数相等，可列出关于x的分式方程，解之经检

验后，可得出梨子的价格，再将其代入(％+30)中，即可求出苹果的价格；

(2)设购进苹果m箱，则购进梨子(60-巾)箱，根据购进苹果的箱数不少于梨子的箱数的2倍，可

列出关于m的一元一次不等式，解之可求出m的取值范围，设购买这两种水果总费用为w元，利用

总价=单价x数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题.

本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式

方程：(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式.

24.【答案】解:⑴•••抛物线yi=a/+bx+c的图象经过4(一6,0),B(-2,0),C(0,6)三点,

’36a—6b+c=0

■■4-a—2b+c=0,

c=6

1

・,・乃=9+4%+6,

把8(—2,0)代入一次函数y=kx+6中，

得k=3,

・•・y=3%+6・

答：抛物线的解析式为yi=：M+4X+6,一次函数的解析式为y3%+6.

(2)①当BC为正方形的边长时，

分别过B点，C点作/送21BC,F#21BC,使E]B=E2B=BC,C&CF2=BC,连接%尸1，%尸2,

过点当作1x轴于“1，•••△BE、H小CBO(AAS),

E1H1=OB=2,MB=OC=6,

•，•E1(-8,2)>

同理可得，E2(4,-2).

②以BC为正方形的对角线时，

过BC的中点G作E3F31BC,使E3F3与BC互相平分且相等,

则四边形E3B&C为正方形，

过点作3作&N1y轴于点N,过点B作BM1JN于点M,

■■■ACE3N^^E3BM(AAS),

CN=E3M,BM=E3N,

•••BC=2<10.

E3G=BG=V10>

•••E3B=2-7~~5，

222

在RtZiJNC中，E3C=CN+E3N,

(20=CN2+(6-CN)2,

解得CN=2或4,

当CN=4时，E3(2,2),此时点E在点F右侧，舍去;

当CN=2时，E3(-4,4).

综上，%(-8,2),%(4,-2),F3(-4,4).

(3)•,•抛物线%=92+4x+6向右平移8个单位长度得到抛物线丫2，

・・・M(2,0),N(6,0),

,・・内过加，/V,C三点，

12

：•y2=5%-4%+6,

在直线CN下方的抛物线上任取一点P，作PH工工轴交NC于点H,过“作“Gly轴于G,

•・・N(6,0),C(0,6),

・•・ON=OC,

，△CON时等腰直角三角形，

•・・Z.CHG=45°,(GHP=90°,

・・・乙PHD=45°,

•・•PD1CN,

・・.△HPD是等腰直角三角形，

:.HD=DP=—HP，

•・•点P在抛物线为上，且横坐标为加，

:.CG=GH=m,

・•・CH=\T~2m^

•・•ycN=r+6，

・•・+6),

:.HP=—m+6-(1m2—4m4-6)=—+3m,

口八T-212Io\>/~-22।3V-2

:、HD=DnPn=-r-(f—-mz+3m)=———H——

2'2z42

CD+^PD=CH+HD+^PD=CH+山D=+上一岑/+率小)=-卑(巾_

2222'42'8、

打+空

答：当巾=苧时，CD+“。的最大值为里2.

【解析】(1)利用待定系数法求解函数解析式即可.

(2)分①BC为正方形的边长，②8c为正方形的对角线两种情况讨论，作辅助线，构造全等三角形，

利用全等三角形的性质和勾股定理即可求解.

(3)求出刈的解析式，证明△CON时等腰直角三角形，△〃0£)是等腰直角三角形，求出H的坐标,

进而求出HP和即可求解.

本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的

性质和勾股定理解决问题.

25.【答案】解:(1)将P(m,4)代入y=履,

得：km=4即m-7,

k

又•••P(m,4)是“高质量发展

:.m2=4,

；・(软=4，

解得：卜=2或卜=一2,

则这个正比例函数的解析式为：y=2x或y=-2x；

(2)设图象上存在的“高质量发展点"坐标为«52),

依据题意将(t,t?)代入y=2x+3-p得：产一2t-(3-p)=0,

•.・函数y=2x+3—p(p为常数)图象上存在两个不同的“高质量发展点”，

•••方程t2-2t-(3-p)=0有两个不相等的实