第25讲 三角函数的概念（教师版）-高一数学同步讲义

第03讲三角函数的概念

号目标导航

课程标准课标解读

1.理解结合单位圆定义三角函数的意

义；

通过本节课的学习，要求掌握三角函数的定义及会求任

2.结合任意角终边与单位圆的交点会求任

意角的三个三角函数值，并能准确判断任意角的三角函

意角的正弦、余弦、正切值；

数值的符号.

3.根据任意角终边所在象限的位置，会判断

任意角三角函数值的符号

然:知识精讲

*'知识点01三角函数的定义：

定义：设1是一个任意角，asR,它的终边OP与单位圆交于p(x,y),

(1)把点P的纵坐标y叫做a的正弦函数，记作sina,即丁=5^^；

(2)把点P的横坐标x叫做a的余弦函数，记作cosa,即_¥=8§1；

(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值上叫做。的正切，记作tana,即2=tana(xw0).

xx

正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

正弦函数：y=sinx,x^R；

余弦函数：y=cosx,XGT?；

冗

正切函数：y=tanx,x^—-\-k7T^kGZ).

【微点拨】1.三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点PG,y)在终边上的位置无关，只由角

的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关.

2.设角a终边上任意一点P(原点除外)的坐标为G,y),它与原点的距离为r并且U=+,2

驾、知识点02三角函数值在各象限内的符号

sinacosa

上述符号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

【即学即练1】已知角。的始边与1轴的非负半轴重合，终边经过点P(5,12),则cosa=()

5「12「5n12

A.---B.---C.—D.—

13131313

【答案】C

【分析】

根据三角函数的定义，可直接求解.

【详解】

根据三角韩的定义，角a的终边经过点P(5,12),〃=存苗=13，

所以cosa=2=』.

r13

故选：C

【即学即练2】在平面直角坐标系中，若角a的终边经过点尸卜G』)，则sina=()

【答案】B

【分析】

利用三角函数的定义可求得sina的值.

【详解】

由三角函数的定义可得《_呵+俨2.

故选：B.

【即学即练3］已知sina<0,tana>0,则角a可以为第()象限角

【答案】C

【分析】

根据象限角三角函数值的符号确定.

【详解】

sina<0.则a的终边在x边下方，tana>0,a是第一象限或第三象限角，

综上，a是第三象限角.

故选：C.

【即学即练4】.点A(x,y)是-300角终边与单位圆的交点，则上的值为()

D.一直

A.6B.Y「73---

【答案】A

【分析】

根据三角函数的定义得2=tan(-300),再利用终边相同的角即可得出结论.

【详解】

由题意得，=tan(-300)=tan(—300+360)=tan60=G,

故选:A.

【即学即练5】已知点尸(sin(—30。)，cos(—30。))在角。的终边上，且柒［-2g0),则角6的大小为()

A.jB.生

33

△2万「4万

C.------D.------

33

【答案】D

【分析】

结合特殊角的三角函数值，求出点尸的坐标，进而根据三角函数的定义即可求出结果.

【详解】

因为尸（sin（—30。），cos（—30。）），所以P（_g,#）,所以6是第二象限角，且tan"，=-5

~2

4万

又夕£[—2兀，0）,所以6=--—.

故选：D.

【即学即练6】已知点P（tana,sina）在第三象限，则角”在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】

.ftana<0,

结合第：象限点的特征得到.力进向根据：角函数值的符:号判怖知所在的象限即U

[sintz<（）

【详解】

解：；点、P（tana,sina）在第三象限,

Jtana<0

・・・a在第四象限.

[sina<0

故选：D.

u能力拓展

考法01

对三角函数定义的理解

（1）三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合（弧度制）到一个实数集合的

对应；

（2）三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围；

（3）三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P（x,y）在终边上的位置无关，只由角a的

终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关.

【典例1】根据下列条件，求角a的正弦、余弦、正切中的未知量.

(l)sina=-3,且a是第四象限角

2

(2)tana=—3,且。是第二象限角；

12

(3)cosa=R，且。是第四象限角

(/4八)s.ina=--1

【答案】(1)cosa="tana=->/5.(2)cosa=-^^,sina=^^.

21010

.55^3A/3T5/3y/3

(3)sina=----,tana=--.(4)cosa=----,tana=——;或8$。=——Jana=----.

13122323

【分析】

(1)设a终边上一点为尸(x,y),(x>0,y<0),则sina=2=-3,取y=-6，r=2,计算得到答案.

r2

(2)设a终边上一点为P(x,y),(x<0,y>0),则tana=?=-3,取y=3,1,计算得到答案.

(3)设a终边上一点为尸(x,y),(x>0,y<0),则cosc=1=^,取x=12,r=13,计算得到答案.

(4)设a终边上一点为P(x,y),则sina=%=-1,取y=—1,r=2,则工=土耳，分两种情况计算得到答

案.

【详解】

(1设a终边上一点为尸(x,y),(x>0,y<0),则sina=)=-且，取y=-6，r~2

r2

则x=l,cosa=—=—,tana=—=->/3

r2x

(2)设a终边上一点为尸(x,y),(x<0,y>0),则tana=?=-3,取y=3,x=-l,

川/THxV10.y3面

则r=V10，cosa=—=-----,sin«=—=-----

r10t10

YI?

(3)设a终边上一点为P(x,y),(x>0,y<0),贝iJcosa=；=R,取x=12,r=13

.y5y5

则Mll>'=-5,sina=—=---,tana=—=---

r13x12

(4)设。终边上一点为尸(x,y),则sina=^=-；,取》=-1,厂=2,则工=±6

当x=百时，cosa=—=—,tancr=—=-

r2x3

当x=-y/3时，cosa=-=--,tancr=—=

r2x3

GLn厂决A/3>/3^^/35/3

名小上,所：cosct-----,tanct——-'x.cosa=—,tanct------

2323

【点睛】

本题考查了三角函数的计算，意在考查学生的计算能力.

【典例2】已知角a的终边上一点尸（-6,加）（相#0）,且sina=#吗,求cosa,tana的值.

4

【答案】当〃『石时，cosa=-tana=-——；当加二一石时，cosa=-亚⑶e姮

4343

【解析】设P（x,y）.由题设知犬=-6，y-m,

所以'=|0尸|2="百）2+切2（。为原点），r=j3+M

由z.m石mm

所"以sina=—=-----=—尸，

r42,2

所以『,3+/=2-72»3+加=8，解得巾=土布.

当V5时,，r=2近,x=-#>,y=亚,

所以3=乎=一®ta.在

2043

当tn——yfs”寸，f—2.^2，x=-V3，)'=-y/s»

所以cosa二千一亚

tana=妪.

2V243

【即学即练7】已知角a的终边经过点（-8,-6）,则cosa的值为（)

34

A.B.

43

_4_3

C.D.

55

【答案】C

【解析】由题设知x=-8,y=-6,所以片幅+6?=10,所以cosa=2=-^=-d,故选C.

r105

【名师点睛】利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于

原点的点的横坐标M纵坐标以该点到原点的距离心若题目中己知角的终边在一条直线上，此时注意“在

终边上任取一点“应分两种情况（点所在象限不同）进行分析.

12

【即学即练8】已知角a的终边过点尸（5,a）,且tana=一彳，则sina+cosa的值为

7

【答案—E

【分析】

利用三角函数的定义求解.

【详解】

由三角函数的定义得，tana=1=-g,

.*.«=—12,

：.P(5,-12).

这时厂=13,

..125

..sina=——,cosa=一，

1313

7

从而sina+cosa=——.

13

故答案为：一看7

【即学即练9】若角。的终边经过点尸(5,-12),则sina=,cosa=,tana=

一上.12512

【答案】F13-

【分析】

根据x=5,y=-12,得到「=42+(—12)2=13,然后利用三角函数定义求解.

【详解】

因为x=5,y=-12,

所以r=152+(72)2=13,

..y12x5y12

则nsina=-=-----,cosa=—=—,tana=—=-------.

r13r13x5

及空_iaA

13135

考法02

三角函数值的正负判断

为了便于记忆，我们把三角函数值在各象限内的符号规律概括为下面的口诀：“一全正、二正弦、三正

切、四余弦”，意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象

限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负.

【典例3】(多选)给出下列各三角函数值，其中符号为负的是()

A.sin(-100°)B.cos(-220°)

C.tan(-lO)D.cosO

【答案】ABC

【分析】

判断角所在的象限，再由三角函数的各象限的符号判断可得选项.

【详解】

解：因为-10()。角是第三象限角，所以加(-100。)<0；

因为-220。角是第二象限角，所以cos(-22(T)<0；

7

因为-10任(一51,-3万)，所以-10是第二象限角，所以tan(-IO)<O：cos0=l>0.

故选：ABC.

【即学即练10】确定下列各式的符号：

(1)sin1030-cos220°；

(2)cos60-tan6.

【答案】(1)负号；(2)负号.

【解析】(1)因为103。、220。分别是第二、第三象限的角，

所以sinl03°>0,cos2200<0,

所以sin1030-cos220°<0；

371

(2)因为一<6<2兀，所以6是第四象限的角，

2

所以cos6>0,tan6<0,

所以cos60tan6<0.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.已知角a的终边经过点（3。-9,4+2）,且cosaWO,sina>0,则实数〃的取值范围是（）

A.（-2,3]

B.（-2,3）

C.[-2,3）

D.[-2,3]

【答案】A

【解析】’.'cosg0,sina>0,角a的终边落在第二象限或），轴的正半轴上.

3a—9<0,

/.1,，一2<狂3.故选A.

[a+2>0,

2.已知sin8>0且cos8<0,则角夕的终边所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】依据题设及三角函数的定义，可知角。终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，

所以终边在第二象限，故选B.

3.a是第二象限角，其终边上一点「卜,石），且cosa=«2x,则sina的值为（）

A.aB.逅「&Vio

L•--knJ,-----

4444

【答案】A

【分析】

根据三.角函数的定义求出x的值,再利用三角函数的定义可求得sine的值.

【详解】

X

由题意口J知X<0，coscc=1----g—x,解得x=—>/3,

\lx2+:

.亚Vio

因U匕，sincc=—/=----.

73+54

故选：A.

4.若券为第三象限角，则(

A.COS6Z<0B.cosa>0C.sina<0D.sina>0

【答案】D

【分析】

根据?为第三象限角，得出1的范围，从而求出a的范围，再根据各象限角的三角函数值的符号即可得出

22

答案.

【详解】

解：因为言为第三象限角，则2於r+差

所以4%万+2万<。<44万+3万，

则a为第一、第二象限以及y轴正半轴角，则sina>0.

故选：D.

3

5.已知角。的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cosO=—m，若点M(x,8)是角。终边上一点,

则x等于()

A.—12B.—10C.-8D.—6

【答案】D

【分析】

直接利用三角函数的定义的应用求出x的值.

【详解】

角。的顶点为坐标原点，始边为X轴的正半轴，且COS，=-],

若点、M(x,8)是角8终边上一点，

x3

则：x<0,利用三角函数的定义：-7^==-7.

VX2+85

解得：x=-6.

故选：D.

6.角a的终边落在射线y=2x(xN0)上，则sina的值为()

【答案】A

【分析】

可在角终边上取一点，由正弦函数定义得出结论.

【详解】

由题◎江a终边上取点P（l,2）,则尸=[0"=石,

•y22石

所以sina=3='=-----

r>/55

故选：A.

7.若角&的终边过点（2,—5）,则（)

A.22

A.sma=—B.cosa=——7=

5V29

-55

C.tana=——D.tana=—

22

【答案】C

【分析】

利用三角函数的定义求解.

【详解】

由三角函数的定义得：y/22+(-5)2=729.

y5x25

所以sina=-=--忘cosa=-=—；=tana=-=

rJ29rV29x2

故选：C

兀乃、

8.在平面直角坐标系中,若角。的终边经过点尸sin—,cos—.,则cosa=()

66)

1RV31

A.2C.D.--

222

【答案】A

【分析】

根据三角函数定义求解即可.

【详解】

角a的终边经过点P（sinm71，co7sTg],即P

,则cosa=sin—=

\6o6o）[22,62

故选：A.

9.已知£«0,2万），且a的终边上一点的坐标为kin?,cos?）,则a等于（

)

【答案】A

【分析】

根据特殊角的三角函数值求出a的终边上一点的坐标，再根据任意角的三角函数的定义计算可得；

【详解】

解：a的终边上一点的坐标为卜所以a的终边上一点的坐标为（等位于第一象限，所以

B厂

________2_______>/3

c°sa=『、、2=彳，因为。6（0,2乃），所以a=g；

烂+团

故选：A

10.已知角a的终边过点（4,-3）,则2sina+cosa=（）

22

A.1B.—C.一D.-1

55

【答案】B

【分析】

利用三角函数的定义求解.

【详解】

因为角a的终边过点（4,-3）,

-3344

r；cpisinCL-.---------,cosa—.--------—

所以心+（-3）25"+（一3丫5,

所以2sina+cosa=2x^-^j+^=--|,

故选：B

11.若cosa与tana同号，那么a在（）

A.第一、三象限B.第一、二象限

C.第三、四象限D.第二、四象限

【答案】B

【分析】

利用象限角的符号判断.

【详解】

因为cosa与tana同号，

则cosa与tana的乘积为正，即正弦值为正，

所以a在第一、二象限.

故选：B

12.在ABC中，A为钝角，则点P(cosA,tanB)()

A.在第一象限B.在第二象限

C.在第三象限D.在第四象限

【答案】B

【分析】

先判断cosAtanB的正负，即可求解

【详解】

在。中，A为钝角，则B为锐角，

则cosA<0,tanB>0,

则点P(cosA,tan8)在第二象限，

故选：B

13.“角。是第一或第三象限角''是"sinOcos。〉。”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】

利用充分条件和必要条件的定义，结合象限角的正弦、余弦的正负情况进行判断即可.

【详解】

角。是第一象限角时，sin〃>0,cos〃>0,则sindcos。〉。；若角。是第三象限角，sin^<0,cos0<0,则

sindcos6>0.故“角0是第一或第三象限角"是"sin，cos6>0”的充分条件.

若sinOcos"。，即singO,cos0>0或sine<0,cos6<0,所以角。是第一或第三象限角.故“角。是第一或

第三象限角”是"sin6cos。>0”的必要条件.

综上，“角夕是第一或第二:象限角''是"sinecos。>。”的充要条件.

故选:C.

4

14.已知角a终边经过点P（-3,y）,且tana=一，则cosa=()

3

A.14

C.D.±-

5BY55

【答案】A

【分析】

利用任意角的三角函数定义列方程求解y,进而可得cosa的值.

【详解】

因为角a终边经过点P（-3,y）,且tana=；

所以tana===g,所以y=-4,所以点尸的坐标为（-3,-4）,

—33

-33

所以cosa=,.==一一

I以J（-3尸+（卬5-

故选:A

riI--A-A八、二ImIsin0—cos0

15.己知函数/（X）=/X-6+3（〃>0且awl）的图像经过定点A,且点A在角。的终边上，则丁:——-

sin9+cos”

)

A.B.0C.7

~7D-7

【答案】D

【分析】

由题知A（3,4）,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.

【详解】

解:令2x-6=0得x=3,故定点A为A(3,4),

所以由三角函数定义得tan。=(4，

4_,

所M,_s_in_____co__s_0=_t_a_n_0__-_1=3___=—1

sinO+cos。tanO+147

----r1

3

故选：D

题组B能力提升练

1.我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618优选法”，0.618是被公认为最具有审美意义的比例数字，我们

称为黄金分割.“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，华先生认为底与腰之比为黄金

分割比«0.618的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36。的等腰三角形.例如，中国国旗

7

上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的.如图，在其中一个黄金一ABC中，黄金分割比

为卷.试根据以上信息，计算sin*()

A.星布+1D.色

242

【答案】B

【分析】

先巾A8C是一个顶角为36。的等腰三角形,作其底边上的高，再利用sinl8o=sinNZMC,结合腰和底之比

求其结果即可.

【详解】

依题意可知，黄金是一个顶角为36。的等腰三角形，如图，48=4。,空=叵1，/84C=36。，过

AC2

A作仞_LBC于D,则AD也是三角形的中线和角平分线,

BDC

^BC

nr1y/5-l_y/5-l.

故sin180=sinZDAC=—=^—

ACAC22~~4

故选：B.

【点睛】

本题解题关键在于读懂题意,将问题提取出来，变成简单的几何问题，即突破结果.

2.对任何都有()

A.sin(sin0)<cos0<cos(cos&)B.sin(sin0)>cos0>cos(cos0)

C.sin(cos0)>cos6>cos(sin0)D.sin(cos6)<cos6<cos(sin0)

【答案】D

【分析】

TT

对。趋近于0和趋近于y两种情况进行讨论排除即可.

【详解】

解：对A,当时，sin。—。，sin(sin6)-0,

cos6-»l,cos(cos0)=cos1<cos0,故A错误;

对B,由上述可知sin(sin<cos〃，故B错误；

对C,当。-■时，sin(cos6?)->0,

cosy->0,cos(sinO')=cos1>cos0,故C错误；

故D正确.

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键就是从极限的思想出发，直接考虑。的极限状态进行排除.

3.如图，点2(3,4)为圆r+y2=25上的一点，点£,F为y轴上的两点，/EF是以点尸为顶点的等腰三

角形，直线PE,PF交圆于。，C两点，直线8交y轴于点A,贝iJcosNZMO的值为

【答案】B

【分析】

要求cosNZM。的值，由于A为一动点，故无法直接解三角形求出答案，我们可以构造与“A。相等的角，

然后进行求解，过户点作工轴平行线，交圆弧于G,连接0G根据等腰三角形性质及垂径定理，结合同角或

等角的余角相等，我们可以判断进而得到结论.

【详解】

解：过尸点作x轴平行线，交圆弧于G,连接0G.

则：G点坐标为(—3,4),PG工EF,

P砂是以尸为顶点的等腰二角形，

.•.PG就是角OPC的平分线，

.•.G就是圆弧8的中点.

:.OG±CD,

:.^DAO+ZGOA=90°.

而NPGO+NGOA=90°.

ZDAO=ZPGO

cosZDAO=cosNPGO=-.

故选：B.

【点睛】

本题考查的知识点是三角函数求值，其中利用等腰三角形性质及垂径定理，结合同角或等角的余角相等,

构造与ND4。相等的角/PG。，是解答本题的关犍，属于中档题.

4.（多选题）若角a的终边上有一点尸（-4,〃），且sina-cosa=3，则a的值为（）

4

A.4后B.6C.一46D.-拽

3

【答案】CD

【分析】

由三角函数的定义结合题意求解即可

【详解】

a

sina==

由三角函数的定义可知,hri

,x/5).I~^a_G

Xsinacosa=——，则；―ri7=-7"，

4(-4)+a4

解得a=-4>/3或^，

故选：CD.

5.（多选题）已知角。的终边过点P（Y〃Z,3〃2）,（加工（）），则2sina+cosa的值可能是（)

22

A.1B.-C.—D.—1

55

【答案】BC

【分析】

讨论团正负值，结合三角函数定义求解即可.

【详解】

,3机3m3-4/n-4m-4

当>0时，sina=,—==•=—=-cosa----------二—

J16疗+9"5yl\6m2+9m25m5

I.642

则m2osina+cosa=------=—

3-4m-4m4

当初<0时，sina=—======————,cosa=■.==------=—

5J16/+9/—5加5

一642

则2sina+cosa=不+1=一-.故选：BC

6.（多选题）.设A4BC的三个内角分别为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是（)

A.tanA与cos3B.cosB与sinCC.tan—与cos一

22

D.sinC与tanAE.tan—与sinC

2

【答案】CE

【分析】

根据三角函数的符号和角的关系进行判断即可.

【详解】

A不满足，;A,B的范围不确定，，不满足条件；B不满足，cos8与sinC都有意义，但cos8不一定为正

值；C满足，：B,Ce(0,万)，.K+S，，c满足条件；D不满足，YA的范围不确定，.•.tanA不

ArrA

确定；E满足，-：0<A<7T,.'.0<y<y,tany>0,又：0<CvsinC>0.综上，C,E满足题

意.

故选:CE.

【点睛】本题考查判断三角函数值的符号.

7.已知角a的终边上的点P(x,y)满足y=y/2x，则sina+cosa的值为.

【答案】土…5'

3

【分析】

根据角a的终边上的点P(x,y)满足)，=旧,分角a在第一象限和角a在第三象限，利用三角函数的定义求

解.

【详解】

因为角a的终边上的点P(x,y)满足y=旧,

当角a在第一象限时，在终边上取点。,企),

V27616

iiiiisinot-1--------------,coscc->----------

则M的3科而3,

所以sina+cosa="+G；

3

当角。在第三象限时，在终边上取点卜1,-3),

.—>/2>/6—1=_3

sma=r——=------,cosa=/•一--

可3T-

所以sina+cosa="，

3

综上：sina+cosa=±"+"

3

故答案为：±'+6

3

8.已知是定义在R上的偶函数，并且〃x+3)=-木p当1<XW3时，/(x)=cos^,则

7(2017)=

【答案】2

【分析】

由〃x+3)=一1求出函数的周期是6,再结合偶函数的性质，把了(2017)转化为〃1),代入所给的解析

式进行求解.

【详解】

解：〃x+3)=-肃，

•­

则函数是周期为6的周期函数，

/(2017)=/(6x336+l)=/(l).

〃x)是定义在R上的偶函数,

/(0=/(-1).

而〃-i+3)=一木D，

."(1)=/(-1)=-矗=--^=2

J\)cos

3

"20⑺=2

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性和周期性，将所求的函数值进行转化到已知范围内是关键，属于中档题.

C培优拔尖练

1.若角0的终边经过点P（6a,8a）,awO,求tane,sin6-cos。的值.

41

【答案】y；±|

【分析】

利用三角函数的定义，求得tan。、sind、cos。的值，进而求得sin。-cos。的值.

【详解】

根据三角函数的定义知，tan，=1^=g.

.8。8。46a6a3

当。为第一象限角时，«>0,（㈣广网］。。“二耐初时二，

sin^-cos^=-.

5

.八8。8。46a6a3

当。为第三象限角时，”。，.吟而E=阚=",c°s"k而"屈

sin^-cos^=--.

5

【点睛】

本小题主要考查已知角的终边上一点的坐标求三角函数值，考查三角函数的定义.

2.已知角。终边上一点2卜6,））.,且sina=^y,求tana的值.

【答案】见解析.

yV3

【解析】sma=-r===—yf

A/3+74

y

(1)当y=0时，tana=^^=0

(2)当yxO时，sina=.-=—y,解得y=±卫.

C+f4