曲线的凹凸性和渐近线

关于曲线的凹凸性和渐近线一、曲线的凹凸性问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方机动目录上页下页返回结束第2页,共54页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束第3页,共54页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束第4页,共54页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束定义1*:第5页,共54页，2024年2月25日，星期天对于曲线的弯曲方向，我们换一个角度来看曲线上任一点的切线位于曲线的上方曲线上任一点的切线位于曲线的下方机动目录上页下页返回结束第6页,共54页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束第7页,共54页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束我们可以证明：定义1和定义2是等价的。第8页,共54页，2024年2月25日，星期天定理1（凹凸性的充分条件）：机动目录上页下页返回结束第9页,共54页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束证明1：用定义1证第10页,共54页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束第11页,共54页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束由定义2，(1)成立。同理可以证明(2)。证明2：用定义2证第12页,共54页，2024年2月25日，星期天推论：机动目录上页下页返回结束第13页,共54页，2024年2月25日，星期天例1：解：注意到,机动目录上页下页返回结束第14页,共54页，2024年2月25日，星期天例2解：机动目录上页下页返回结束(1)(2)第15页,共54页，2024年2月25日，星期天二、曲线的拐点1、定义注意:

拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。2、拐点的求法机动目录上页下页返回结束第16页,共54页，2024年2月25日，星期天证机动目录上页下页返回结束第17页,共54页，2024年2月25日，星期天例3：解凹的凸的凹的拐点拐点机动目录上页下页返回结束第18页,共54页，2024年2月25日，星期天注意:例4：解机动目录上页下页返回结束第19页,共54页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束求函数f(x)的拐点的步骤：注意：例第20页,共54页，2024年2月25日，星期天定理4证明：机动目录上页下页返回结束第21页,共54页，2024年2月25日，星期天例5：解：机动目录上页下页返回结束第22页,共54页，2024年2月25日，星期天三、渐近线定义:1.铅直渐近线机动目录上页下页返回结束第23页,共54页，2024年2月25日，星期天例如有铅直渐近线两条:机动目录上页下页返回结束第24页,共54页，2024年2月25日，星期天2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:机动目录上页下页返回结束第25页,共54页，2024年2月25日，星期天3.斜渐近线斜渐近线求法:显然，水平渐近线是斜渐近线的特例。机动目录上页下页返回结束第26页,共54页，2024年2月25日，星期天证明：由渐近线的定义，有要使此时成立，必须机动目录上页下页返回结束第27页,共54页，2024年2月25日，星期天注意:机动目录上页下页返回结束第28页,共54页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束例6解第29页,共54页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束第30页,共54页，2024年2月25日，星期天例7：

确定常数a,b,

使解:由条件知，第31页,共54页，2024年2月25日，星期天四、函数作图利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步第三步机动目录上页下页返回结束步骤：第32页,共54页，2024年2月25日，星期天第五步第四步

求曲线的渐近线；第七步第六步

作图。机动目录上页下页返回结束第33页,共54页，2024年2月25日，星期天例8解非奇非偶函数,且无对称性.机动目录上页下页返回结束第34页,共54页，2024年2月25日，星期天列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点机动目录上页下页返回结束第35页,共54页，2024年2月25日，星期天作图机动目录上页下页返回结束第36页,共54页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束第37页,共54页，2024年2月25日，星期天例9解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:机动目录上页下页返回结束函数没有渐近线。第38页,共54页，2024年2月25日，星期天拐点极大值极小值机动目录上页下页返回结束第39页,共54页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束第40页,共54页，2024年2月25日，星期天1、凹凸性的定义：两种定义；

用函数二阶导数等于零或二阶导数不存在的点，将函数的定义域分成若干个区间，由二阶导数的符号判定函数在各个区间的凹凸性，再由凹凸性的改变判别拐点;2、凹凸性的判别和拐点的求法：3、渐近线的求法：水平渐近线和斜渐近线；机动目录上页下页返回结束五、小结4、函数作图。第41页,共54页，2024年2月25日，星期天作业机动目录上页下页返回结束习题3-4(P188)1(3)(6)；2(2)；3；5；

7(2)(6)；8；11(2)；12

第42页,共54页，2024年2月25日，星期天解：例机动目录上页下页返回结束思考与练习第43页,共54页，2024年2月25日，星期天解：机动目录上页下页返回结束第44页,共54页，2024年2月25日，星期天

;

.的凹区间是凸区间是拐点为提示:及

;第五节目录上页下页返回结束3.

曲线第45页,共54页，2024年2月25日，星期天4.曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示:机动目录上页下页返回结束第46页,共54页，2024年2月25日，星期天5.求证曲线有位于一直线的三个拐点.证明：机动目录上页下页返回结束第47页,共54页，2024年2月25日，星期天令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.机动目录上页下页返回结束第48页,共54页，2024年2月25日，星期天6、解偶函数,图形关于y轴对称.机动目录上页下页返回结束第49页,共54页，2024年2月25日，星期天拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点机动目录上页下页返回结束第50页,共54页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束第51页,共54页，2024年2月25日，星期天备用题求笛卡儿叶形线的渐近线.解:

令

y=t

x

,代入原方程得曲线的参数方程:因所