北京海淀区2023年九年级上册数学期末检测试题（含解析）

北京海淀区2023年九上数学期末检测试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，在正方形A3C。中，△BPC是等边三角形，BP.CP的延长线分别交于点E、F,连结80、DP,BD与

C尸相交于点”，给出下列结论：①3E=2AE；②ADFPs^BPH；③Op2=pH.pc；④尸E：5c=（26-3）：3,其

中正确的个数为（）

C.3D.4

2.一个三角形的两边长分别为3和5,第三边长是方程/一5x+6=0的根，则这个三角形的周长为（）

A.1()B.11C.10或11D.不能确定

3.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O,设AOCD的面积为m,AOEB的面积为小,

则下列结论中正确的是（）

A.m=5B.m=4V5C.m=3&D.m=10

4.已知，贝U等于()

—二

>2JT

A.B.C.2D.3

»1

5.如图，太阳在房子的后方，那么你站在房子的正前方看到的影子为（）

6.在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

AAA

7.一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球,不再放回袋中，充分搅匀

后再随机摸出一球.两次都摸到红球的概率是（）

3993

-

一

一-

A.B.D.5

102520

8.如图，RtZ\Q48的顶点A（-2,4）在抛物线〉=℃上，将Rt&?A8绕点。顺时针旋转90，°得到.08,边8与

该抛物线交于点P,则点P的坐标为（）.

A.(V2,V2)B.(2,2)C.(V2,2)D.(2,五)

4

9.对于反比例函数了=-一，下列说法正确的是()

x

A.)'的值随X值的增大而增大B.y的值随尤值的增大而减小

C.当x>0时，的值随X值的增大而增大D.当尤<0时，丁的值随X值的增大而减小

10.将抛物线y=2/向左平移2个单位后所得到的抛物线为()

A.y-2x2-2B.y-2x2+2

C.y=2(x-2)2D.y=2(x+2)2

2

11.关于反比例函数y=一，下列说法中错误的是()

x

A.它的图象是双曲线

B.它的图象在第一、三象限

C.y的值随x的值增大而减小

D.若点(a,b)在它的图象上，则点(b,a)也在它的图象上

12.如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A,B的坐标分别为(-1,0),(0,6).现

将该三角板向右平移使点A与点O重合,得到AOCB、则点B的对应点B，的坐标是()

A.（1,0）B.（G，6）C.（1,百）D.（-1,百）

二、填空题(每题4分，共24分)

13.如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm,贝UEF=cm.

c

14.如图，AA5C中，8C边上的高AZ）长为〃.作AA3C的中位线BC，交AZ）于点，；作AAB|G的中位线与C2,

交AD于点。2；……顺次这样做下去，得到点Dow，则。。2。19=h-

15.如图，抛物线y=-x?+2x+k与x轴交于A,B两点，交y轴于点C,则点B的坐标是；点C的坐标是

16.一个扇形的圆心角为120。，半径为3,则这个扇形的面积为（结果保留TT）

17.如图，已知在AABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE〃BC,EF//AB,且AD:DB=3:5,那么

CF:CB等于.

18.在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为

一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程.以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：

摸球实验次数100100050001000050000100000

“摸出黑球”的次数36387201940091997040008

“摸出黑球”的频率

0.3600.3870.4040.4010.3990.400

（结果保留小数点后三位）

根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是（结果保留小数点后一位）.

三、解答题（共78分）

19.（8分）已知有一个二次函数由％的图像与x轴的交点为（-2,0）,（4,0）,形状与二次函数旷2=以2相同，且为

的图像顶点在函数y=2x+匕的图像上（a,b为常数），则请用含有a的代数式表示b.

20.（8分）如图，正方形ABCD的边长为1,点E是AD边上的动点，从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在

BE的上方作正方形BEFG,连接CG.

（1）求证：AAE^ACGfi：

（2）若设AE=x,DH=y,当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值；

（3）连接BH,当点E运动到AD的何位置时有BEHsBAE?

21.（8分）如图，在A3C中，NC=90°,44c的平分线交8C于点O,点。在AB上，以点。为圆心，OA为

半径的圆恰好经过点。，分别交AC,AB于点E,F

（1）试判断直线8c与DO的位置关系，并说明理由.

（2）若60=百，BE=1,求阴影部分的面积（结果保留万）

22.（10分）如图，在R/A45C中，ZBAC=90°,AB=AC.在平面内任取一点O,连结4。（AOVA5）,将线段AD

绕点A逆时针旋转90。，得到线段4E,连结OE,CE,BD.

（1）请根据题意补全图1;

（2）猜测8。和CE的数量关系并证明；

（3）作射线5D,CE交于点P,把ZkAOE绕点A旋转，当NEAC=90。，AB=2,AO=1时，补全图形，直接写出尸5的

长.

D

曾用图

23.(10分)某服装柜在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件,

现商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天

就可多售出2件，要想平均每天销售这种服装盈利12(X)元，同时又要使顾客得到较多的实惠，那么每件服装应降价多

少元？

24.(10分)如图，直线y=x-1与抛物线y=-X2+6X-5相交于A、O两点.抛物线的顶点为C,连结AC.

(1)求4,。两点的坐标；

(2)点尸为该抛物线上一动点(与点A、O不重合)，连接RI、PD.

①当点尸的横坐标为2时，求△R1O的面积；

②当时，直接写出点尸的坐标.

25.(12分)如图，已知抛物线产(aWO)的对称轴为x=l,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,

与x轴交于另一点B.

(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；

(2)在抛物线的对称轴x=l上求一点使点M到点4的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标;

(3)设点尸为抛物线的对称轴x=l上的一动点，求使NPC8=90。的点尸的坐标.

26.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底

部作为点A,在他们所在的岸边选择了点5,使得A5与河岸垂直，并在3点竖起标杆5C,再在A3的延长线上选择

点。竖起标杆。E,使得点E与点C、A共线.

已知：CBLAD,EDJ.AD,测得8c=l»i,DE=l.5m,BD=8.5机.测量示意图如图所示.请根据相关测量信

息，求河宽A3.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、D

【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论.

【详解】解：•••△3PC是等边三角形，

：.BP=PC=BC9NPBC=NPCB=NBPC=6。。,

在正方形A5CD中，

9

：AB=BC=CD9ZA=ZADC=ZfiCD=90°

:.ZABE=ZDCF=30°,

：.BE=2AEi故①正确；

,:PC=CD,ZPCD=30°,

1/PDC=75。,

：.ZFDP=1509

■:ND3A=45。，

工NPBD=15。,

工NFDP=/PBD,

VNDFP=ZBPC=60°,

：.ADFPs^BPH；故②正确；

VNPDH=ZPCD=30°,ZDPH=NDPC,

:ADPHSACPD,

.DPPH

••-9

PCDP

：.DP2=PH*PC,故③正确；

VZABE=30o,ZA=90°

；.AE=^AB=—BC,

33

VZDCF=30°,

：.DF=—DC=—BC,

33

EF=AE+DF=BC-BC,

3

:.FE：BC=(2G-3)：3

故④正确，

故选：D.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理.

2、B

【分析】直接利用因式分解法解方程，进而利用三角形三边关系得出答案.

【详解】：/一5彳+6=0，

.•.(x-3)(x-2)=0,

解得：玉=3,x2=2,

•..一个三角形的两边长为3和5,

二第三边长的取值范围是：5—3<x<5+3,即2<x<8,

则第三边长为：3,

...这个三角形的周长为：5+3+3=11.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了因式分解法解方程以及三角形三边关系，正确掌握三角形三边关系是解题关键.

3、B

SACFR/BE

【解析】试题分析：：AB〃CD,...△OCDS/\OEB,又TE是AB的中点，，2EB=AB=CD,

3AoeDCD

即且=(J_)2,解得m=4石.故选B.

m2

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质.

4、A

【解析】由题干可得代入计算即可求解.

y=2x,一,

y

【详解】v,

­=一

V3

.\y=2x,

••9

r*vx♦2r3

------z----------:■-

y2X2

故选A.

【点睛】

本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积.即若，则ad=bc,比较简单.

—a一c

>一。

5、C

【解析】根据平行投影的性质可知烟囱的影子应该在右下方，房子左边对应的突起应该在影子的左边.

6、C

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】解：A.此图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

B.此图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

C.此图案既是轴对称图形，又是中心对称图形；

D.此图案仅是轴对称图形；

故选：C.

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对

称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

7、A

【分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率:

【详解】列表如下：

红红红绿绿

红---（红，红）（红，红）（绿，红）（绿，绿）

红（红，红）---（红，红）（绿，红）（绿，红）

红（红，红）（红，红）---（绿，红）（绿，红）

绿（红，绿）（红，绿）（红，绿）---（绿，绿）

绿（红，绿）（红，绿）（红，绿）（绿，绿）---

•••所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种,

故选A.

8、C

【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0,2）,且DC〃x轴，从而求得P的纵坐标

为2,代入求得的解析式即可求得P的坐标.

【详解】•:RtMJAB的顶点4(-2,4)在抛物线y=M上,

4=4a,解得。=1,

・••抛物线为y=f,

•・•点A(—2,4),

AB(-2,0),

:.05=2,

•.•将绕点。顺时针旋转90°,得到AOC。，

二。点在y轴上，且。。=08=2,

.••0(0,2),

•:DCLOD,

...OC〃x轴，

••.P点的纵坐标为2,

代入y=f,得2=/,

解得x=+\[2,

.•.P(血,2)

故答案为：(夜,2).

【点睛】

考查二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-旋转，掌握旋转的性质是解题的关键.

9、C

【分析】根据反比例函数的增减性逐一分析即可.

4

【详解】解：在反比例函数y=--中，-4V0

X

...反比例函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随X的增大而增大

.•.A选项缺少条件：在每一象限内，故A错误；

B选项说法错误；

C选项当尤>()时，反比例函数图象在第四象限，y随x的增大而增大，故C选项正确；

D选项当x<()时，反比例函数图象在第二象限，y随x的增大而增大，故D选项错误.

故选C.

【点睛】

此题考查的是反比例函数的增减性，掌握反比例函数的图象及性质与比例系数的关系是解决此题的关键.

10、D

【分析】根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减''求解即可.

【详解】解：将抛物线y=2/向左平移2个单位后所得到的抛物线为：y=2(x+2)2.

故选D.

【点睛】

本题考查了抛物线的平移，属于基础知识，熟知抛物线的平移规律是解题的关键.

11、c

2

【分析】根据反比例函数尸一的图象上点的坐标特征，以及该函数的图象的性质进行分析、解答.

x

2

【详解】A.反比例函数y=—的图像是双曲线，正确；

x

B.«=2>0,图象位于一、三象限，正确；

C.在每一象限内，y的值随x的增大而减小，错误；

D.•.若点(a,b)在它的图像上，则点(b,a)也在它的图像上，故正确.

故选C.

【点睛】

本题主要考查反比例函数的性质.注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内.

12、C

【分析】根据A点的坐标，得出OA的长，根据平移的条件得出平移的距离，根据平移的性质进而得出答案.

【详解】TA(-1,0),...OA=1J.•一个直角三角板的直角顶点与原点重合，现将该三角板向右平移使点A与点O重合,

得到△OCB1•.平移的距离为1个单位长度，则点B的对应点B，的坐标是(1,V3).

故答案为：C.

【点睛】

此题考查坐标与图形变化，关键是根据平移的性质得出平移后坐标的特点.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、1

【详解】•••△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，

1

.\CD=-AB,

2

，AB=2CD=2xl=10cm,

又：EF是AABC的中位线，

I

.,.EF=-xlO=lcm.

2

故答案为1.

考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线.

【分析】根据中位线的性质，得出。。，的关系式，代入〃=2019即可.

【详解】根据中位线的性质

故我们可得。

当〃=1,2均成立，故关系式正确

【点睛】

本题考查了归纳总结的问题，掌握中位线的性质得出DDn的关系式是解题的关键.

15、(-1,1)(1,3)

【分析】根据图象可知抛物线y=-x?+2x+k过点(3,1),从而可以求得k的值，进而得到抛物线的解析式，然后即可

得到点B和点C的坐标.

【详解】解：由图可知，

抛物线y=-x2+2x+k过点(3,1),

则1=-32+2x3+k,得k=3,

.♦.y=-x2+2x+3=-(x-3)(x+l),

当x=l时，y=l+l+3=3；

当y=l时，-(x-3)(x+l)=l,

；.x=3或x=-1,

•••点B的坐标为(-1,1),点C的坐标为(1,3),

故答案为：(-1,1),(1,3).

【点睛】

本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与x轴的交点横坐标是“好+公+。=1

时方程的解，纵坐标是尸1.

16、37r

【解析】试题分析：此题考查扇形面积的计算，熟记扇形面积公式s=”二，即可求解.

360

根据扇形面积公式，计算这个扇形的面积为5=担必=3万.

360

考点：扇形面积的计算

17、5：8

【解析】试题解析：DEBC,

：.AE:EC=AD:DB=3:5,

.♦.CE:C4=5:8,

EFAB,

：.CF:CB=CE:CA=5:8.

故答案为5:8.

18、0.1

【解析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解.

【详解】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0」附近，

故摸到白球的频率估计值为0.1；

故答案为：0.1.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率.

三、解答题(共78分)

19、9a+b=-2^.9a-b=2

【解析】根据图象与x轴两交点确定对称轴，再根据图象顶点在函数y=2x+8的图像上可得顶点坐标，设顶点式求

抛物线的解析式.

【详解】解：Tyi图象与x轴的交点坐标为(-2,()),(4,0),可得图象对称轴为直线x=L

•••yi图象顶点在函数y=2x+b的图象上，

...当x=l时，y=2+b,

••.yi图象顶点坐标为(1,2+b)

：yi图象与%=以?形状相同，

二设yi=a(x-l)2+2+b,或yi=-a(x-l)2+2+b,

将(-2,0)代入得，

0=9a+2+b,或0=-9a+2+b,

：.9a+b=-2^.9a-b=2

【点睛】

本题考查二次函数图象的特征，确定顶点坐标后设顶点式求解析式是解答此题的重要思路.

20、(1)见解析；(2)当x=2,y有最大值(3)当点E是AD的中点

24

【分析】(1)由同角的余角相等得到NABE=NCBG,从而全等三角形可证;

AQAr

(2)先证明AABEsaDEH,得到一二——,即可求出函数解析式y=-x2+x,继而求出最值.

DEDH

/、，/、EHHD1,AE1EHAE1_.

(3)由(2),再由=—»则问题可证.

BEEA2AB2BEAB2

【详解】(1)证明：VZABE+ZEBC=ZCBG+ZEBC=90°

/.ZABE=ZCBG

在AAEB和ACGB中：

ZBAE=ZBCG=90°,AB=BC,ZABE=ZCBG

.'.△AEB^ACGB(ASA)

(2)如图

:四边形ABCD,四边形BEFG均为正方形

:.ZA=ZD=90°,ZHEB=90°

:.ZDEH+NAEB=90°,NDEH+NDHE=90°

/.ZDHE=ZAEB

/.△ABE^ADEH

.AB_AE

''~DE~~DH

1x

*,\-x~y

:,.y——.v2+x=—(,x—葭)2H—1

24

故当x=—,y有最大值二

24

（3）当点E是AD的中点时有ABEHs^BAE.

理由：•；点E是AD的中点时由（2）可得AE=,，DH=L

24

又,..△ABES2XDEH

EHHD1

BEEA2

v..AE1

AB2

.EHAE\

又NBEH=NBAE=90°

【点睛】

本题结合正方形的性质考查二次函数的综合应用，以及正方形的性质和相似三角形的判定，解答关键是根据题意找出

相似三角形构造等式.

21、（1）8c与00相切，见解析；（2）正一七

26

【分析】（1）连接OD,证明OD〃AC,即可证得NODB=90。，从而证得BC是圆的切线；

（2）在直角三角形OBD中，设N=QD=x,利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆

的半径，进而求出圆心角的度数，再用直角三角形的面积减去扇形DOF的面积即可确定出阴影部分的面积.

【详解】解：（1）BC与。相切

证明：连接8,AD是/&4C的平分线，NBAD=NCAD

又OO=OA,ZOAD=ZODA,则NC4O=NOZM

OD//AC,ZODB=NC=90°,即8ABC

又BC过半径8的外端点Q,BC与。相切

(2)设=OO=x,则08=09+防=%+1,

根据勾股定理得OB=OD2+BD-,即(x+1)2=f+3

解得：x=l,即OD=OE=1

RtODB中,OD=-OB,ZB=30°,NDOB=60。

2

C604X1?7Tc_cv'、口兀Ji兀

=13

3MK=——=—>3阴一>A8O£>-»«®DOFTXX^_T=-7--'7

DOF36（）o2626

阴影部分的面积为走-石.

26

【点睛】

本题考查的是圆的相关知识、勾股定理和不规则图形的面积问题，能够充分调动所学知识是解题的关键.

22、（1）答案见解析；（2）BD=CE,证明见解析；（3）PB的长是2回或述.

55

【解析】试题分析：（1）根据题意画出图形即可；（2）根据“SAS”证明△480名△4CE,从而可得8O=CE;（3）①

根据“SAS”可证△48。gZUCE,从而得到NABZ）=NACE,再由两角对应相等的两个三角形相似可证△ACD^^PBE,

列比例方程可求出尸8的长；②与①类似，先求出尸。的长，再把尸。和80相加.

解：（1）如图

(2)BD和CE的数量是：BD=CE；

VZDAB+ZBAE=ZCAE+ZBAE=90°,:.ZDAB=ZCAE.

VAD=AE,AB=AC,.'.△ABD丝△ACE,；.BD=CE.

(3)①CE=j22+F=#).

ACE,：.ZABD=ZACE,

:.△ACDsAPBE,

PBBE

~AC~~CE'

...哈翠=述；

石5

②•：△ABDs^PDC,

PDCD

"~AD~~BD'

.•.如=毕=好;

755

:.PB=PD+BD=—+V5=

55

山的长是竽或哈

23、每件童装应降价2()元.

【分析】设每件服装应降价x元，根据题意列出方程，即每件服装的利润x销售量=总盈利，再求解，把不符合题意的

舍去.

【详解】设每件服装应降价x元，

由题意，得(90—50-x)(20+2x)=1200,

解得玉=10,々=20,

为使顾客得到较多的实惠，应取x=L

故每件服装应降价1元.

24、(1)A(1,0),D(4,3)；(2)①当点尸的横坐标为2时，求△9。的面积；②当NPQ4=NCAO时，直接写

出点尸的坐标.

【分析】(1)由于A、。是直线直线y=x-l与抛物线y=-x2+6x-5的交点，要求两个交点的坐标，需可联立方程组

求解；

(2)①要求AR4O的面积，可以过尸作尸轴，与AO相交于点£,求得PE,再用ARIE和△以)E的面积和求得结

果；

②分两种情况解答：过。点作OP〃AC,与抛物线交于点P,求出AC的解析式，进而得产。的解析式，再解尸。的解

析式与抛物线的解析式联立方程组，便可求得尸点坐标；当尸点在4。上方时，延长OP与y轴交于尸点，过尸点作

fG〃AC与AO交于点G,则NCA0=N尸GQ=NPZM,则尸G=FO,设尸点坐标为(0,〃?)，求出G点的坐标(用

，”表示)，再由尸G=F。，列出，”的方程，便可求得厂点坐标，从而求出O尸的解析式，最后解。尸的解析式与抛物线

的解析式联立的方程组，便可求得尸点坐标.

y=x-l

【详解】(D联立方程组.2,U，

y=-x+6x-5

%1=1X-)=4

解得，Z一o.

U=。1%=3

：.A(1,0),D(4,3),

(2)①过尸作尸E，x轴，与AO相交于点E,

:.P(2,3),E(2,1),

：.PE=2>-1=2,

•，•SpAo=gPE(Xo—XA)=gx2x(4—1)=3；

②过点。作。尸〃AC,与抛物线交于点尸，则/P£%=NC4O,

AC(3,4),

设AC的解析式为：y=kx+b(k^O),

VA(1,0),

k+b=O

3%+6=4

k=2

b=-2

；.AC的解析式为：y=2x-2,

设DP的解析式为：y=2x+n,

把D(4,3)代入，得3=8+n,

.'DP的解析式为：y=2x-5,

>'=2%-5

联立方程组＜

y=-x2+6x-5

xi=oX2=4

解得，_9

、%=3'

二此时P(0,-5),

当P点在直线AD上方时，延长DP,与y轴交于点F,过F作FG〃AC,FG与AD交于点G,

则NFGD=NCAD=NPDA,

；.FG=FD,

设F(0,m),

VAC的解析式为：y=2x-2,

...FG的解析式为：y=2x+m,

y=2x+m

联立方程组

y=x-l

x=-m-l

解得，《

y=-m-2，

・・G

・・・FG=J(/"+l)2+(2力+2)2,FD=J16+(M-3)2，

VFG=FD,

：•J(m+1)2+(2m+2)2=J16+(〃L3)2,

:.m=-5或L

•；F在AD上方，

:.m=L

AF(0,1),

设DF的解析式为：y=qx+l(qr0),

把D(4,3)代入，得4q+l=3,

1

:.q=—,