2023年考研数学一真题

2023年全国硕士硕士入学统一考试数学一试题

一、选择题：1~8小题，每题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一种选

项是符合题目要求的

1-cosVx

(1)若函数/0)=—晟-'">"在x=0处连续，则

b,x<0

(Nab==(B)ab=--(C)a0=0(D)"=2

22

(2)设函数f(x)可导，且/(x)/'(x)>0则

(A)〃l)>/(—l)(B)/(l)</(-l)

(C)|/(l)|>|/(-l)|(D)|/(l)|<|/(-l)|

(3)函数/(乂％2)=/丁+22在点(1,2,0)处沿向量〃(1,2,2)的方向导数为()

(A)12(B)6(C)4(D)2

(4)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位:m)处，如下图中，实线表达甲的

速度曲线u=匕(/)(单位:m/s)虚线表达乙的速度曲线v=%(。，三块阴影部分面积的数

值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为2(单位:s)，则

(A)r0=10(B)15<Z0<20(C”o=25(D)r0>25

v(/n/s)

1020

051015202530«s)

(5)设a为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则

(A)不可逆(B)E+aa，不可逆

(C)不可逆(D)E-不可逆

2002101p00

(6)已知矩阵4=021B=020C=02o，则

1J[o0

001002

(A)A与C相同，B与C相同

(B)A与C相同，B与C不相同

(C)A与C不相同，B与C相同

(D)A与C不相同，B与C不相同

(7)设A,8为随机事件，若0<P(A)<1,0<P(B)<1则P(A⑻〉P(A网的充分必要

条件是()

A.P(B|A)>P(咽BP(B|A)〈尸(咽

c.P(B|A)>P(B|A)D.P(B|A)<P(B|A)

_1〃

(8)设X1,X,......X„(n>2)来自总体Ng)的简朴随机样本，记》=一ZX,

〃i=l

则下列结论中不正确的是：

(A)2(乂-〃)2服从服分布

(B)2(X“-X)2服从/分布

(C)又/服从/分布

;=|

(D)〃(又-〃)2服从/分布

二、填空题：9~14小题，每题4分，共24分。

(9)已知函数"x'-i+v则r"(°)=

(10)微分方程/+2/+3y=()的通解为y=

(11)若曲线积分J警U亭在区域D={(x,y)\x2+/<1}内与途径无关，则a=_

LX+)'T

(12)鬲级数£(—1)〃T在区间(-1,1)内的和函数S(x)=

n=\

-ior

(13)设矩阵4=112,为线性无关的3维列向量组，则向量组

011

一.,4。2,4。3的秩为

(14)设随机变量X的分布函数为/(x)=0.5①(x)+0.5①J，其中①(X)为原则正

态分布函数，则EX=

三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节。

(15)(本题满分10分)

设函数/(〃,可具有2阶连续偏导数，丁=/卜、8..),求华，白

标x=0曲1=0

(16)(本题满分10分)

(17)(本题满分10分)

已知函数y(x)由方程d+y3—3x+3y—2=0拟定,求y(x)得极值

(18)(本题满分10分)

/(X)在[0,1]上具有2阶导数，/(1)>0,lim<0

证(1)方程/(幻=0在区间(0,1)至少存在一种根

(2)方程/(x)+/"(x)+[/'(x"=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根

(19)(本题满分10分)

设薄片型物体S是圆锥面Z=Jf+9被柱面2?=2%割下的有限部分，其上任一点

弧度为u(x,y,z)=9y]x2+y2+z2。记圆锥与柱面的交线为C

(1)求。在xOy平面上的投影曲线的方程

(2)求S的质量”

(20)(本题满分11分)

三阶行列式A=(',%,。3)有3个不同的特征值，且％=+2a2

(1)证明r(A)=2

(2)假如£=q+%+«,求方程组Ax^h的通解

(21)(本题满分11分)

设/(为丹,%；；)=2x：-石+*+2中2-8百毛+2々毛在正交变换x=Qy下的原则型为

4弁+4£求。的值及一种正交矩阵Q.

(22)(本题满分11分)

设随机变量XY互独立，且X的概率分布为P{X=0}=P{X=2}=g,Y概率密度为

[2y,0<y<l

小)=3,其他

⑴求P{ywEY}(2)求2=乂+丫的概率密度

(23)(本题满分11分)

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量〃是

已知的,设n次测量成果玉,々，