高考数学二轮复习模拟试题分类汇编：立体几何（教师版）

优质模拟试题分类汇编(新高考1卷)

立体几何

—基本原理

1.直线的方向向量：

点A(XI，M，ZJ,B(x2,y2,z2),那么直线AB的方向向量可为AB=(x2-x1,y2-y1,z2-zi)

2.平面的法向量定义：

直线/丄a,取直线/的方向向量a,我们称向量a为平面a的法向量.给定一个点A和一

个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合

(P|a-AF=O}.

注：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面

内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量.

3.平面的法向量确定通常有两种方法：

(1)几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平

面的法向量；

(2)几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一

般步骤如下：

(i)设出平面的法向量为〃=(x,y,z)；

(ii)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(q,%q),6=(生也,02);

(iii)根据法向量的定义建立关于X,y,Z的方程;

n-b=0

(iv)解方程组，取其中的一个解，即得法向量.由于一个平面的法向量有无数个，故可在

代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量.

知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行.

(1)线线平行

设直线4,厶的方向向量分别是a,6,则要证明4/4，只需证明。/力，即"劭々eR).

(2)线面平行

线面平行的判定方法一般有三种：

①设直线/的方向向量是a＞平面a的向量是“，则要证明Illa,只需证明a丄〃，即=0.

②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量

与已知直线的方向向量是共线向量.

③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向

量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.

(3)面面平行

①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.

②若能求出平面a,"的法向量”,v,则要证明a//〃，只需证明〃//v.

知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系

空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直.

(1)线线垂直

设直线4,厶的方向向量分别为。,6,则要证明4丄4，只需证明。丄6，即。2=0.

(2)线面垂直

①设直线/的方向向量是a,平面c的向量是〃，则要证明/丄打，只需证明a//〃.

②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.

(3)面面垂直

①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直.

②证明两个平面的法向量互相垂直.

知识点四、用向量方法求空间角

(1)求异面直线所成的角

已知“，&为两异面直线，A,C与8,O分别是匕上的任意两点，a,8所成的角为

注：两异面直线所成的角的范围为(0°,90°].两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向

向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为

两异面直线所成的角.

(2)求直线和平面所成的角

如图，设直线/的方向向量为平面c的法向量为；，直线与平面所成的角为°,1与1

的角为8,则有sin0=|cos©|=[e.?.（易错点）

\e\-\n\

(3)求二面角

如图，若PA丄a于丄月于3,平面交/于E,则44£»为二面角戊-/-月的平面

角，ZAEB+ZAPB=180°.

兀-g©,即二面角e等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角.

①当法向量％与电的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角。的大小等于4,旳的夹

角(4,“)的大小•

②当法向量4,%的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角。的大小等于的夹角

的补角万-的大小.

知识点五、用向量方法求空间距离

1.求点面距的一般步骤：

①求出该平面的一个法向量；

②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距

离.

—>—>—>—>

t-IAp.nIIAP・n

即：点A到平面a的距离Q=|<05/4。。=|AP|•丄;一J=l」^丨，〃是平面a

\AP\\n\\n\

的法向量，如下图所示.

2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解.

\AB-n\

直线a与平面a之间的距离：d=-------,其中“是平面a的法向量.

丨〃丨

\AB-n\

两平行平面4,之间的距离：-----L,其中Aca,Be，，“是平面a的法向量.

\n\

3.点线距

设直线/的单位方向向量为"，Ael，Pel，设AP=a，则点尸到直线/的距离

d=J\a^,

二.试题演练

例1.(2023届武汉9月调研)如图，在图1的等腰直角三角形ABC中，AB=CB=3,边AB,AC

AEAF2

上的点瓦/满足不二寸=彳，将三角形AE尸沿跖翻折至三角形尸处，得到图2中的

ABAC3

四棱锥尸-瓦CB,且二面角尸-£F-3的大小为60。.

(1)证明：平面PBC丄平面EFCB；

(2)求直线8E与平面尸尸C所成角的正弦值.

AFAF2

解析：(1)因为大=可=：7,所以EF//5C,因为等腰直角三角形A5c中，AB1BC,

ABAC3

所以EF丄AB,在四棱锥尸-EFCB中，EF丄EB,EF丄EP.所以/PEB为二面角P-EF-B

的平面角，即ZPE8=60.

又PE=2,BE=1,所以PB=《PE°+BE?—2PE-BE•cos60=5

满足尸石2=顧2+尸32即鹿丄尸3,又BE丄BC,且P3c3C=3,PB,BCu平面PBC,

所以BE丄平面PBC.又BEu平面EFCB,所以平面PBC丄平面EFCB.

(2)由EF丄EB,EF丄EP,且E3EP=E,EB,EPu平面PBE,故防丄平面PBE,则

有EF1PB又EFUBC,所以3c丄P3,即尸氏两两垂直.

以8为坐标原点，的方向为羽，衣轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则有：B（0,0,0）,£（0,1,0）,C（3,0,0）,P（0,0,,F（2,1,0）.BE=（0,1,0）.

设平面PFC的法向量“=（X,Z）,尸C=（3,0,-73）,FC=（1,-1,0）.

n-PC=3x-y/3z=0

,令y=l,得”=（1,1，凡

n-FC=x-y=0

I/\iBE-n\1亚

设所求角的大小为。，贝。sin。=cos〈BE,n}\=一昌=焉丄f=?.所以直线做与平面

1'八BE\-\n\V1-V55

刊七所成角的正弦值为q.

例2(福建省部分地市2023届高三第一次质量检测)如图，在直三棱柱ABC-A瓦G中,

AC=-fi,AB丄BC,E,尸分别为B片,CA的中点，且EF丄平面A41GC.

(1)求AB的长；

(2)若的=行，求二面角C-4E-A的余弦值.

解析：（1）•••斯立面明CG，又ACu面A4（G，/丄AC，又•.•尸为A。的中点，

EA,=EC,又在Rt4481E、RtZXBEC中，BE=EB,,易证得△④耳石也△C3E,

故A耳=BC.AB=AiBl,.-.AB=BC,又ABLBC,AC=0,故AB=1.

(2)以点片为原点，建立如图所示的空间直角坐标系4-孙z,

2丿,C(0,1,A/2),则AE=-1,0,,Ac=(-i,i,V2),

m-AE=0_x人()+十-czZ。一-0U

不妨设〃7（.，先为）是平面。^^的一个法向量，那么“，即2

A©=0、-X。+%+&Z。=0

令z0=2,则7〃=（点，-0,2）.又耳G丄面4局胡，故耳£=（0,1,0）是平面4gBA的一个

\m-BiCi\421

法向量.设［为二面角C-4E-A所成平面角，则cosa=

|m|•函「2夜一展

即二面角C-A.E-A的余弦值为!.

例3（福建省泉州市2023届高三毕业班质量检测一）三棱柱ABC-A耳G中,

A4,=AB=2^,CAl=4,CB>=2近,/£4A=60。.

（2）若C4=4,求二面角4-CB「G的余弦值.

解析：（1）如图所示：作45中点。，连接OC,OA，

Q44,=AB,Zft4A=60°,AB\是等边三角形，.1A8丄Q4,

22

又Q0=4,44=2瓜CB、=2#i,满足CA,+A,Bt=CB；，即有丄$C,而A8〃4片，

所以AB丄AC,O\IAC=A，。4,4（?<=平面4℃,工平面A0C,

而OCu平面A0C,所以AS丄oc,又因为。是45中点，所以C4=CB.

⑵若C4=4,则oc=44。-疔=,易知。A=3,

以点。为原点，分别以。4。4方向为x,y轴，以过点。竖直向上的直线为z轴建立空间直角

过点c作⑺八方，垂足为。，在△HOC中，期"04='+'16=巫,

2x713x313

所以0。=而x史=1,CD=2A/3,则A（石,0,0）,C（0,l,2石），A（°，3,。），

13

,—,—.-UUU.—UUL1,——.-UUUU.—

£（一代,4,2近），^（-273,3,0）C\=（0,2,-2V3）,鄧二（-2732-2近），CC；=（-73,3,0）,

[in>CB,=0-2\/^%+2y,—2^/^Z]—0

设平面CAA的法向量为根=a，%，z）,则有八，即'「乂,

l"C4=0〔2%-2gzi=0

令贝”=1,玉=。，所以机=（0,6,1）,

丄/広〃3—21

同理可得：平面CBC的法向量〃=（3,后-2）,则8s即"片隔时=石石=出

因为所求二面角为钝角，所以二面角A-^-G的余弦值为.

O

例4.（2023届佛山一模）如图，一ACD和△BCD都是边长为2的等边三角形，平面ACD丄

（1）证明：EB〃平面ACD；

(2)若点E到平面ABC的距离为正，求平面ECD与平面BCD夹角的正切值.

解析：(1)如图，取8的中点，连接AO,则AO丄C。，又因为平面ACD丄平面BCD,

且平面ACD-平面3CD=CD,AOu平面ACD,则AO丄平面BCD,又EB丄平面BCD,

所以EB//AO,又班仁平面ACD,AOu平面ACD,所以EB〃平面ACD.

(2)如图，连接EO,BO,取BC的中点尸，连接。尸，则。尸丄3C,

22

因为|AB卜7|AO|+|BO|=屈,则等腰一54c的面积为SBAC=；X正义当=号，

所以三棱锥E—ABC的体积为/ABC=』X正义追=述，因为班丄平面3CD,DFu平

EABC326

面BCD,则DF丄EB,又因为。尸丄BC,EBBC=B,EBu平面£BC,3Cu平面£BC,

则。尸工平面EBC,因为EB//AO,则点A到平面EBC的距离等于点。到平面E3C的距离

等于戶|=4，因为心.=；'2义|即=|即，则匕⑦c=；x即x?=f|郎，

Z2/J2O

又/一.=匕一改，所以国却=5,因为仍丄平面BCD,BCu平面3CO,8Du平面3CD,

则EB丄3C,EBLBD,所以旧。=|即|,所以EO丄CD,所以平面ECD与平面BCD夹角

EB55A/3

的平面角为NEO3,则tanNEO3=7^=8=T-,

(JDX/33

例5(2023届深圳一模)如图，在四棱锥P-ABC。中，PD±AB,S.PD=PB,底面ABCD

rr

是边长为2的菱形，ZBAD=~.

(1)证明：平面E4c丄平面ABCD；

(2)若PA丄尸C,求平面出B与平面PBC夹角的余弦值.

解析：(1)连接。B交AC于点O,连接PO.因为ABCO是菱形，所以8。丄AC,且。为

2。的中点.因为所以P。丄80.又因为AC,POu平面APC,且ACPO=O,

所以3。丄平面APC.又BDu平面ABCD,所以平面APC丄平面ABCD

TT

(2)取中点连接DM交AC于点区连接PH.因为=所以△A3。是等

边三角形，所以。M丄AB.又因为尸。丄AB,PDcDM=D,即,DMu平面

所以AB丄平面PDM.所以丄尸肥由(1)知BD丄PH,且ABBD=B,所以尸H丄平

面A2CD由A3CD是边长为2的菱形，在△ABC中，AH=巫,

cos3003

AO=AB-cos30°=^.由AP丄尸C,在AAPC中，PH2=AH-HC=—x^=-,所以

333

PH=当.以。为坐标原点，OB、0C分别为X轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系,

所以A8=P，百,0b

6丄2戈„

BP=0-x------M+4=0

设平面B43的法向量为勺=(%,必，4),所以1n<3------3

“-AB=0玉+小丫［=0

令X=1得4=.设平面PBC的法向量为%=（w，y2，z2），

_立,276_

nBP=0^

所以2无z3%3,J，令%=i得%=（右丄&）.设平面山B与平面

n2-CB—0

x2-6y2=o

P5C的夹角为6.所以，cos6=|cos<%,〃2>|二"黑

-VSx^+lxl-^-xV?

2出

\2二=彳，所以，平面B4B与平面PBC夹角的

22

（冋』+X

2丿

余弦值为事

例6.（广州市2023届高三一模）如图，已知四棱锥尸-ABC。的底面ABC。是菱形，平面

P8C丄平面ABCD,/ACD=30,E为AD的中点，点厂在E4上，AP=3AF.

（1）证明：PC〃平面班F；

（2）若/PDC=/PDB,且PD与平面ABCD所成的角为45,求平面AEF与平面5EF夹

角的余弦值.

解析：（1）设AC3E的交点为。，连接尸。，已知。为的重心,

Ao1第4F=:1,所以在中，A签rtAF1

所以就=5'

/\.±，21（_z~AP2

所以bO//PC,所以歹Ou平面5EF,PC<Z平面3EF,

则PC〃平面3EF.

（2）因为NACD=30,所以ZACB=30,

所以△£>口为等边三角形，所以DC=DB,又因为NPDC=NPDB,

所以PDB五PDC,所以P3=PC,

取3c的中点为“，连接PH,则尸“丄3C,

平面尸BC丄平面ABCD,平面尸3Cc平面ABCDnBC,

则尸，丄平面ABC。，以H为坐标原点，曲,五6,冃尸为羽y,z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

因为尸D与平面A8CD所成的角为NPDH=45。，所以PH=DH,

设菱形的边长为2,所以PH=DH=有,所以

尸(0,0,用,8(0,1,0),4隕,2,0),£＞幀,0,0),网61,0),

因为AP=3AF，所以歹，

I333丿

EF=-4,；,#],AE=(O,-1,0),BE=(60,0),

设〃=(x,y,z)丄平面AEF,

-y=0

n•AE=0

=>■A/31y/3令x=l,y=0,z=l,

n•EF=0-------x+—yH-------z=0

I333

所以〃=(1,0,1),

设根=(x2,%,Z2)丄平面BEF,

A/3X=0

m-BE=02

=>V31y/3令%=后天2=。*2=T，

m-EF=0一_3~X2+3y2+~3~Z2=0

LI/八m'nJ2

则cos(m,n)=-~——,

|m||n|4

所以平面AEF与平面BEF夹角的余弦值为—.

4

例7(2023届武汉二调)如图，四棱台488-4片£2的下底面和上底面分别是边4和2的

正方形，侧棱CG上点E满足釜=：

(2)若CG丄平面ABCD,且CG=3,求直线BBX与平面ARE所成角的正弦值.

解析：(1)证明：延长和。C交于点V,连接M4交8C于点N,连接2N,

由*=丄，故=丄，所以CM=4=AB,所以MCN^ABN,所以BN=NC,所以N

CE2CM2

为BC中点，又且A2=BC，B\CJ/BN且B©I=BN,

所以AQ//BN且A。=BN,

故四边形4BNR为平行四边形,

所以AB//RN,又QNu平面AQE,平面ARE,

所以48〃平面

(2)解：以C为原点，CD,CB,CG所在直线分别为x轴、，轴、z轴

建立如图所示的空间直角坐标系.

则3（0,4,0）,4（0,2,3）,A（4,4,0）,厶（2,0,3）,E（0,0,2）.

所以=（0,—2,3）,叫=（-2,-4,3）,AE=（T,Y,2）.

n-ADX=0/曰J-2x-4y+3z=0

设平面的法向量。=(x,y,z),_'得IA/ICC

n-AE=0[-4x-4y+2z=0

取〃=（1,一2,-2）,

2713

故所求角的正弦值为'=

卧阿|A/9-71339

所以直线8月与平面所成角的正弦值为厶叵.

39

例8(2023届南通二调)如图，在；ABC中，AD是BC边上的高，以AD为折痕，将-ACD

折至△APD的位置，使得PB丄AB.

(1)证明：尸8丄平面ABD；

(2)若AD=PB=4,BD=2,求二面角3-卩4一。的正弦值.

解析：(1)证明：；AD是8C边上的高，

，PD1AD,AD±BD,

PDcBD=D,PD,BDu平面PBD,

.•.AD丄平面PBD,

PBu平面?

:.AD±PB,

又1PB丄AB,AD,ABu平面=

PB丄平面ABZ)；

(2)以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，垂直ADB平面为z轴,

建立空间直角坐标系,

AD=PB=4,BD=2,

则B（0,2,0）,P（0,2,4）,A（4,0,0）,D（0,0,0）,

y

二8尸=（0,0,4）,9=（4,-2,T）,ZM=（4,0,0）,

设平面3上4与平面PAD的一个法向量分别为4=（%,%，4）,%=（x2，y2,z2）,

n,,BP=4Z[=0

故，解得：Z=0,令国=1,得：乂=2,

4•PA=4再一2y1-44=0

则4=(1,2,0),

n2♦PA=4X2-2y2-4z2=0

,解得:x?—0,z?—1则％=—2,

nx-DA=4X2=0

故彳=(0,-2,l),

设二面角5-R4-O平面角为，，显然，为锐角,

.cos”@上2，。＞(。，-2』)|4_4

••OU,C7।11।/-----------I--------------I—«—,

Vl+4xVl+4V5-V55

sin。=Vl-cos26=j

例9（山东省济南市23届高三上学期期末数学试题）如图，在三棱柱ABC-AgG中，四边

形四耳B是菱形，AB1AC,平面A4.4B丄平面ABC.

(1)证明：A.B±BXC.

jr

（2）已知Z-ABBX=—,AB=AC=2,平面44G与平面世。的交线为/.在/上是否存在点P,

使直线A/与平面4,尸所成角的正弦值为。？若存在，求线段男尸的长度；若不存在，试说

4

明理由.

解析：（1）证明：因为平面44181g丄平面A6C,平面A4142c平面ABC=AB,ACJ_AB,

ACu平面ABC,所以AC丄平面

A8u平面AA耳B,所以AC丄48,

因为四边形AAB也是菱形，所以A片丄AB,

又因为ACCAB]=A,AC、AB]u平面AB。，所以AB丄平面4J]C,

因为用cu平面明c,所以A1丄4c.

（2）解：取4耳中点O,连接AD,

因为四边形为菱形，则蚀=网，

又因为442用=60,则，ABB,为等边三角形，

由菱形的几何性质可知乙钠円=60°,M=A,B,,贝I]9用也为等边三角形，

因为。为44的中点，则AD丄4与，AB//4B,,..AB.LAD,

由（1）知，AC丄平面AABJB,以点A为坐标原点，AB.AD.AC所在直线分别为了、丁、

z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则4（0,0,0）、8（2,0,0）、C（0,0,2）、4（-1,退,0）、旦（1,6,0）,

”=（3,-石,0）,

因为AC7/AG，ACz平面A4G，AGu平面A4G，所以AC〃平面A与G，

因为平面A4cle平面AB。=l,ACu平面AB。,所以ACHI,由（1）知/丄平面AAiB^B,

设尸（1,右,，，贝l]AP=（l,6,。，A3=（2,0,0）.

一/、n•AP=x++Zz=0

设平面ABF的法向量〃=（x,y,z）,贝i",

n•AB=2x=0

取z=一6，可得〃=（0,厶-百），

因为直线48与平面钻尸所成角的正弦值为。，

4

则|cos<>|==:，解得/=±1,

|府.”2石X,产+34

因此，存在点尸，线段片尸的长为1.

例11（山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试）在四棱锥尸-ABCD中，底面

ABCD是直角梯形，AB//CD,AB丄AD,侧面上M）丄底面ABCD,DP=DA=DC=AB.

(1)证明：平面P8C丄平面R4B；

(2)若AD=AP,求平面PAC与平面P4B夹角的余弦值.

解析：(1)由题意，取M,N分别为棱尸AH?的中点，连接DM,MN,NC,

则MN〃AB,M2V=：CD//AB,豆CD=；AB,：.MNHCD,且MV=CD,

...四边形肱VCD为平行四边形，故DM//OV.：。尸=八4”为棱以的中点，/.DM±PA；

'：AB±AD,平面BLD丄底面ABCD,平面R4£»c底面ABCZ＞=AD,AB丄平面P4D,

：DMu平面PAD,AB丄DM汉ABPA=A,S.AB,RI在平面内

；•DM丄平面PLB.*.•■DM//CW,GV丄平面R4B,又：aVu平面PBC,...平面PBC丄平

面PLB.

(2)由题意及(1)得，取AD中点为°,连接尸0,•••—皿＞为等边三角形，...PO丄亜，

•.•平面上4£＞丄底面ABCD,，尸。丄底面ABCD,过。作OE//AB,交BC于点E,则

OELAD-以。为原点,。4,OE,。尸所在直线分别为尤轴,＞轴,z轴建立空间直角坐标系，

则DM=|,O,^|-j,AP=(-1,0,6),AC=(-2,2,0),

___'3JI

由(1)可知D欣丄平面上钻故平面R4B的法向量取。M=5，0，j

设平面PAC的法向量为〃=(x,y,z),

n-AP=0f-x+>/3z=0

由，解得<ccc，

n-AC=0[-2x+2y=0

令了=百，得"=(A/§\疯1),

设平面PAC与平面上4B的夹角为e,

2也2币

cos8=

\n\\DM\6币-7

平面PAC与平面R4B夹角的余弦值为双Z.

7

例12（温州市2023届高三一模）如图，线段AA是圆柱。。|的母线，.A5C是圆柱下底面:。

B

（1）劣弧BC上是否存在点。，使得口。〃平面AAB?若存在，求出劣弧8。的长度；若

不存在，请说明理由.

（2）求平面CB。]和平面B/见夹角的余弦值.

解析：（1）如图过点。作厶3的平行线交劣弧BC于点。，连接。0卩，

因为A41U平面OQZ平面AAR,则001〃平面

同理可证0。〃平面,OO{OD=O,且。O[U平面。OQ,ODu平面。QD

所以平面〃平面OOQ,又因为OQu平面OOQ,所以。。〃平面44B

故存在点。满足题意.因为，ABC为底面。的内接正三角形，所以ZBAC=q,即

71

ZABO=ZBOD=-,

6

3=拒£「

又因为4?=3,所以。的半径为2sin三，所以劣弧50的长度为2x2万=

32万一6

（2）如图取BC的中点为连接以MB为x轴，M4为》轴，过M作。。1平行线为z

轴，建立空间直角坐标系，又因为AA|=AB=3,设A3中点为N.

故Af(O,O,O),fif|,o,oj,A°，浮，°，c[-1,0