高中数学 第1章 数列

第2课时等比数列的性质

学习目标核心素养

1.结合等差数列的性质，了解等比数列的

1.通过等比数列性质的研究，培养逻辑推

性质和由来.

理的数学素养.

2.理解等比数列的性质及应用.(重点)

2.通过学习等比中项的概念.提升数学

3.掌握等比数列与等差数列的综合应

运算的素养.

用.(难点)

1.等比数列的单调性

阅读教材P23思考交流以下P24例3以上部分，完成下列问题.

对于等比数列｛a｝,通项公式为=@•尸=亍*Q-根据指数函

数的单调性，可分析当0>0时的单调性如下表:

31,31>0ai<0

Q的范围0<<7<11=1<7>10<7<1(7=1<7>1

｛a｝的递减常递增递增递减

常数列

单调性数列数列数列数列数列

思考：(1)若等比数列｛,中，a尸书,则数列｛a｝的单

调性如何？

［提示］递减数列.

(2)等比数列｛2｝中，若公比q<0,则数列｛4｝的单调性如何？

［提示］数列｛a｝不具有单调性，是摆动数列.

2.等比中项

阅读教材P25练习2以上最后两段部分，完成下列问题.

(1)前提：在&与人中间插入一个数G,使得a,G,5成等比

数列.

(2)结论：6叫作a,5的等比中项.

(3)满足关系式：曲.

思考：（1）任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中

项吗？

［提示］不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反

数，两个异号的实数无等比中项.

（2）两个数的等差中项是唯一的，若两个数H,5存在等比中项,

唯一吗？

［提示］不唯一，如2和8的等比中项是4或一4.

1.已知｛2｝是等比数列，a2=2,则公比q等于（）

1

A.一~B.-2

乙

1

C.2D.-

乙

1

o411

D［由得"=’=5=石，所以q=［,故选D.］

2.将公比为q的等比数列｛2｝依次取相邻两项的乘积组成新

的数列13182,必含，（33&4,…，则此数列是（）

A.公比为q的等比数列

B.公比为"的等比数列

C.公比为/的等比数列

D.不一定是等比数列

B［由于&=2义刍里=q・q=d，且〃RN+，所以

1a〃—i

｛a晶+J是以"为公比的等比数列，故选B.］

3.等比数列｛4｝中，若a=2,且｛a｝是递增数列,则数列｛为｝

的公比q的取值范围是.

(1，+8)[因为a=2>0,要使｛a｝是递增数列，则需公比

q>L]

4.4—2$与4+2小的等比中项是.

2或一2[由题意知4—2馅与4+2第的等比中项为

±-\14-2^34+2^3土，16—12=±2.]

缢______________等__比_中_项_及_应_用

【例1】⑴设x,2x+2,3x+3成等比数列，则x=

(2)设a,b,c是实数，若a,b,c成等比数列，且士，成

abc

等差数列，则工+%勺值为

ac

(1)-4(2)2[(1)由题意得(2X+2)2=X(3X+3),

x2+5x+4=0,解得x=—1或x=—'4,

当x=—1时，2x+2=0,不符合题意，舍去，

所以x=-4.

(2)由a,b,c成等比数列，工成等差数列，得

abc

'K=ac,

21,1故(a—c)2=0,

ac

则片c,所以+=1+1=2」

应用等比中项解题的两个注意点

(1)要证三数H,G,6成等比数列，只需证明d=助，其中a,

b,G均不为零.

(2)已知等比数列中的相邻三项at,an,2+i,则必是2-与

2+i的等比中项，即成=为一1•a+i,运用等比中项解决问题，会大

大减少运算过程.

1.(1)已知1既是与方的等比中项，又是1与1的等差中项,

ab

则算了的值是()

A.1或1B.1或一；

乙乙

C.1或;D.1或一J

OO

(2)已知等比数列｛a｝的前三项依次为a-1,H+1,a+4,则

（3）1i

72-1

⑴D（2）4X-[⑴由题意得，3方=（必2=],一+2,

⑷ab

所叱3.b^—一1,或，3,b^—1—,2.

打T-h1

因此的值为1或一1.

a+b3

(2)由已知可得(a+1)2=(a—1)(a+4),

解得a=5,所以a=4,为=6,

二匚I”463

所以片厂厂5'

⑶

所以a„=4X5"7]

展型2~等比数列的设法与求解

【例2】已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的

积是一8,后三个数依次成等差数列，它们的积是一80,则这四个

数为.

4

1,—2,4,10或一三，—2,—5,—8］由题意设此四个数分

5

b

别为b,bq,a,则^=—8,解得5=—2,q与H可通过解方程

即为46=—2,或〈

〔。=一2

、4

所以此四个A数为1,一2,4,10或一三，—2,—5,-8.］

5

灵活设项求解等比数列的技巧

⑴三个数成等比数列设为色,a,aq.

q

(2)四个符号相同的数成等比数列设为鸟，aq,W.

⑶四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为:

a,aq.aq,aq.

2.已知三个数成等比数列，其积为1,第2项与第3项之和

为一5,则这三个数依次为.

乙

o5a

—曰1，—J［设这三个数分别为-，a,aq,

52q

3_1

C(3=1,

5

则J_3解得a=l,q=~~,

a~\~aq0,乙

乙

25

所以这三个数依次为一F，1,一

空型3等比数列的性质及应用

［探究问题］

扫

1.在等差数列｛4｝中，2=4+(〃一勿)&类比等差码

看

微

数列中通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推课

广的结论吗？

m

［提示］a„=am•q~.

2.在等差数列｛a〃｝中，由2a2=<31+H3,2备=42+&4,…我们推

广得到若20="+〃，则2&=a+必，若｛劣｝是等比数列，我们能得

到什么类似的结论.

［提示］若20=勿+小贝1］若=劣,为.

3.在等差数列｛aj中，若勿+〃=〃+q,则<3〃+a=%+%，类

比这个性质，若｛a｝是等比数列，有哪个结论成立？

［提不］右［+n—P~\~q,贝Elm*<3/7=%,ELq.

［例3］(1)在等比数列｛2｝中，a>0,若为•@5=4,则

43.2%&含为&=.

(2)设｛"为公比q>l的等比数列，若电。18和包。19是方程4/

—8x+3=0的两根，则030+&2031=.

(3)在等比数歹U｛4｝中，已知&&7=-512,且十为=124,且公

比q为整数，贝£产.

思路探究：利用等比数列的性质求解.

(1)128(2)2•312⑶一(一2广[(1)a3a5=a=4,又

>0,所以2=2,

2128.

13

⑵解方程4/-8x+3=0得荀=5，^2=-,因为q>l,故@2019

乙乙

31.

万，/018=5，故q=3.

•_|__12।12―/I\12

••氏030I氏0311己2018。r^2019*Q—\^2018I乞20197Q

=2•312.

(3)在等比数列｛a｝中，由&&=一512得必备=一512,

又为+桀=124,解得续=—4,a=128或a=128,a=—4,

因为公比q为整数，所以q=\j£=—个/竽=—2,

故必=—4X(―2)T=—(―2)i.］

1.(变条件)将例3(3)中等比数列满足的条件改为“a+&=2,

%生=-8",求a+&().

［解］因为｛a｝是等比数列，所以a5H6=aa=一8,

又昌+己7=2,解得a=4,@7=-2或&=-2,&=4,

当a=4,<^7=-2时，q=一a+^io=-sH-=­7,

2q

=

当&=-29乞7=4时9Q-2,己1+己1。=~3~\~3-1Q——7.

Q

故国+&o=­7.

2.(变结论)例3(3)题的条件不变,求log4|a2|+log4|a3|+

log41al+log41a91.

［解］因为&—512,所以a2aq=23改=—512,

故log4|a2\+log41a31+log41a81+log4|a9|

=10g4（|3239|,|<93<38|）=10g4512'=10g229

=9.

等比数列的常用性质

性质1：通项公式的推广：a产劣,/一"（"，〃QN+）.

性质2：若｛aj为等比数列,且“+/=1+〃（4,1,m,〃£N+）,

则ak•ai=am•an.特别的，若k+。=2勿（勿，k,。QN+）,则a•刈

=3,m.

性质3：若回｝，值｝（项数相同）是等比数列，则｛几或，］4,

｛洲，｛2・4｝,仍是等比数列.

性质4：在等比数列｛&｝中，序号成等差数列的项仍成等比数

列.

3i>0,

性质5：O{%}递增;

q>l

Si>0,31<0,

=3｝递减；q=l=｛<aj为常数列；q

0<^<1一〔>]

〈00｛a｝为摆动数列.

1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找

简便方法.

2.所谓通式通法，指应用通项公式，前〃项和公式，等差中

项，等比中项等列出方程（组），求出基本量.

3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非

常重要.

1.判断正误（正确的打，错误的打“X”）

（1）数列-1,—2,—4,—8,一16是递减数列.（）

（2）等比数列｛a｝中，当＞1,q＜0,则数列数