2022-2023学年上海市静安区市北中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市静安区市北中学九年级（上）期末数学试

卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.指的相反数是（）

A.<3B.-<3C.号D.一殍

2.下列方程中，有实数解的是（）

A.%2—x+1=0B.Vx—2=1—xC.\x=0D.\x=1

xL—xx£-x

3.已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上，且ED//BC,如果AD：DB=1：

4,ED=2,那么边BC的长是（）

A.8B.10C.6D.4

4.如果点4（2,m）在抛物线y=%2上，将抛物线向右平移3个单位后，点4同时平移到点

那么4'坐标为（）

A.(2,1)B.(2,7)C.(5,4)D.(-1,4)

5.在RtZkABC中，ZC=90°,CD是高，如果40=m,NA=a,那么BC的长为（）

._mtanamtana

A.m-tana•cosaB.m•cota•cosaC.--------D.-：---

cosasina

6.下列命题是真命题的是（）

A.有一个角相等的两个等腰三角形相似

B.两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似

C.四个内角都对应相等的两个四边形相似

D,斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.化简：（-2a2）3=.

9.上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图

上距离约厘米.

10.某滑雪运动员沿着坡比为1：C的斜坡滑行了200米，则他身体下降的高度为米

11.抛物线y=(x-1)2+3与y轴的交点坐标是

12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线

x=2,若此抛物线与x轴的一个交点为(6,0),则抛物线与％轴

的另一个交点坐标是.

13.如图，在△ABC中，点。是8c边上的点，且CO=28。，如果

AB=a.AD=b>那么瓦t=(用含日、B的式子表示).

如果铁=?,

14.如图，直线AA\〃BB["CC'AA1=2,

那么线段的长是.

15.已知，点P、Q是线段AB的两个黄金分割点，若AB=8,则PQ的长是.

16.在UBC中，ABAC=90。，点G是△ABC的重心，连接4G.若AG=6,则BC长为.

17.若抛物线丫=。/+(:与％轴交于点/1(6,0)、B(n,0),与y轴交于点C(0,c),则称△ABC为

“抛物三角线”.特别地，当mnc<0时，称△ABC为“正抛物三角形"；当nmc>0时，称

△ABC为“倒抛物三角形”.那么，当△力BC为“倒抛物三角形"时，a、c应分别满足条件

18.如图，已知A/IBC沿角平分线BE所在的直线翻折，点4恰好

落在边BC的中点M处，且AM=BE,那么/EBC的正切值是

三、解答题(本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本小题10.0分)

计算：＜-245。一箭+的23。。.

20.(本小题10.0分)

抛物线y=x2-2x+c经过点(2,1).

(1)求抛物线的顶点坐标；

(2)将抛物线y=X2-2X+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于4、B两点，如果4B=

2,求新抛物线的表达式.

21.(本小题10.0分)

如图，在△ABC中，点0、E分别在边力B、AC上，空=?,AE=3,CE=1,BC=6.

AB4

(1)求。E的长；

(2)过点。作。尸〃4:交8c于心设荏=出前=石,求向量而(用向量,、族表示)

22.(本小题10.0分)

某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至当层之间安装电梯，截面图如图所示，

底层与反层平行，层高4。为9米，4、B间的距离为6米，AACD=20°.

(1)请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头？请说明理由.

(2)若采取中段平台设计(如图虚线所示).已知平台EF〃DC,且4E段和FC段的坡度i=l：2,

求平台EF的长度.

【参考数据：sin20°x0.34,cos20°«0.94,tan200®0.36]

D

23.(本小题10.0分)

已知如图，。是△力BC的边AB上一点，DE//BC,交边4C于点E,延长CE至点F,使EF=CE,

联结BF,交边4c于点G,联结CF

〃、一「、丁AEEG

⑴求证:而=而;

(2)如果OX=FG-FB,求证：CGCE=BCDE.

24.(本小题14.0分)

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=+bx+c与x轴交于点4、B,与y轴交于点C,

直线y=x+4经过点4、C,点P为抛物线上位于直线4c上方的一个动点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图(1),当CP〃A。时，求NP4C的正切值；

(3)4当以4P、40为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标.

25.(本小题14.0分)

如图，矩形4BC。中，AB=，下，点E是BC边上的一个动点，连接4E,过点。作OF1AE,

垂足为点F.

(1)设BE=%，乙4DF的余切值为y,求y关于x的函数解析式;

(2)若存在点E,使得AABE、AADF与四边形CDFE的面积比是3：4：5,试求矩形4BC。的

面积;

(3)对(2)中求出的矩形4BCD,连接CF,当BE的长为多少时，ACDF是等腰三角形？

BE

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：人=殍，

则盍的相反数是-?.

故选：D.

先分母有理化，再根据相反数的定义进行解答即可.

本题主要考查分母有理化，相反数，解题的关键是熟知相反数的定义，只有符号不同的两个数互

为相反数.

2.【答案】D

【解析】解：4、•・・△=1-4=—3<0,

・•・原方程无实数根，

B、当1一%<0,即％>1时，原方程无实数根，

C、当%2一%=0,即％=1,或％=0时，原方程无实数根，

。八、ITj1

:.%=—1.

故选。.

A、根据△的值判断即可，

B、根据二次根式的意义判断即可；

C、根据分式方程的解的定义判断即可；

。、根据分式方程的解的定义判断即可.

本题考查了一元二次方程的根得判别式，无理方程的解，分式方程的解，正确的解方程是解题的

关键.

A1

-=

D4-

D1

,

7-1-=,

力D

-o3

DF21

-=-

-点-

Bc3

=6

故选：c.

本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能推出△EADfCAB是解此题的关键.

根据相似三角形的判定定理，得出〜△C48,根据相似三角形的性质求出即可.

4.【答案】C

【解析】解：把A(2,m)代入y=/得m=4,则4点坐标为(2,4),把点4(2,4)向右平移3个单位后

所得对应点4的坐标为(5,4).

故选C.

先把A(2,m)代入y=/得m=4,于是得到4点坐标为(2,4),由于抛物线向右平移3个单位，则抛

物线上所有点都右平移3个单位，然后根据点平移的规律可确定点A'坐标.

本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故Q不变，所以求平移后的

抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数

法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

5.【答案】C

【解析】解：•・・在RtA/BC中，4c=90。，CD是高，如果=/,A=a,

CDCD

:，tana=—=—,

ADm

・•・CD=m-tana,

V乙ACB=44+=90°,乙BDC=NB+乙BCD=90°,LA=a,

••・乙BCD=a,

CD_mtana

・•・cos乙BCD~BC=BC

mtana

即cosa=

BC

mtana

BC=--------

cosa

故选c.

根据在RtzxABC中，/C=90。，CO是高，如果4D=m,NA=a,可以用含m和a的三角函数值

表示出CD,通过角相等，它们的三角函数值也相等，可以解答本题.

本题考查解直角三角函数，解题的关键是明确各个三角函数值的意义，利用转化的思想找到所求

问题需要的条件.

6.【答案】D

【解析】解：4、有一个顶角(或底角)相等的两个等腰三角形相似，所以4选项错误；

8、两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似，所以B选项错误：

C、四个内角都对应相等的两个四边形不一定相似，所以C选项错误；

。、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，所以。选项正确.

故选。.

根据相等的角可能为顶角或底角可对A进行判断；根据相似三角形的判定方法对B、。进行判断；

利用矩形和正方形不相似可对C进行判断.

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组

成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有

些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.

7.【答案】-8a6

【解析】【分析】

根据积的乘方与鞋的乘方的运算法则计算即可.

本题主要考查积的乘方与寨的乘方，掌握积的乘方与塞的乘方的运算法则是解题的关键.

【解答】

解:(-2a2)3=(-2)3•3)3=-8a6.

故答案为:-8a6.

8.【答案】2

【解析】解：名

a+3a+3

6+2a

a+3

_2(3+a)

a+3

=2,

故答案为：2.

根据同分母分式加减法法则计算.

本题考查的是分式的加减法，同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子

相加减.

9.【答案】4

【解析】解：设上海与杭州的图上距离为x厘米.

200千米=20000000厘米，

%：20000000=1：5000000,

解得x=4.

故答案为4.

设上海与杭州的图上距离为x厘米，根据比例尺的意义列出方程X：20000000=1：5000000,解

方程即可.

本题考查了比例线段，掌握比例尺的定义是解题的关键.注意单位要统一.

10.【答案】100

【解析】解：设垂直高度下降了x米，则水平前进了Cx米.

根据勾股定理可得：X2+«^X）2=2002.

解得x=100,

即它距离地面的垂直高度下降了100米.

故答案为:100.

设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可.

本题考查解直角三角形的应用，难度不大，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tana（坡度）=垂

直高度+水平宽度，综合利用了勾股定理.

11.【答案】（0,4）

【解析】解：令％=0,得y=4,

故与y轴的交点坐标是：（0,4）.

故答案为：（0,4）.

根据题意得出尤=0,然后求出y的值，即可以得到与y轴的交点坐标.

本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键,

此题较容易.

12.【答案】（—2,0）

【解析】解：（6,0）关于x=2的对称点是（一2,0）.

故答案是（-2,0）.

求出点(6,0)关于％=2的对称点即可.

本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称是关键.

13.【答案】3b-3a

【解析】解：AB=a>AD=b,

BD=AD—AB=b—a'

•••在AABC中，点。是BC边上的点，且CD=2BD,

.-.BC=3^D=3b-3a-

故答案为：3b-3a-

由荏=肉AD=b，直接利用三角形法则即可求得说，再由CO=2BO,即可求得答案.

此题考查了平面向量的知识.注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键.

14.【答案】3

过41作4E〃/1C,交BBi于。，交CQ于E,

•••直线4AJ/BBJ/CC1，

.•・四边形ABZMi和四边形BCEC是平行四边形，

•••AAX=2,"1=6,

・•・AA=BD=CE=2,EC[=6—2=4,37=77^=

1X1BCEA13

・•・•・•BB1//CC1,

.DA1=DB1

・'EAr-ECj

・二_=%!

"1+34'

:.DBi=1,

:.BB1=2+1=3,

故答案为：3.

过必作AE〃/C,交B81于D,交CCi于E,得出四边形4804和四边形BCED是平行四边形，求出

AA=BD=CE=2,EC[=6—2=4,=普1=根据8B1/CC1得出鲁1=器■,代入求出

rDCC/11DC/ilCCi

DB]=1即可.

本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键.

15.【答案】8n-16

【解析】解：如图，•••点P、Q是线段4B的黄金分割点，AB=8,

BP=AQ==4/T-4-

•••PQ=AQ+BP-AB=2(4V~5-4)-8=8c-16，

故答案为：8\/~5-16.

•---------■-----------・•

APQB

先由黄金分割的比值求出BP=AQ=4c—4，再由PQ=AQ+BP-AB进行计算即可.

本题考查了黄金分割：把线段48分成两条线段AC和8CQ4C>BC),且使4c是48和BC的比例中项

(BP/1B：AC=AC：BC),叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段4B的黄金分割点，熟记黄金比是

解题的关键.

16.【答案】18

【解析】解：如图，延长4G交BC于点。，

•••点G是△ABC的重心，AG=6,

•••0为BC的中点，且AG=2OG=6,

・•・DG=3,

・•・AD=AG+DG—9,

v/-BAC=90°,

・・・BC=2AD=18；

故答案为：18.

延长4G交BC于点。，根据点G是△ABC的重心，得到。为BC的中点，以及4G=2DG,进而求出AD

的长度，根据4。是直角三角形斜边上的中线，从而求出8C的长.

本题考查重心的性质，以及直角三角形斜边上的中线.熟练掌握重心到顶点的距离与重心到对边

中点的距离之比为2：1,以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键.

17.【答案】a>0,c<0

【解析】解：•.・抛物线丫=。/+<；的对称轴是y轴，

4(m,0)、B(n,0)关于y轴对称，

mn<0>

又：mnc>0,

.••c<0,即抛物线与y轴的负半轴相交，

又•.,抛物线y=ax2+c与x轴交于点4(m,0)、B(n,0),

二函数开口向上，

•••a>0.

故答案是：a>0,c<0.

根据m7i关于y轴对称，则nm<0,则c的符号即可确定，然后根据抛物线与x轴有交点，则可以

确定开口方向，从而确定a的符号.

本题考查了二次函数的性质，正确确定二次函数的开口方向是本题的关键.

18.【答案】|

【解析】解：设AM与BE交点为D,过M作MF〃BE交4c于F,如图所

示:

•••M为BC的中点,

•••F为CE的中点,

MF为ABCE的中位线,

...MF=?BE,

由翻折变换的性质得：AM1BE,AD=MD,

同理：DE是△力MF的中位线，

DE=^MF,

设DE=a,则MF=2a,AM=BE=4a,

...BD-3a,MD=^AM=2a,

乙BDM=90°,

2a2

tanzFBC=黑

DD3a3

故答案为：|

设AM与BE交点为D,过M作MF//BE交AC于尸，证出MF为△BCE的中位线，由三角形中位线定理

得出MF=^BE,由翻折变换的性质得出：AM1BE,AD=MD,同理由三角形中位线定理得出

DE=^MF,设DE=a,则MF=2a,AM=BE=4a,得出8。=3a,MD=^AM=2a,即可

得出结果.

本题考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、三角函数；熟练掌握翻折变换

的性质，通过作辅助线由三角形中位线定理得出MF=：BE,是解决问题的关键.

efl

19.【答案】解：原式=(乎尸--若+(，3)2

12X詈

泊+3

19

~6

【解析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案.

本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

20.【答案】解：(1)把(2,1)代入y=x2-2x4-c得4—4+c=1,解得c=1,

所以抛物线解析式为y=/一2%+1=Q-1产,

所以，抛物线的顶点坐标为(L0)；

(2)y=/-2x+1=(x-1)2,抛物线的对称轴为直线x=1,

而新抛物线的对称轴不变，其与x轴交于4、B两点，AB=2,不妨设点4在点B左边,

所以4(0,0),8(2,0),

所以新抛物线的解析式为y=-2),即y=/—2x.

【解析】本题考查了二次函数图象与几何变换，也考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函

数解析式.

(1)把(2,1)代入y=%2-2x+c中求出c的值即可得到抛物线解析式，进而求得顶点坐标；

(2)先确定抛物线丫=/-2》+1的对称轴，再利用抛物线的对称性得到4(0,0),B(2,0),然后利

用交点式可写出新抛物线的表达式.

21.【答案】解：(1)：AE=3,CE=1,

AAC=AE+CE=4,

tAD_AE_3

：，~AB=AC=4f

・・・DE〃BC,

DEAD3

...,

BCAB4

339

・•・DE=BCx-=6x-=-；

442

(2)・・•DF//AC,

•DF__B__D——1

••AC~BA~4

1

=

4-=；懑+硝=扣+颉.

【解析】⑴由*='，4E=3,CE=1,可得*=*=',即可证得DE〃BC,然后由平行线分

T,/1CT,

线段成比例定理，即可求得DE的长;

(2)由。F//AC,可得整=穿=；,再由三角形法则，即可求得答案.

/1CD/I4

此题考查了平行向量的知识以及平行线分线段成比例定理.注意掌握三角形法则以及平行四边形

的法则的应用是解此题的关键.

22.【答案】解：(1)过点8作

交AC于点、G,

vZ-ACD=20°,AB//CD,

:.Z.BAG=20°,

・・.BG=tan200X6=0.36X6=

2.16>1.9

•••不会碰到头部;

(2)vAD=9,

9

"CD=^20？=25)

过点尸作尸加上。。，垂足为点M,过点E作EN14D,垂足为点N,

设FM=x,则ZN=9一%,

•・・/1£段和尸。段的坡度》=1：2,

ACM=2x,NE=2(9-%)=18-2%,

：・CM+NE=2%+18—2%=18,

:.EF=CD-（CM-NE）«25-18=7（米）.

【解析】（1）先过点B作GB1AB,交AC于点G,根据NACD=20。，AB//CD,得出NB4G=20。,

再根据正切定理求出BG的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案；

（2）根据4D的长求出CD,再过点F作FMJ.CD,垂足为点M,过点E作EN14D,垂足为点N,设

FM=x,则AN=9-x,根据4E段和FC段的坡度i=1：2,求出CM和WE的长，最后根据EF=

CD-（CM-NE）,即可求出答案.

此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直

角三角形.

23.【答案】证明：(1)-DE//BC,

ABCfAEFG~ACBG,

tAE_D£EF__EG^

AAC='BCf~BC=~CG"

又「DE=EF,

DEEF

BCBC

tAE_EG

'AC~CG；

(2)•:CF2=FG,FB,

tCF__FB

***FG='CFf

又•・•乙CFG=乙CFB,

CFG~ABFC,

.4=等，4FCE=LCBF,

BCFC

又•・•DF//BC,

••Z-EFG=乙CBF,

・••Z-FCE=Z-EFG,

又•・•乙FEG=乙CEF,

EFG~AECF,

.EF__FG__DE^

''~EC~~FC~~EC'

.♦.线=段，即CG-CE=BC-OE.

BCEC

【解析1(1)首先证明△ADE-△力BC,△EFGfCBG,根据相似三角形的对应边的比相等，以及

DE=EF即可证得：

(2)首先证明△CFGs^BFC,证得蓝=装，乙FCE=4CBF,然后根据平行线的性质证明NFEG=

oCrC

乙CEF,即可证得△EFG^ECF,则族=2=需即可证得点=需则所证结论即可得到.

ECFCECFGEC

本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解相似三角形的判定方法，证明NFEG=/CEF,证

得小EFGfEC尸是解决本题的关键.

24.【答案】解：(1)当x=0时，y=x+4=4,则C(0,4),

当y=0时，%+4=0,解得％=—4,则4(一4,0),

把Z(-4,0),C(0,4)代入y=-#+bx+c得｛[±；劭+。—0,解得‘二1，

•••抛物线解析式为y=-jx2-x+4；

(2)抛物线的对称轴为直线％=一云含=一味

lfaPC//OA,

・••点P与点C关于直线x=-1对称，

P(-2,4),PC=2,

作PHI.AC于H,如图1,

vOA=OC=4,

CMC为等腰直角三角形，

/.OAC=45°,AC=4/2，

vPC//OA,

•••^PCA=AOAC=45°,

.•.△PCH为等腰直角三角形，

：.PH=CH=3乂2=C，

•••AH=AC-CH=4v2-V-7=3/7,

在Rt△P4H中，tanZ_PAH=Z=^-2==

An3vL3

即NP4C的正切值为g;

(3)以4P、力。为邻边的平行四边形第四个顶点为点Q,如图2,

•・,四边形4PQ。为平行四边形，

/.PQ//OA,PQ=OA=4,

设P(t,-?/一亡+4),则Q(t+4,-g—亡+4),

把(t+4,—g1+4)代入y=-—%+4得-g(t+4产—(t4-4)+4=-^t2—t4-4»解得

t=-3,

••・此时P点坐标为(一3,|).

【解析】(1)利用一次函数解析式确定C(0,4),4(-4,0),然后根据待定系数法求抛物线解析式；

(2)先确定抛物线的对称轴为直线x=-1,再利用对称性得到P(—2,4),作PH14C于//,如图1,

证明△。力C和△PC〃为等腰直角三角形得到4C=4/7，PH=CH=4,则4"=3「，然后

根据正切的定义求解；

(3)以4P、4。为邻边的平行四边形第四个顶点为点Q,如图2,利用平行四边形的性质得PQ〃。4

PQ=