2023届西藏林芝第一中学高三4月第二次模拟考试数学试题

2023届西藏林芝第一中学高三4月第二次模拟考试数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.过抛物线V=2py（，>0）的焦点且倾斜角为a的直线交抛物线于两点4B.\AF\=2\BF\,且A在第一象限,

则cos2a=（）

A6R3r7n2G

5595

2.我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖膈（加。〃班），下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积

几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为（）

7

45

A.90万平方尺B.180万平方尺

C.360〃平方尺D.135厢万平方尺

3.已知三棱锥O-ABC的体积为2,A6C是边长为2的等边三角形，且三棱锥O-ABC的外接球的球心。恰好

是CD中点，则球。的表面积为（)

52440万254

A.---B.---C.——D.24〃

333

4.已知函数=则不等式的解集是（）

A.1一B.C.（-<x>,0）D.

5.已知函数/（x）=2cosx-sin|+根（加eR）的部分图象如图所示.则/=（）

6.已知耳，鸟是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的-一个公共点，且/耳P工=才，设椭圆和双曲线的离心率分

别为4,02,则e,,e2的关系为（）

314,4212，

—+—=B.y十寸一=4

4%

D.e：+3e/=4

7.若0<a<b<l,则b"，log/,bgi”的大小关系为（）

a

baab

Aa>b>log/,a>log,^Bb>c1>log!Z?>log/

log〃a>ah>ba>log,/?logW>ba>ab>logjZ?

8.在AABC中，“sinA>sin5”是“tanA>tan5”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C,充要条件D.既不充分也不必要条件

9.设一个正三棱柱ABC-。斯，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬

到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为《0,则儿

为（）

1丫1

A.1.14

-+—

4⑶23J2

,0

c.D.i.w+i

⑶22⑶2

10.已知集合4={-2,-1,0,1},B={x|fMG”},若AC,则。的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

r2e¥

11.函数/（x）=1丁的图像大致为（）

|X|

g（a）=f（b）=g（c）,则k的最大值是（）

A.3B.2C.4D.5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛%｝是等比数列，％=1吗=36,则生=.

14.设S“为等比数列｛4｝的前八项和，若4=1,且3R,2s2，S3成等差数列，则a“=.

15.直线xsina+y+2=0的倾斜角的取值范围是.

16.不等式GT<1的解集为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点C,其短半轴长为1,一个焦点坐标为（1,0）,点A在椭圆。上，点3在直

线旷=夜上的点，且0ALO6.

（1）证明：直线AB与圆/+>2=1相切；

（2）求AQB面积的最小值.

18.（12分）已知/（X）=0x2-2x（04x41）,求/'（尤）的最小值.

19.（12分）已知曲线C的极坐标方程是夕=4cos8.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴，建立平面

正

x=m-\-----1

?

直角坐标系，直线1的参数方程是：｛la是参数）.

叵,

r

（1）若直线1与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数m值.

（2）设为曲线。上任意一点，求x+2y的取值范围.

20.（12分）在ABC中，ZB=-,cosC=—•

43

(1)求cosA的值；

(2)点。为边BC上的动点(不与。点重合)，设A0=>LOC,求2的取值范围.

21.(12分)某公司欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格))'(单位:万元)是每日产量工(单

位:吨)的函数：=不~~-Inx^x>1).

(1)求当日产量为3吨时的边际成本(即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数)；

(2)记每日生产平均成本2=加,求证：机<16;

X

2〃

(3)若财团每日注入资金可按数列。“=而口(单位:亿元)递减，连续注入6()天，求证:这6()天的总投入资金大于

加11亿元.

x—3+4/

22.(10分)在直角坐标系中，直线/的参数方程为「一'c_,0为参数).以坐标原点为极点，工轴的正半

y=-2+3t

轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为"+22cos。-8=0.

(1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若点夕是直线/的一点，过点P作曲线。的切线，切点为。，求归。|的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

作AA_L/,1/；BELAA,,由题意sina=——，由二倍角公式即得解.

AB

【详解】

由题意，仆°，多，准线/:>=—多

作A41_U,BB］工I；BELAA,,

设|网=网=£,

故|蝴=|A4j=2f,|AE|=f,

.A.E1.27

sin。==-ncos2a=1—2sin-a=—.

AB39

故选：C

【点睛】

本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

2、A

【解析】

根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外

接球，由球的表面积公式计算可得选项.

【详解】

由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥ABC,。为三棱锥外接球的球心，此三棱锥的外接球也是此

三棱锥所在的长方体的外接球，所以。为PC的中点，设球半径为R,则

代=222(222，所以外接球的表面积万万；万,

j_1pc)=1(AB+BC+PA)=14+5+7)=—S=4a=4x=90

、2,4422

【点睛】

本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半

径，属于中档题.

3、A

【解析】

根据。是CD中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.

【详解】

解：设。点到平面ABC的距离为〃，因为。是CO中点，

所以。到平面ABC的距离为“，

2

三棱锥D-A8C的体积ABc/=；・；x2x2xsin60°/=2,解得/?=2・6,

作OO'_L平面ABC,垂足O'为AHC的外心，所以CO'=2叵，且。。=*=6,

32

所以在R/CO。中，"=JCO〉+O02=后,此为球的半径，

..1352万

Sc=4TTRd2-=4万—=----.

33

故选：A.

D

【点睛】

本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题.

4、B

【解析】

由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.

【详解】

V2-11]

函数八幻=^~可得rconi+f,

XXX

xe(0,+8)时，r(x)>0,/(X)单调递增，

,「>0,e2x-'>0.

故不等式f(e'-x)>的解集等价于不等式Jr>e2M的解集.

1—x>2x—1.

,2

・・尤<一・

3

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.

5、C

【解析】

由图象可知f千=-1，可解得m=-g，利用三角恒等变换化简解析式可得/(x)=sin2x+^■卜令/(x)=0,即可

\J22

求得占.

【详解】

In=-1,即2cos言•sin^+m=-l,

依题意，f

3

2cosx-f—sinx+-cosx'

解得m=-g；因为/(x)=2cosx-sin71£1

XH--

6222)2

—sin2^+-cos2x=sinf2x+-

6sinxcosx+cNx」71

2226

jrTT

所以2x0+々=2版'+2,当％=1时，x0=—

626

故选:c.

【点睛】

本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量，考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用，难度

一般.

6、A

【解析】

]|P6|+|P段=2q

设椭圆的半长轴长为4,双曲线的半长轴长为生,根据椭圆和双曲线的定义得:[附匹|=2%’解得

\PE\=a,+%A

然后在△耳夕用中，由余弦定理得:

||P引=q—4

-a2y

“1+”2r+(q—2(q+4)•(4—4).cos~—，化简求解.

3

【详解】

设椭圆的长半轴长为为，双曲线的长半轴长为生，

1|P耳|+|P[=2q

由椭圆和双曲线的定义得：局孤:“：，

\PE\=a,+a7,.2乃

叫局二―>设电=丁

a2a-2兀

在△片2月中，由余弦定理得：4c2=（q+a2y+（4一2）-2（马+4）.（i,COS-----9

3

化简得3a：+丹2=4c2,

31彳

即F+F=4.

e\e2

故选：A

【点睛】

本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力,属于中档题.

7、D

【解析】

因为0<。<力<1,所以1>a">0，

因为k）g/>logW>l,0<。<1,所以

aQ

综上logW>〃>&">log化故选口.

a

8、D

【解析】

27r

通过列举法可求解，如两角分别为?7T,多时

63

【详解】

2471

当4=—,8=一时，sinA>sin3,但tanAvtanB,故充分条件推不出；

36

jr27r

当A=一,8=—时，tanA>tanB,但sinA<sin3,故必要条件推不出；

63

所以“sinA>sin3”是“tanA>tan3”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题

9、D

【解析】

由题意，设第〃次爬行后仍然在上底面的概率为4.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率

21

为］②若上一步在下面，则第〃一1步不在上面的概率是如果爬上来，其概率是两种事件

21

又是互斥的，可得4根据求数列的通项知识可得选项.

【详解】

由题意，设第〃次爬行后仍然在上底面的概率为P„.

2

①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为§月_1(〃22)；

②若上一步在下面，则第n-\步不在上面的概率是1-^,(/?>2).如果爬上来，其概率是g(l-^,),(/7>2),

两种事件又是互斥的,+g(Ti),即?匕

.••数列1月一;)是以;为公比的等比数列，而6=g，所以+；，

故选：D.

【点睛】

本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.

10、B

【解析】

解出x2<分别代入选项中a的值进行验证.

【详解】

解：了2«。2,..「aWxWa.当“=1时,8={-1,0,1},此时A=8不成立.

当。=2时,8={-2,—1,0,1,2},此时AaB成立，符合题意.

故选:B.

【点睛】

本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.

11、A

【解析】

根据/(x)>()排除C,D,利用极限思想进行排除即可.

【详解】

解：函数的定义域为{xlxwO},/(幻>0恒成立，排除C,D,

x^ex

当x>0时，〃")=可=m”,当x-(),f(x)->0,排除3,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题.

12、A

【解析】

根据条件将问题转化为电史>4，对于X>1恒成立，然后构造函数〃(x)=x•叱"，然后求出〃(x)的范围，进

x-iXX-1

一步得到攵的最大值.

【详解】

k]nY+1

/(x)=—(ZwN+),g(x)=——,对任意的c>l,存在实数。为满足0<Q<Z?<C,使得g(a)=/S)=g(c),

Xx-1

]nr+1k

•••易得g(c)=/(b)>f(c),即—^―>-恒成立，

c-1c

lnx+1k一，

------>-,对于x>l恒成立，

x-1X

lnx+1,,、x—2-\nx

设A(x)=x------,则hz(x)=—----3—,

x-1(xT)一

令q(x)=x-2-Inx,.,./(x)=l>0在x>l恒成立，

q⑶=3—2—ln3<0,q(4)=4-2—ln4>0,

故存在%e(3,4),使得“($)=(),即/一2=lnx(),

当xe(l,x())时，q(x)<0,力(x)单调递减；

当xe(%,+8)时，q(x)>0,〃(x)单调递增.

,,、一、xIn+x

•••="(x。)=nn，将/—2=InX。代入得:

.I/\/（“0—2）+x（）

/一1

•.,ZeN+，且攵<%彳口曲=玉），

：.k<3

故选：A

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、±6

【解析】

根据等比数列通项公式，首先求得然后求得的.

【详解】

设｛0“｝的公比为4,由。］=1,%=36,得q2=36,q=±6,故。2=±6.

故答案为：±6

【点睛】

本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.

14、

【解析】

试题分析：•：塔,2S:>5：成等差数列，.WNe+apuM-。产生+q=%=3a：=q=3,

又,:等比数列【。：，，叫,=*T=W闻.

考点：等差数列与等比数列的性质.

【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列

基本量；•的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.

「兀［「3万）

15、［。，］。［彳叼

【解析】

因为sin”e[-l,1],

所以一sina£[—1,1],

所以已知直线的斜率范围为［-1,1］,由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是。,WU十，兀

.「八兀］「3》)

答案：0,-u—,7t

L4jL4)

16、”,2)

【解析】

通过平方，将无理不等式化为有理不等式求解即可。

【详解】

由A/7^T<1得解得lWx<2,

所以解集是u,2)。

【点睛】

本题主要考查无理不等式的解法。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析；(2)1.

【解析】

2

(1)由题意可得椭圆。的方程为三+9=1,由点3在直线y=夜上，且。4_L06知。4的斜率必定存在，分类讨论

当OA的斜率为0时和斜率不为0时的情况列出相应式子，即可得出直线A3与圆f+产=1相切；

(2)由⑴知，AQ8的面积为S=］。4卜|。回..1

【详解】

解：(1)由题意，椭圆C的焦点在X轴上，且b=C=l,所以4=播.

所以椭圆。的方程为1+y2=1.

由点3在直线y=正上，且。4_L06知。4的斜率必定存在，

当。4的斜率为()时，|。4|=8，|0邳=血，

于是|AB|=2,。到4?的距离为1,直线与圆f+y2=i相切.

2

当。4的斜率不为0时，设。4的方程为y=丘，与、+丁=1联立得(1+2-b2=2,

22k12+2&2

所以X；

\+lk21+2F1+2公

而。？_LQ4,故。3的方程为x=-6，而8在丫=&上，放x=-&，

,11,

从而附=2+2心于是所+南盟

此时，。到AB的距离为1,直线AB与圆光?+y2=i相切.

综上，直线AB与圆f+y2=i相切.

(2)由(1)知，498的面积为

1+（1+2公）

5=轲卜|。6|=2+2公

2J1+2-2,+2/（2

上式中，当且仅当左=()等号成立,

所以AO3面积的最小值为1.

【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意

识，考查化归与转化思想，属于难题.

a-2,a<\

18、“4」1,

---,a>1

a

【解析】

讨论a=0和a的情况，然后再分对称轴和区间之间的关系，最后求出最小值

【详解】

当a=0时，f(x)=-2x,它在［0,1］上是减函数

故函数的最小值为/(1)=一2

当a。0时，函数/(x)=a?一2%的图象思维对称轴方程为x=：

当。之1时，ge(0，l］，函数的最小值为=一:

当0<a<l时，->1,函数的最小值为/(1)=。-2

当a<0时，-<1,函数的最小值为/(l)=a-2

a-2,a<1

综上，fix).='1

.a

【点睛】

本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。

19、(1)”：=1或“：=3；(2)[2-275,2+275].

【解析】

(D将曲线C的极坐标方程。=iccsF化为直角坐标方程，在直角坐标条件下求出曲线。的圆心坐标和半径，将直

线的参数方程化为普通方程，由勾股定理列出等式可求，的值；(2)将圆C化为参数方程形式，代入.由三角公

式化简可求其取值范围.

【详解】

(1)曲线C的极坐标方程是。=4cos6化为直角坐标方程为：

'W小.=网直线/的直角坐标方程为：•二一…

圆心到直线1的距离(弦心距)d=(t空J=4

圆心(2,0)到直线J=x-冽的距离为：艮二”2二卫=|m-2kl

02

“：=1或小=3

♦.x=2+2cos6,人“〃

(2)曲线。的方程可化为晨-2)2+丁2=4,其参数方程为：｛0•A(。为参数)

y=2sin8

〃(x,y)为曲线C上任意一点，x+2y=2+2^sin(6+a)

.•・x+2)，的取值范围是[2-2逐,2+26]

孙⑴汽巫⑵

【解析】

(1)先利用同角的三角函数关系求得sinC,再由cosA=cos卜一?-C求解即可;

ADDC，则九=禁=sinC

(2)在AOC中，由正弦定理可得3sinND4C'再由

sinCsinADACsinZDAC

0<ADAC<ABAC求解即可.

【详解】

解：(1)在ABC中,cosC=^，所以sinC=Jl-cos2。2

3

[7t][71兀|,7171,71

所以cosA-cos7t------C=-cos——\-C=sin-sinC-cos—cosC

I4Jl44J444

也6.旧2V2-V10

--X-2---X--=-------

23236

(2)由(1)可知cosA=拽二^<0,所以A>g,

62

ADDCADsinC2

在ADC中，因为，所以/l=

sinCsinADACDC-sinZDAC-3sinZDAC'

因为0<NZMCWNBAC,所以sinZDACG(0,1],

所以/le|,+ool.

【点睛】

本题考查已知三角函数值求值，考查正弦定理的应用.

21、(1)12-31n3；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】

372

(1)求得函数丫=黄rr(x〉l)的导函数，由此求得求当日产量为3吨时的边际成本.

(2)将所