2023-2024学年江苏省无锡市高一年级上册期末数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省无锡市高一上册期末数学试题

一、单选题

1.已知集合A={x|04x<2},B={A|-1<X<1},则Au8=()

A.(-1,0]B.(-1,2)C.[0,1)D.(0,1)

【正确答案】B

【分析】直接根据集合运算求解即可.

【详解】解：因为A={疝)4x<2},B={x|-l<x<l},

所以{X—1<x<2},即=(-1,2).

故选：B

2.tan(-420)的值为()

A.-3B.BC.-帀D.6

33

【正确答案】C

【分析】根据诱导公式运算求解.

【详解】由题意可

得.tan(T20")=tan(300°-720。)=tan300°=tan(360°一60。)=一tan60°=—6

故选：C.

3.已知对数函数y=1og“x(a>0且"D的图象过点(4,；),则log4a=()

A.—B.gC.2D.4

42

【正确答案】C

【分析】根据题意结合对数运算求解.

【详解】由题意可得：k>g“4=；=log““3=bg"&,即6=4,解得a=16,

贝|Jlogaa=log&16=2.

故选：C.

Y

4.函数/(幻=>一7的图象大致为()

e+e

【分析】先判断〃X）的奇偶性，排除B；再由x＞0得了（力＞（）,排除C,再取特殊点法推

得/〈X）在（0,+8）上并不单调递增，从而排除D；再分析A中的图像性质，满足/（X）的性

质，从而得解.

【详解】因为=所以/.（*）的定义域为R,关于原点对称，

e'4-e'

又因为f（-x）==--^7=—“幻，

e+ee+e

所以函数.f（x）是奇函数，

所以/（X）的图象关于原点对称，故B错误;

当x＞°时,因为宀。叱＞°,所以■=$＞（）,故C错误;

21

因为

e+e--+——

22

c11922-2

又e?-2e=e(e-2)>—xe>l>—=2e：所以J>e+eL则J+±->e+eT

''2e222

------1-------

22

所以f（x）在（0,+s）上并不单调递增，故D错误;

由于排除了选项BCD,而且选项A中的图像满足上述/（x）的性质，故A正确.

故选：A.

5.已知。=log21.41,b=2°⑷,c=ln2,则()

A.a<c<bB.c<a<bC.b<a<cD.a<b<c

【正确答案】A

【分析】找中间量g和1进行比较，根据指数函数、对数函数的单调性可得到答案.

【详解】因为e<4,所以厶<2,则;=ln&<ln2<lne=l

又0=log?1<log21.41<log,V2=^,2gl>20=1>

所以0<a<丄，b>\,-<c<\,

22

所以avcv6.

故选：A

3

6.已知sin（30+a）=-,60<a<150,贝ijcosa的值为（）

—

A4-^33口—4\/34-3k—4-3>/3、4—3>/3

A.-----D.--------------------C.---------------D・-----------

10101010

【正确答案】B

【分析】根据平方关系式求出cos（30+a）,再根据cose=cos（30+a-30）及两角差的余

弦公式可求出结果.

【详解】因为60<a<150,所以90<30+a<180，

又因为sin（30+a）=|,所以cos（30+a）=-^1-sin2（30+a）=-Jl-卷=,

所以cosa=cos（30+a-30）=cos（30+a）cos30+sin（30+a）sin30

故选：B

7.图（1）是某条公共汽车线路收支差额丫关于乘客量x的图象，图（2）（3）是由于目前

本条路线亏损，公司有关人员提出的两种扭亏为盈的建议，则下列说法错误的是（）

丼y|丼/

A.图（1）中的点A表示当乘客量为。时，亏损1.5个单位

B.图（1）中的点8表示当乘客量为3时，既不亏损也不盈利

C.图（2）的建议为降低成本同时提高票价

D.图（3）的建议为保持成本同时提高票价

【正确答案】C

【分析】根据直线的斜率与纵截距的实际意义（斜率表示每增加一个乘客时收入的增加值，

纵截距表示乘客人数为0时的支出），分析图形即可得出结论.

【详解】对于A,当x=0时，y=-1.5,所以图（1）中当乘客量为0时，亏损1.5个单位，

故本选项说法正确；

对于B,当x=3时，y=0,所以图（1）中点B表示当乘客量为3时，既不亏损也不盈利本

选项说法正确；

对于C,根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时,

收支差额（负值）变大了，即支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，

所以本选项不正确；

对于D,根据题意和图（3）知，当乘客量为0时，支出不变，

但是直线的倾斜角变大，即每增加一个乘客时收支差额的增加值变大，即票价提高了，

但乘客人数为0时的收支差额（负值）没有变化，即说明此建议是提高票价而保持成本不变所

以本选项说法正确.

故选：C

8.函数/。）=（2X-兀）8$（5-金一$由1-]）,》€（-2兀,371）的零点个数是（）

A.1B.5C.6D.7

【正确答案】D

【分析】令人幻=0,利用诱导公式化简可得（2x-兀）sinx+cosx=0,然后分类讨论，利用

正切函数的图象和性质即可求解.

【详解】令/（x）=0,即（2x-7t）cos[T-x卜sin（x-g）=O,

所以（2x-7t）sinx+cosx=0,当xw一电，一色，巴，処，亚时，

22222

方程可化为lanx=兀-2x,

在同一直角坐标系中分别做出y=tanx与y=7t-2x的图象,

।[T=-«—»、],3兀7T7T37r5兀..L

由图可知：当XX-?,一彳,彳,不-，不-时,

22222

函数y=tanx与y=n-2x的图象有6个交点，分别为A,8,C,D,E,F,

所以3也是函数/（X）的一个零点，综上,

函数/(x)=(2x-7t)cossinLr-"Lxe(-27t,37t)的零点个数是7,

故选.D

二、多选题

9.下列说法错误的是（）

A.命题“天€凡*2-2犬+3=0”的否定为“匕6氏戸-2犬+3力0”

B.命题“Vx>L都有価+1>5”的否定为“玉：41,使得2X+145”

C.是"lna>lnb”的充要条件

D.“（a+i）昊（3一小'是的充分不必要条件

【正确答案】BC

【分析】根据含有一个量词的否定的定义，可判断A,B；根据充分条件和必要条件的定义

可判断C,D.

【详解】对于A,命题“大eR,x2-2x+3=0”的否定为“X/xeR,x2-2x+3xO”，故A正确;

对于B,命题“Vx>l,都有號+1>5”的否定为“h>1,使得2x+lW5”，故B不正确；

对于C,“a>b”推不出“lna>lnb"，如a=l>b=-2,

“lna>lnb”能推岀“a>b>0",所以是"lna>lnb”的必要不充分条件,故C不正

确；

a+120

对于D,若3+1鼠(3一/，则■3-a0,解得：-l<a<l,

a+\<3-a

所以“(a+1)；<(3-*"是"-2<a<1”的充分不必要条件,故D正确•

故选：BC.

10.下列函数既是偶函数，又在(-8,0)上单调递增的是()

,1,12

A.y=-x3B.y=\~~rC.y=ln(x+1)D.y=—r-x

|x|X

【正确答案】BD

【分析】函数y=-V为奇函数，故A不正确；当x<0时，y=Pj=-J为增函数，故B正

确；根据-1和-2的函数可知，C不正确；根据偶函数的定义以及函数y=±在(7,0)上为

X-

增函数，y=V在(-8,0)上为减函数，可知D正确.

【详解】因为-(-x)3=d,所以函数y=-》3为奇函数，故A不正确；

因为1二=占，所以函数)'=」为偶函数，且当X<°时，y=L=-丄为增函数，故B正

\-x\|x||x|\x\X

确；

当x=-l时，y=ln(x2+l)=ln2,当x=-2时，y=ln(x2+1)=ln5,

因为—1>—2,In2<ln5,所以函数y=In。?+1)在(-8,0)上不是增函数，故C不正确；

因为7丄后一(一*)2=±-/,所以函数y=49为偶函数，

(-x)xx-

因为)'=3•在(YO,。)上为增函数，y在(-8,0)上为减函数，

1,

所以函数y在(-8,0)上为增函数，故D正确.

X

故选：BD

11.若a,6e(0,”),a+6=l,则下列说法正确的是()

A.必的最大值为;B.［。+£|卜+£|的最小值是4

112

C.4〃-弁的最大值为2D.―十7的最小值为3+2夜

4bah

【正确答案】ACD

【分析】利用基本不等式对每个选项进行判断即可

【详解】对于A,因为a+b=l,所以必4(等j=；,

当且仅当“=o=g时，取等号，所以时的最大值为5,故正确：

对于B,因为a,be(0,+oo),〃+方=1,所以。wl,bwl,

所以“+丄>2,(当且仅当。=丄即。=1时取等号，故等号不取)

aa

b+\>2,(当且仅当6即6=1时取等号，故等号不取)，

bb

所以(a+J/+5>4,故错误；

对于C,因为。+人=1,所以。二1一人，

所以4a-丄=4-4。-丄=4146+丄144-214bx丄=2,

4b43148丿\4b

当且仅当46=」即〃=丄时，取等号，故正确；

4b4

对于D《+汕+〃)=q+,222傍+3=3+2后

当且仅当2=学即。=&-1力=2-应时，取等号，故正确

ab

故选：ACD

12.函数=，则下列结论正确的是()

-x2+21+l,x>”

A.当。=0时，函数/(x)的单调递增区间为(0,1)

B.不论。为何值，函数/(x)既没有最小值，也没有最大值

C.不论“为何值，函数/(x)的图象与x轴都有交点

D.存在实数“，使得函数f(x)为R上的减函数

【正确答案】ABD

【分析】对于A,根据指数函数和二次函数的单调性可知A正确；对于B,根据指数函数

与二次函数的图象可知B正确；对于C,根据函数=的图象与x轴没有交点，当

“21+&时，函数〃X)=-X2+2X+1=0(X>1+&)的图象与x轴没有交点，可知C不正确；

对于D,当“21+应时,，可判断出函数/(x)为R上的减函数，可知D正确.

【详解】对于A,当a=0时，函数/(x)h(j)'三。，当xVO时，〃幻=(丄)，为减

—x2+2x+l,x>0

函数，当x>0时，/&)=-/+2犬+1的单调递增区间为(0,1),故A正确；

对于B,当时，/(x)=W为减函数，所以不论。为何值，当x趋近于负无穷时，f(x)

趋近于正无穷，即.f(x)没有最大值：当x>“时，/(x)=-f+2x+l的图象是开口向下的抛

物线的一部分，所以不论。为何值，当x趋近于正无穷时，f(x)趋近于负无穷，即，(x)没有

最小值；故B正确；

对于C,当时，函数f(x)=Q)的图象与x轴没有交点，

当x>a时，由-f+2x+l=0得x=l+&或x=l-&,所以当a2l+夜时，函数

/(X)=-X2+2X+1=0(X>1+&)的图象与x轴没有交点，故C不正确；

对于D,当“21+五时，函数/。)=[]在(-8,0上为减函数，函数〃x)=-x2+2x+l在

3+00)上为减函数，且>0,~u~+2a+i=—(a—1)"+2<0,(1)>—/+2a+1,所以此

时函数f(x)为R上的减函数，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是2,则扇形的弧长为

【正确答案】2&

【分析】根据扇形的面积为2结合扇形圆心角的弧度数是2,由=/=2求得半径，

22

再由弧长公式求解.

【详解】设弧长为/,半径为r,弧度为a,

因为扇形的面积为2,

所以S=Lr=丄0戸=2,

22

又因为扇形圆心角的弧度数是2,

所以r=>/2,

所以扇形的弧长为/=ar=20.

故20

本题主要考查弧度制公式和扇形面积公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

14.不等式4*-2,-2M0的解集是.

【正确答案】（3,1]

【分析】结合换元法及指数函数单调性求解.

【详解】令—,则可得人>一2-0r=2'?（0,2],

由指数函数单调性可得

故答案为.（-00,1]

15.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危

害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q,一年四季均可繁殖，繁殖间隔7为相邻

两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型仪〃）=21083〃（口为常数）来描

述该物种累计繁殖数量〃与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且。=4+1,在物种

入侵初期，基于现有数据得出。=6,7=60.据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖

数量的6倍所需要的时间为天.（结果保留一位小数.参考数据：

In2»0.30,In3«0.48）

【正确答案】19.5

【分析】根据已知数据可求得2,设初始时间为K，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6

倍的时间为K2,利用K^-M，结合对数运算法则可求得结果.

【详解】解：＜2=4+1，。=6,T=60,，6="+l,解得：2=12.

4X

设初始时间为K-初始累计繁殖数量为〃，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍的时间

为勺，

贝=12Iog3（6〃）-121og3”=121og36=12（^^），19.5（天）.

In3

故19.5.

16.已知函数f（x）="+g对于任意1",＜三，都有」"）二）•＞；”,则实数。的取值

范围是.

【正确答案】a＞3

[分析】将不等式/a）_/（*）＞化为a（&+Da?+1）＞2〃+6,分类讨论。，利用

X]一/厶

a+i）（/+D＞4可得答案.

“、”、.。+3a+3

f（X.）-/（X）1ClXiH-----------CIX-）---------

【详解】因为对于任意/士＜三，都有9即x,+l-x+l1

X]X,厶2＞CI

%I-x22

（0+3）（^）

即「a+i）（&+i）＞丄〃，

菁-x22

a+31一

即〃-7-----不一n＞不〃，即"（2+1"%+1）＞2a+6恒成立，

（内+1）（工2+1）Z

因为1W眞＜玉，所以（3+1）（W+1）＞4,

当a＜0时，（为+1）（%+1）〈笆2不可能恒成立，

a

当。=0时，。（玉+1）（々+1）＞2。+6化为0＞6不成立，

当。＞0时，++恒成立，则42^^,得423,

aa

综上所述：实数。的取值范围是aN3.

故答案为.“N3

四、解答题

17.设全集U=R,A={x|a-3<x<2a-l},B={x|log2(x-l)<2},其中aeR.

⑴若“xeA”是“xe8”成立的必要不充分条件，求”的取值范围;

(2)若命题“HxeA,使得是真命题，求。的取值范围.

【正确答案】(1)(3,4]

(2)(-2,-KO)

【分析】(1)首先求解集合8,根据条件转化为集合的包含关系，列式求解；

(2)根据条件转化为A列式求“的取值范围.

【详解】(1)log2(x-l)<2,f#O<x-l<4,解得：l<x<5,即8={x[l<x45},

因为“xeA”是“xe8”成立的必要不充分条件，所以BA,

a-3<2(7-1

则<〃-3W1,解得：3<aK4；

2a-\>5

(2)由条件可知，A=或x>5},

。-3<12a-l>5

a-3<2a-l或，解得：a>—2，

4—3<2。-1

所以。的取值范围是(-2,一)

18.在平面直角坐标系xOy中，角a与角夕的顶点均为坐标原点。，始边均与x轴的非负半

轴重合，角夕的终边过点。(T,2),将。。绕原点。按顺时针方向旋转;后与角a的终边。尸

重合.

(1)写出角a与角尸的关系，并求出tana的值：

⑵求cos(]+2a)-sin仔-a卜os(7t+a)的值.

TT

【正确答案】(1)2=尸----2kn(keZ)；tan«=3.

4

(2)--

10

jr

【分析】(1)根据题意可得：。二夕-2E/eZ),然后利用任意角三角函数的定义得到

4

tan£=啰=-2,最后再利用两角差的正切公式即可求解；

(2)利用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简可得：

cos(W+2aJ-sin(3£兀—aJcos(7i+a)=-2tana-1

结合(1)的结论代入即可求解.

21+tan2a

【详解】⑴由题意可得："万号-2m八Z),

由任意角的三角函数可知：cos£=—l==-g,sin/?=-^==^

Vl+225VI+225

所以tan/?=214=-2,

COS夕

,c兀-,、,c兀、tanB-\八

HUItana=tan('------2kn)=tan('——)=------——=3

441+tan>5

(2)cos(]+2aJ-sin(当一“cos(兀+a)=-sin2a-cosacosa

=-2sinacosa-cos2a

-2sinacoscr-cos2a

一"""""22

sin-a+cos-a

_-2tana-1

1+tan2a

-2x3-1

1+9

--lo

19.已知函数，(x)=2cos(0x+e)(0>O，M《)的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式:

(2)将函数y=f(x)的图象向左平移纟个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)在

6

[0,兀]上的单调减区间.

【正确答案】(1)/(X)=2COS(2XJ)

【分析】(1)由图象可得T,则可得。，再将点(去以代入解析式中可求出夕的值，从而可

求得函数/(x)的解析式;

(2)利用函数图象变换求得g(x)=2cos(2x+£｝求出函数g(x)在R上的单调递减区间,

再与［0,汽］取交集可得结果.

【详解】(1)由图可得函数/(x)的最小正周期为T=2x传-升兀，

所以，0=爷=2,

/图=28s停+*)=。，则cos(5+*)=0,

•."夕|<弓即一弓<夕<弓，贝+,4+9=g，贝I夕=一［，

222636326

所以/(X)=2COS(2X-V)

(2)由题意可得g(x)=2cos2［+弓)-仁=2cos(2x+：j,

TTTT57r

令2履<2x+—4兀+2攵兀，kwZ,得---+kn<x<:——Fkn,kwZ,

61212

记厶=若+E,需+E(keZ),则A|［0,兀］=［(),得詈，兀.

因此，函数g(x)在［0,可上的减区间是°，普］，［曹，兀

20.已知二次函数〃x)="-4x-l.

(1)当。取何值时，不等式f(x)<。对一切实数x都成立:

(2)若/(x)在区间(-1,1)内恰有一个零点，求实数。的取值范围.

【正确答案】(D(YO,-4)

(2)(^)J[-3,0)._((),5]

【分析】(1)对“分类讨论，结合二次函数图象及判别式法求解；

(2)对零点个数分类讨论，结合判别式法及零点存在定理列式求解，另外需要注意讨论零

点在±1的临界情况.

【详解】⑴f(x)为二次函数,则"0,

当a>0时，二次函数开口向上，不等式/。)<0不对一切实数x都成立，不满足题意；

当a<0时，贝I」有D=16+4a<0,解得a<-4.

故当ae(9,7)时，不等式/(x)<0对一切实数x都成立；

-4I

(2)i.当/(x)仅有一个零点时，由D=16+4a=0?a-4,此时零点为x=-丁=-二，符合

2a2

题意；

ii.当."x)有两个零点时，D=16+4a>0?a-4

①当f(l)=O?a5,则由/(x)=5x2-4x-l=0解得另一个零点为x=-g,符合题意；

②当f(-l)=O?a-3,贝U由/(》)=一3/一4》-1=0解得另一个零点为》=-；,符合题意；

③当/(-1)/(1)?0,由零点存在定理，则有/(l)/(-l)=(a-5)(a+3)<0,解得

«e(-3,0)(0,5).

综上，f(x)在区间(-1,1)内恰有一个零点时，实数。的取值范围为{-4}[-3,0)(0,5].

21.某蔬菜种植基地共有蔬菜种植大棚100个，用于种植普通蔬菜，平均每个大棚年收入为

10万元.为适应市场需求，提高收益，决定调整原种植方案，将X(104X«32,X€N*)个大棚

改种速生蔬菜，其余大棚继续种植普通蔬菜.经测算，调整种植方案后，种植普通蔬菜的每

个大棚年收入比原来提高2.5x%,种植速生蔬菜的每个大棚年收入为万元.

(1)当机=20时，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%,求x的取值范围

(2)当22<加<23时，求蔬菜种植大棚全年总收入的最大值.

【正确答案】⑴164x432,xeN"

⑵887.5+30加

【分析】(1)当,〃=20时，设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为加%，表示出如当，

要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%,即y100x10x140%,解不等式结

合104x432,xeN",即可得出答案.

(2)设蔬菜种植大棚全年总收入为Z万元,可得Z=+(100-x)(10+0.25x),由

二次函数的性质结合22Vm<23,即可得出答案.

【详解】(1)当机=20时，设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为％%,

则)1=x；(10<x<32,xeN*),

j2=(100-x)(10+10x0.025x)=(1(X)-x)(1()+().25x)

=-0.25x2+15x+1000,

要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%,

贝ljy+%2100x10x140%,

j5fr^.r(20--xj-0.25x2+15x+1000>1400

化简得：X2-56X+640<0,B|J(X-40)(X-16)<0,

解得：164x440,又因为104xW32,xeN*,

所以164x432,xeN*.

(2)设蔬菜种植大棚全年总收入为Z万元，

所以Z=X(/M_|X]+(1007)(10+0.25X)

=--x2+(m+15)x+1000(10<x<32,xeN*),

8

542o

-x一一+15)+—(6+15)'+1000,

8_55

4

当22Vm<23时，x=-(/w+15)e(29.6,30.4),

44

所以当xw10,-（An+15）时，函数在单调递增，当xe+15132时，函数在单调递减,

所以，当x=29时，4=29,”+909.375,

当x=30时，Z,=30/«+887.5,

当x=31时，Z3=3bn+864.375,

所以当22（加＜23时，Z2-Z,=w-21.875,所以Z?＞4，

Z3—Z,=w—23.125,所以ZZAZ?,

所以Z2最大，所以当x=30时，蔬菜种植大棚全年总收入最大为：30m+887.5万元.

22.定义在区间［Y,4］上的函数〃幻=沪7-1（4£&匕＞0且6"）为奇函数.

⑴求实数。的值，并且根据定义研究函数f（x）的单调性：

（2）不等式（尸+1）./（石sin20+2cos对于任意的，e0,三恒成立，求实数”?的

取值范围.

【正确答案】（1）1:答案见解析

（2）答案见解析

【分析】（1）利用/（